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黄冈中学2008年秋季高一数学期末考试


湖北省黄冈中学 2008 年秋季高一数学期末考试试题
沉着 冷静 细心 认真

☆ 祝考试顺利 ☆ 命题人:郭 旭

一、选择题(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求. ) 1.设集合 A ? {x | y ? log 2 x}, B ? { y | y ? log 2 x} ,则下列关系中正确的是( A. A ? B ? A B. A ? B ? ? C. A ? B ) D. ?4 ) )

D. A ? B

2.等比数列 ?an ? 中, log 2 a2 ? log 2 a6 ? 4 ,则 a3 a5 等于( A.16 B. ? 16 C. ? 16

3.若非空集合 A, B, C 满足 A ? B ? C ,且 B 不是 A 的子集,则( A.“ x ? C ”是“ x ? A ”的充分条件但不是必要条件 B.“ x ? C ”是“ x ? A ”的必要条件但不是充分条件 C.“ x ? C ”是“ x ? A ”的充要条件 D.“ x ? C ”既不是“ x ? A ”的充分条件也不是“ x ? A ”必要条件 4.函数 y ? log 0.3 ( x2 ? 2 x) 的单调减区间是( A. ? ??,1? B. ? ??,0 ? )

C. ?1, ?? ?

D. ? 2, ?? ? ) D. ? 或{1} )

5.设 f:x→ x 是集合 A 到集合 B 的映射,若 B ? {1, 2} ,则 A ? B ? ( A. ? B.{1} C. ? 或{2} 6.函数 y ? f ( x) 的图象如右上图所示,那么函数 y ? f (2 ? x) 的图象是(

A.

B.

C.

D.

第1页

共4页

7.函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1( x ? 1) 的反函数为( A. f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 1) C. f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1( x ≥1) 8.定义两种运算:①a ? b ? a2 ? b2 A.奇函数 C.既奇又偶函数



B. f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 1) D. f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1( x ≥1) ②a ? b ? (a ? b)2 ,则函数 f ( x) ? B.偶函数 D.非奇非偶函数

2? x 是( x?2?2



9.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f ?1 ( x) ,若 y ? f ( x ? 1) 的反函数是
y ? f ?1 ( x ? 1) ,且 f (0) ? 1,则 f (12) ? (

) C.13 D.14

A.1

B. ?1

10.已知函数 f ( x) ? 3 ? 2 | x | , g ( x) ? x 2 ? 2 x ,构造函数 F(x)定义如下:当 f(x) ? g(x)时, F(x)= g(x) ;当 f(x)<g(x)时,F(x)= f(x). 那么 F(x) ( A. 有最大值 3,最小值 ?1 C. 有最大值 3,无最小值 B. 有最大值 7 ? 2 7 ,无最小值 D. 无最大值,有最小值 ?1 )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 11. 2 log5 10 ? log5 0.25 =____________.
?2 x ? 4 12.不等式组 ? 的解集是 {x | x ? 2} ,则实数 a 的取值范围是____________. ?3x ? a ? 0

13.如右图,函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A, B, C 的坐标分
4) (2 0) (6 4) 别为 (0,,,,, ,则 f ( f (0)) ? ____________.

y 4 3 2 1 O A C

14. 已知 f ( x) ?| log 3 x | , f ( ) ? () 若 a f2

, a 的取值范围是____________. 则

B 1 2 3 4 5 6

x

15.Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 S 6 ? S7 ? S5 . 给出下列结论: ① d<0 ② 11>0 ③ 12<0 ④ 13<0 S S S ⑤ 8>S6 S ⑥ 9>S3 S

则其中正确的结论的序号____________.

第2页

共4页

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

(0,+?) 16. (本小题满分 12 分)根据函数单调性定义证明:函数 y ? ? x3 ? 1 在 上是减函数.

17. (本小题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? 1 和 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 在 ? ?1,1? 上的最大值和最小值.

18. (本小题满分 12 分)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b , a2 ? b , a ? b 成等 1 2 3 3 比数列,求 Tn .

