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2014---2015学年度第一学期八县(市)一中期中联考高三文科数学试卷


2014---2015 学年度第一学期八县(市)一中期中联考

高三年数学(文科)试卷
命题学校:福清一中 命题教师:何晓丽 审核教师:何明兴
考试日期:2014 年 11 月 完卷时间:120 分钟 满 分:150 分

一、选择题:本大 题 共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求,每小题选出答案后,请把答案填写在答题卡相应位置上 。 ............... 1.已知全集 U ? {1,2,3,4,5}, A ? ?1,2,3?, B ? ?3,4?, 则CU ( A ? B) =( A.{3} B.{5} C.{ 1,2,4,5} ) ).

D.{1,2,3,4}

2.命题“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 3.设 a ? R ,则 a ? 1 是

B. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ) B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 ? 1 的( a

A.充分但不必要条件 C.充要条件
0.3

4. 设 a ? log 1 3 , b ? ? ?
2

?1? , c ? ln ? ,则( ? 3?



A. c ? a ? b B. a ? c ? b C. a ? b ? c D. b ? a ? c 5. 如右图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象,若用 黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )

6.已知单位向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函数 f ( x) ? ( xa ? b) 2 ( x ? R )( A. 既是奇函数又是偶函数 C. 是偶函数 B. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 是奇函数

)

7. 已知等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且 S3 ? 7a1 ,则数列 {an } 的公比 q 的值为(
第1页 共8页



A.2

B.3

C.2 或-3

D.2 或 3

8.正三角形 ABC 中, AB ? 3 , D 是边 BC 上的点,且满足 BC =2BD ,则 AB ?AD =( ) A.

21 2

B.

27 4

C.

13 2

D.

9 2

π 9.函数 f(x)=sin(ω x+φ ),(其中|φ |< )的图象如图所示,为了得到 g(x)=sinω x 的 2 图象,则只要将 f(x)的图象( ) π π A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 6 12 π π C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 6 12 10.偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程

f(x)= log4 x 在 x∈[0,4]上解的个数是(
A.1 B.2 C.3

) D.4

11.已知函数 f ( x) 的导函数图象如图所示,若 ?ABC 是以角

C 为钝角的钝角三角形,则一定成立的是(
A. f (sin A) ? f (cos B) C. f (sin A) ? f (sin B)



B. f (sin A) ? f (cos B) D. f (cos A) ? f (cos B) )

12.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-4.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3] B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3)

二、填空题 :本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填在答题卡的横线上 。 ............. 13.已知函数 f ( x) ? ?

?3x , ?? x,
2

x ? 1, x ? 1,

,则 f(f(2))=

.

14.若命题: ?x ∈R, x -2ax+a>0”为真命题,则

2a 2+1 a

的最小值是__________. 15.如图,点(x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动,那 么 3x-y 的最小值为________.
第2页 共8页

16.在数列 ?an ? 中, n ? N ,若
*

a n ? 2 ? a n ?1 ? k (k 为常数),则称 ?an ? 为“等差比数列”, a n ?1 ? a n

下列是对“等差比数列”的判断:①k 不可能为 0;②等差数列一定是“等差比数列”; ③等比数列一定是“等差比数列”;④“等差比数列”中可以有无数项为 0.其中正确判断 命题的序号是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 请在答题卡各自题目的答题区域内作答 。 ................. 17.(本题满分 12 分) 2 2 设 p:实数 x 满足 x -5ax+4a <0(其中 a>0) ,q:实数 x 满足 2<x≤5 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2) 若 ?q 是 ?p 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时有 f ( x ) ? 4 x .
x?4

(1) 判断函数 f ( x) 的单调性,并求使不等式 f (2m ?1) ? f (m2 ? 2m ? 4) ? 0 成立的 实数 m 的取值范围. (2) 若 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边,

?ABC 面积 S ?ABC ?

3 , c ? f (4), A ? 60?, 求 a 、 b 的值; 2

19.(本题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点,对于函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,称向量 OM ? (a, b) 为函数

f ( x) 的伴随向量,设函数 g ( x ) ? 3 sin(
(Ⅰ)求 g ( x) 的伴随向量 OM 的模; (Ⅱ)若 h( x) = g ( x) ,求 h( x) 在 [0,
2

?
2

? x ) ? cos(

?
2

? x) ,

?
2

] 内的最值及对应 x 的值.

