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高二数学 第二章 圆锥曲线C组测试题 新人教A版选修1-1


(数学选修 1-1)第二章 圆锥曲线 [提高训练 C 组] 一、选择题
1. 若抛物线 y = x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离, 则点 P 的坐标为 (
2



A. ( , ±

1 4

2 ) 4

B. ( , ±

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 4

2 ) 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4

x2 y2 2.椭圆 + = 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直, 49 24
则△ PF1 F2 的面积为( A. 20 B. 22 C. 28 ) D. 24

3.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y 2 = 2 x 的焦点,点 M 在 抛物线上移动时,使 MF + MA 取得最小值的 M 的坐标为( A. (0,0 ) B. ? ,1? )

?1 ? ?2 ?

C. 1, 2

(

)

D. (2,2 )

4.与椭圆

x2 + y 2 = 1 共焦点且过点 Q (2,1) 的双曲线方程是( 4



A.

x2 x2 x2 y2 y2 ? y 2 = 1 B. ? y 2 = 1 C. ? = 1 D. x 2 ? =1 2 4 3 3 2

5.若直线 y = kx + 2 与双曲线 x 2 ? y 2 = 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是( A. ? ( ) B. 0, (

15 15 , ) 3 3

15 15 15 ) C. ? ( ,0 ) D. ? ( ,?1 ) 3 3 3

6.抛物线 y = 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) 关于直线
用心 爱心 专心

y = x + m 对称,
-1-

且 x1 ? x 2 = ? A.

3 2

1 ,则 m 等于( ) 2 5 B. 2 C. D. 3 2

二、填空题
1.椭圆

x2 y2 + = 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 9 4


横坐标的取值范围是

2 2 2.双曲线 tx ? y = 1 的一条渐近线与直线 2 x + y + 1 = 0 垂直,则这双曲线的离心率为

___。 3. 若直线 y = kx ? 2 与抛物线 y 2 = 8 x 交于 A 、 两点, B 若线段 AB 的中点的横坐标是 2 , 则 AB = ______。 4 . 若 直 线 y = kx ? 1 与 双 曲 线 x 2 ? y 2 = 4 始 终 有 公 共 点 , 则 k 取 值 范 围 是 。

5.已知 A(0, ?4), B (3, 2) ,抛物线 y 2 = 8 x 上的点到直线 AB 的最段距离为__________。

三、解答题
1.当 α 从0 到180 变化时,曲线 x 2 + y 2 cos α = 1 怎样变化?
0 0

x2 y2 ? = 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ∠F1 PF2 = 600 , 2.设 F1 , F2 是双曲线 9 16 求△ F1 PF2 的面积。

x2 y2 3.已知椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) , A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直 a b
平分线与 x 轴相交于点 P ( x0 , 0) .证明: ?

a 2 ? b2 a 2 ? b2 < x0 < . a a

用心

爱心

专心

-2-

(数学选修 1-1) 第二章 圆锥曲线
一、选择题

[提高训练 C 组]答案

1.B 点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO = PF ,过点 P 所作的高也是中线

1 2 1 2 ∴ Px = ,代入到 y 2 = x 得 Py = ± ,∴ P ( , ± ) 8 4 8 4
2.D

PF1 + PF2 = 14, ( PF1 + PF2 ) 2 = 196, PF12 + PF2 2 = (2c) 2 = 100 ,相减得 2 PF1 ? PF2 = 96, S = 1 PF1 ? PF2 = 24 2

3. D

MF 可以看做是点 M 到准线的距离, 当点 M 运动到和点 A 一样高时, MF + MA 取
得最小值,即 M y = 2 ,代入 y 2 = 2 x 得 M x = 2

4.A

c 2 = 4 ? 1,c = 3, 且焦点在 x 轴上,可设双曲线方程为
4 1 x2 2 = 1 ? a = 2, ? y 2 = 1 得 2? 2 a 3? a 2

x2 y2 ? = 1 过点 Q (2,1) a2 3 ? a2

5.D

? x2 ? y 2 = 6 2 , x ? (kx + 2) 2 = 6,(1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 10 = 0 有两个不同的正根 ? ? y = kx + 2
? 2 ?? = 40 ? 24k > 0 ? 4k 2 15 ? 则 ? x1 + x2 = > 0, 得 ? < k < ?1 2 1? k 3 ? ?10 ? ? x1 x2 = 1 ? k 2 > 0 ?

6.A

k AB =

y2 ? y1 1 x +x y +y = ?1, 而y2 ? y1 = 2( x2 2 ? x12 ), 得x2 + x1 = ? ,且( 2 1 , 2 1 ) x2 ? x1 2 2 2
y2 + y1 x2 + x1 = + m, y2 + y1 = x2 + x1 + 2m 2 2

在直线 y = x + m 上,即

2( x2 2 + x12 ) = x2 + x1 + 2m, 2[( x2 + x1 ) 2 ? 2 x2 x1 ] = x2 + x1 + 2m, 2m = 3, m =
用心 爱心 专心

3 2
-3-

二、填空题 1. ( ?

