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§1.1.1正弦定理(1)

第一章 1.1.1 正弦定理(1) 学习目标:①发现并掌握正弦定理及其证明方法; ②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。

复习回顾:关于 ?ABC 几个常见的结论:设 ?ABC 中角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .

(1) A? B ? C ? ? ;

(2) a ? b ? A ? B

(3) sin(A ? B) ? sin C,cos(A ? B) ? ?cosC

(4)证两个三角形全等的方法:

问题探究:探究问题(一)三角形三边与它们所对角的正弦的关系 1、在直角三角形中,你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗?

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如

a

?

b sin A sin B



②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如

sin

A

?

a b

sin

B



2.一般地,我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的__________.已知三角

形的几个元素求其他元素的过程叫做________.

探究问题(二) 正弦定理的应用 1、已知两角及一边解三角形

例 1、在△ABC 中,已知 c ? 10, A ? 45? ,C ? 30 ? ,解此三角形。

解: a ? c ,∴ a ? c sin A ? 10? sin 45 ? 10 2 ,

sin A sin C

sin C sin 30

B ? 180 ? ( A ? C) ? 105 ,又 b ? c , sin B sin C

2、你能在锐角三角形中证明在直角三角形中发现的边、角关系吗?

3、在钝角三角形中是否成立?

C

正弦定理: 证明:(外接圆法)如图所示,∠ A =∠ D


b

∴ a ? a ? CD ? 2R 同理 b ? 2R , c ? 2R

sin A sin D

sin B

sin C

A

∴ a = b = c =2R sin A sin B sin C

从而正弦定理有哪些变形?

a

O

B

c

D

说明:(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的规律,是解三角形的重要工具.

(2)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,

即存在正数 k 使 a ? k sin A,b ? k sin B, c ? k sin C ;k>0。可证 k=2R,R 为三角形

外接圆的半径。

(3) a = b = c 等价于 a = b , b = c , a = c ,

sin A sin B sin C

sin A sin B sin B sin C sin A sin C

(4)正弦定理的基本作用:每个等式可视为一个方程:知三求一.

∴ b ? c sin B ? 10? sin105 ? 20sin 75 ? 20? 6 ? 2 ? 5 6 ? 5 2 .

sin C sin 30

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已知三角形的两角和任一边解三角形的思路 (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定 理求出第三个角. (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定 理求另外两边. 变式训练 1、 在△ABC 中,已知 A=30°,B=120°,b=12,求 C,a, c 。

2、已知两边及其中一边的对角解三角形. 例 2、已知在△ABC 中, a ? 3,b ? 2, B ? 45? , 求 A ,C 及 c 。
(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值; ②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判 断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角; ③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦 值可求两个角,要分类讨论. 变式训练 2、在△ABC 中,已知 a ? 2,b ? 2, A ? 45? ,求B,C, c 。

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课堂练习:1、在△ABC 中,已知 A=75°,B= 45°, c ? 3 2 求 C,a , b. 2、在△ABC 中,已知 a=8,B=105°,C=15°,求 A、b、c. 3、在△ABC 中,已知 a=2, c ? 6,C ? ? ,解此三角形。
3 4、在△ABC 中,已知 c ? 10, A ? ? , a ? 5 2 ,解此三角形。
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1.对正弦定理的理解 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式. (3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式,它描 述了三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. 2.正弦定理的变形公式
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