第3页 共8页

20. (本题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2an ? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 ,公差不为零的等差数列,且

b1 , b3 , b11 成等比数列.
(1)求数列 ?an ?与 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?cn ?满足 cn ? 实数 t 的取值范围.

1 * , 前 n 项和为 Pn ,对于 ?n ? N 不等式 Pn ? t 恒成立, 求 bn bn ?1

21. (本题满分 12 分) 某公司生产一种硬纸片包装盒,如图,把正方形 ABCD 切去阴影部分所示的四个全等的等 腰直角三角形,沿虚线折起使 ABCD 四个点重合,形成如图所示的正四棱柱包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AB=40cm, AE= x cm (1)要使包装盒侧面积 S(cm ) 最大,则 x 应取何值? (2)要使包装盒容积 V(cm )最大, 则 x 应取何值?并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值。
第 21 题
3 2

22.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? ln x , a , b ? R .
2

(1)当 a=b=1 时,求函数 y ? f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 且 b ? 2 ? a ,试讨论 f ( x ) 的单调性;

?x ? (1, e) 使得函数 y ? f ( x) 图象上的点落在 (3)若对任意的 ?b ?[?2, ?1] ,均存在
?1 ? x ? e 所表示的平面区域内,求实数 a 的取值范围. ? ? y?0

第4页 共8页

2014---2015 学年度第一学期八县(市)一中期中联考

高三年数学(文科)参考答案
1-12 13.
1 9

BAACD CCBAD 14.

AD
.w.w.k.

2 2

15. 2

16. ①④

17. 解: (1)当 a=1 时,解得 1<x<4, 即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<4. ????????????? 2 分 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,?????????????????? 4 分 所以实数 x 的取值范围是(2,4).????????????????? 6 分 (2) ?q 是 ?p 的必要不充分条件即 p 是 q 的必要不充分条件, 设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 B ? A, ?????????? 8 分 2 2 由 x -5ax+4a <0 得(x-4a)(x-a)<0, ∵a>0,∴A=(a,4a),??????????????????? 10 分 又 B=(2,5], 则 a≤2 且 4a>5, 解得

5 <a≤2;???????????????????????12 分 4
4x 16 ? 4? x?4 x?4

18. 解: (1)∵当 x ? 0 时 f(x)有 f ( x) ? ∴ f ( x) 在 ?0, ?? ? 上是增函数,

又∵f(x)是奇函数∴f(x)是在 (??, ??) 上是增函数,?????????? 3 分 ∵ f (2m ? 1) ? f (m2 ? 2m ? 4) ? 0 ∴ 2m ? 1 ? ?(m ? 2m ? 4) ∴ m ? ? 3或m ? 3
2

?????????? 6 分

(2) c=f(4)=2

?????????? 9 分

??????????????????????? 12 分 19. 解: (Ⅰ)∵ g ( x ) ? 3 sin(

?
2

? x ) ? cos(

?
2

? x)

第5页 共8页

? 3 cos x ? sin x ? sin x ? 3 cos x

???????????? 3 分

OM ? (1, 3) ∴ OM ? 1 ? 3 ? 2 ???????????? 6 分
(Ⅱ)由已知可得 h( x) ? (sin x ? 3 cos x) 2

? sin 2 x ? 3cos2 x ? 2 3 sin x cosx ? 1 ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 2 ? 2 sin( 2 x ?
∵0 ? x ?

?
6

) ? 2 ?????????? 8 分
?????????? 9 分

?
2

6 6 ? 7? ? ∴当 2 x ? ? 即 x ? 时,函数 h( x) 的最小值为 1; 6 6 2
当 2x ?



?

? 2x ?

?

?

7? 6

?

6

?

?

2

即x ?

?