3 5 3 5 , ) 5 5

可以证明 PF1 = a + ex, PF2 = a ? ex, 且 PF1 + PF2 < F1 F2
2 2

2

而 a = 3, b = 2, c =

5, e =

5 2 2 2 2 2 2 2 2 ,则 ( a + ex ) + ( a ? ex ) < (2c) , 2a + 2e x < 20, e x < 1 3

x2 <

1 1 1 3 5 3 5 ,? < x < ,即? <e< 2 e e e 5 5 5 2
渐近线为 y = ± t x ,其中一条与与直线 2 x + y + 1 = 0 垂直,得 t =

2.

1 1 ,t = 2 4

x2 5 ? y 2 = 1, a = 2, c = 5, e = 4 2
3. 2 15

? y 2 = 8x 4k + 8 , k 2 x 2 ? (4k + 8) x + 4 = 0, x1 + x2 = =4 ? k2 ? y = kx ? 2
得 k = ?1, 或2 ,当 k = ?1 时, x ? 4 x + 4 = 0 有两个相等的实数根,不合题意
2



k =2





AB = 1 + k 2 x1 ? x2 = 5 ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 5 16 ? 4 = 2 15
5 4. ±1, ± 2

? x2 ? y 2 = 4 2 , x ? (kx ? 1) 2 = 4, (1 ? k 2 ) x + 2kx ? 5 = 0 ? y = kx ? 1 ?

当 1 ? k 2 = 0, k = ±1 时,显然符合条件; 当 1 ? k ≠ 0 时,则 ? = 20 ? 16k = 0, k = ±
2 2

5 2

5.

3 5 5

直线 AB 为 2 x ? y ? 4 = 0 ,设抛物线 y 2 = 8 x 上的点 P (t , t 2 )

d=

2t ? t 2 ? 4 5

=

t 2 ? 2t + 4 (t ? 1) 2 + 3 3 3 5 = ≥ = 5 5 5 5
用心 爱心 专心 -4-

三、解答题 1.解:当 α = 0 时, cos 0 = 1 ,曲线 x 2 + y 2 = 1 为一个单位圆;
0 0

当 0 < α < 90 时, 0 < cos α < 1 ,曲线
0 0

y2 x2 + = 1 为焦点在 y 轴上的椭圆; 1 1 cos α

当 α = 90 时, cos 90 = 0 ,曲线 x = 1 为两条平行的垂直于 x 轴的直线;
0 0 2

当 90 < α < 180 时, ?1 < cos α < 0 ,曲线
0 0

x2 y2 ? = 1 为焦点在 x 轴上的双曲线; 1 ? 1 cos α

当 α = 180 时, cos180 = ?1 ,曲线 x 2 ? y 2 = 1 为焦点在 x 轴上的等轴双曲线。
0 0

x2 y2 2.解:双曲线 ? = 1 的 a = 3, c = 5, 不妨设 PF1 > PF2 ,则 PF1 ? PF2 = 2a = 6 9 16

F1 F2 2 = PF12 + PF2 2 ? 2 PF1 ? PF2 cos 600 ,而 F1 F2 = 2c = 10
得 PF1 + PF2 ? PF1 ? PF2 = ( PF1 ? PF2 ) + PF1 ? PF2 = 100
2 2 2

PF1 ? PF2 = 64, S =

1 PF1 ? PF2 sin 600 = 16 3 2 x1 + x2 y1 + y2 y ?y , ) ,得 k AB = 2 1 , 2 2 x2 ? x1

3.证明:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则中点 M (

b 2 x12 + a 2 y12 = a 2b 2 , b 2 x2 2 + a 2 y2 2 = a 2b 2 , 得 b 2 ( x2 2 ? x12 ) + a 2 ( y2 2 ? y12 ) = 0,


y2 2 ? y12 b2 x ?x = ? 2 , AB 的垂直平分线的斜率 k = ? 2 1 , 2 2 x2 ? x1 a y2 ? y1 y1 + y2 x ?x x +x = ? 2 1 ( x ? 1 2 ), 2 y2 ? y1 2
爱心 专心 -5-

AB 的垂直平分线方程为 y ?
用心

当 y = 0 时, x0 =

y2 2 ? y12 + x2 2 ? x12 b2 x + x = (1 ? 2 ) 2 1 2( x2 ? x1 ) a 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 < x0 < . a a

而 ?2a < x2 + x1 < 2a ,∴?

4.解:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB =
2 2 2 2 2 2 2

y2 ? y1 1 =? , x2 ? x1 4
2

而 3 x1 + 4 y1 = 12, 3 x2 + 4 y2 = 12, 相减得 3( x2 ? x1 ) + 4( y2 ? y1 ) = 0, 即 y1 + y2 = 3( x1 + x2 ),∴ y0 = 3 x0 , 3 x0 = 4 x0 + m, x0 = ? m, y0 = ?3m

而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则

m 2 9m 2 2 3 2 3 + < 1, 即 ? <m< 。 4 3 13 13

用心

爱心

专心

-6-


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