6

时,函数 h( x) 的最大值为 4;????? 12 分

20. 解:(1)当 n=1 时 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 , a1 ? 2 ,?????????????1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2) ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 , 得 an ? 2an?1 ???????????????????????????2 分 ∴数列{ an }是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, ∴数列{ an }的通项公式为 an ? 2n .????????????????3 分

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列,
得 (2 ? 2d ) ? 2 ? (2 ? 10d ) ,?????????????????????4 分
2

解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3

???????????????????5 分

∴数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 .??????????????????6 分 (2) cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bn bn ?1 (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2

??????8 分

则 Pn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ??? ? ? )? ( ? ) ????10 分 3 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 3 2 3n ? 2
第6页 共8页

∵ Pn ?

1 1 , ∴t ? 6 6

???????????????????12 分

21. 解: (1)设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) ,由已知得

a ? 2 x ,h ?

40 ? 2 x 0<x<20. ?????3 分(不写定义域扣 1 分) ? 2 (20 ? x) , 2 S ? 4ah ? 8x(20 ? x) ? ?8( x ? 10) 2 ? 800?????????5 分
所以当 x=10 时,S 取得最大值. ?????????6 分

(2) V ? a 2 h ? 2 x 2 ?

40 ? 2 x ?2 ( 2 20x2 ? x 3 ) ?????????8 分 2
?????????9 分

V'? 2 ( 2 40x ? 3x 2 ) ? 2 2 x(40 ? 3x)
由 V ? ? 0得x ? 0 (舍)或 x= 当 x ? ( 0,

40 3

40 40 ) 时 V ' ? 0 ,当 x ? ( ,20 ) 时 V ' ? 0 3 3 40 所以当 x= 时,V 取得极大值,也是最大值. ?????????11 分 3 1 h 1 此时 ? ,即包装盒的高与底面边长的比值为 .?????????12 分 2 a 2
22.解: (1)当 a=b=1 时, f ( x) ? x 2 ? x ? ln x ,

f’ ( x) ? 2 x ? 1 ?

1 (1) ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 , f’ x

?????????2 分

又 f (1) ? 12 ? 1 ? ln1 ? 2 ,∴函数 y ? f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

y ? 2 ? 2(x ? 1) 即 2 x ? y ? 0 ??????????????????4 分
(2) f ?( x) ? 2ax ? (2 ? a) ? 当?

1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 (ax ? 1)(2 x ? 1) ? = ?????5 分 x x x

1 1 1 1 1 1 ? ? a ? ?2 时, f ( x) 的增区间为 ( ? , ) ,减区间为 (0, ? ) ( , , +?) a 2 a 2 a 2 1 1 (0, +?) 当 ? = ? a = ? 2 时, f ( x ) 在 单减 a 2 1 1 1 1 1 1 (0, ) ( , ? , +?) ; 当 ? ? ? 0 ? a ? ?2 时, f ( x ) 的增区间为 ( , ? ) ,减区间为 a 2 2 a 2 a
????????????????8 分 综 上 , a ? ?2 时 , f ( x ) 的增区间为 ( ?

1 1 1 1 , ) ,减区间为 (0, ? ) ( , , +?) ; a 2 a 2

第7页 共8页

a ? ?2 时 , f ( x ) 在 (0, +?) 单减;
1 1 1 1 a ? ?2 时 , f ( x) 的增区间为 ( , ? ) ,减区间为 (0, ) ( , ? , +?) ;?????9 分 2 a 2 a
(3)依题意,对 ?b ?[?2, ?1] , ?x ? (1, e) 使得 f ( x) ? 0 成立 即对 ?b ?[?2, ?1] , ?x ? (1, e) , ax 2 ? bx ? ln x ? 0 成立,?????????10 分 即 ax 2 ? x ? ln x ? 0 在 (1, e) 内有解,即 a ? 即a ? (

ln x ? x 在 (1, e) 内有解, x2

ln x ? x ) max x2

?????????????????????????11 分

令 g ( x) ?

? x( x ? 1 ? 2 ln x) ln x ? x ,则 g ?( x) ? 2 x4 x
∴ g ?( x) ? 0 ,

x ? (1, e)

∴ g ( x ) 在(1,e)内单调递减,??????????????????13 分 又 g(1)=1∴a ? 1 ??????????????????????14 分

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