19. (本小题满分 12 分)禽流感疫情的爆发,给疫区禽类养殖户带来了一定的经济损失,某养

1 殖户原来投资 20 万元, 预计第一个月损失的金额是投资额的 , 以后每个月损失的金额是 5
上个月损失金额的

4 . 5

(1)三个月中,该养殖户总损失的金额是多少万元? (2)为了扶持禽类养殖,政府决定给予一定的补偿,若该养殖户每月可从政府处领到 a 万元的补偿金,总共三个月,且每个月损失金额(补贴前)是上个月损失金额(补

4 ,若补贴后,该养殖户第三个月仅损失 1200 元,求 a 的值以及该养殖户 5 在三个月中,实际总损失为多少万元?
贴后)的

20. (本小题满分 13 分)在数列{an}中,已知 a1 ? ?1 ,且 an?1 ? 2an ? 3n ? 4(n ?N* ) (1)求证:数列 {an ? 3n ? 1} 是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求和 Sn ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | an | (n ? N* ) .

第3页

共4页

21. (本小题满分 14 分) (除 8、9、10 班之外的同学做)

1 1 已知点列 B1 (1, y1 ) , B2 (2, y2 ) ,……, Bn (n, yn ) (n ?N? ) 顺次为一次函数 y ? x ? 图 4 12
象上的点. 点列 A1 ( x1 , 0) , A2 ( x2 , 0) ,……, An ( xn , 0)(n ? N? ) 顺次为 x 正半轴上的点,其 中 x1 ? a(0 ? a ? 1). 对于任意 n ? N? ,点 An,Bn, An ?1 构成以 Bn 为顶点的等腰三角形. (1)求{yn}的通项公式,且证明{yn}是等差数列; (2)试判断 xn? 2 ? xn 是否为同一常数(不必证明) ,并求出数列{xn}的通项公式; (3)在上述等腰三角形 An Bn An ?1 中,是否存在直角三角形?若有,求出此时 a 的值;若不 存在,请说明理由.
y Bn B1 B2 B3 l

O A1 A2 A3 A4 …An

An + 1 x

21. (本小题满分 14 分) (仅 8、9、10 班同学做) 已知函数 f ( x) ? a ? b cos x ? c sin x 的图象过 A(0, 1) 和 B( , 1) 两点,当 x ?[0, ] 时,恒有 2 2 | f ( x) |≤ 2. (1)求实数 a 的取值范围; (2)当 a 取上述范围内的最大整数值时,若存在实数 m、n、 ? 使 mf ( x) ? nf ( x ? ? ) ? 1 ,求 m、n、 ? 的值.

?

?

湖北省黄冈中学 2008 年秋季高一数学期末考试答案
题号 答案 题号 答案 1 D 11 2 2 A 3 B 12
a ? ?6

4 D

5 D 13 2

6 C

7 B 14

8 A

9 C 15

10 B

1 (0, ) ? (2, ??) 2

①②④⑥

16.证明:设任意 x1 ? (0, ??) , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,则

第4页

共4页

3 3 3 3 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (? x1 ? 1) ? (? x2 ? 1) ? x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 )( x2 ? x12 ? x1 x2 )

∵0 ? x1 ? x2 ,∴x2 ? x1 ? 0 , x1 x2 ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 )
(0,+?) 所以函数 y= ? x3+1 在 上是减函数.

1 3 17.解: (1) f ( x) ? x2 ? x ? 1 ; (2) f ( x)min ? f ( ) ? , f ( x)max ? f (?1) ? 3 . 2 4
18.解: (1)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ? 1? n ≥ 2? ,两式相减得

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ≥ 2?

又∵ a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1

故 ?an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列 ∴ an ? 3n?1 (2)设 ?bn ? 的公差为 d 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 由 T3 ? 15 可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,即 b2 ? 5 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9
2

由题意可得 ?5 ? d ? 1??5 ? d ? 9? ? ?5 ? 3? ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0

解得 d1 ? 2, d2 ? ?10 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?
n ? n ? 1? 2 ? 2 ? n 2 ? 2n

2 1? 4 ?4? ? 19.解: (1)三个月中,该养殖户总损失的金额为: 20 ? ?1 ? ? ? ? ? ? 9.76(万元) 5? 5 ?5? ? ? ?

1 (2)∵ 该养殖户第一个月实际损失为 20 ? ? a (万元) , 5 4 第二个月实际损失为: ? 4 ? a ? ? a (万元) 5 4 ? ? 4 第三个月实际损失为: ?(4 ? a ) ? a ? ? ? a (万元) 5 ? ? 5
4 ? ? 4 ∴?(4 ? a) ? a ? ? ? a ? 0.12 ? a ? 1 5 ? ? 5 ? 12 ? 该养殖户在三个月中实际总损失为: 3 ? ? ? 1? ? 0.12 ? 4.52(万元). ? 5 ?

20.解: (1)∵an?1 ? 3(n ? 1) ? 1 ? 2(an ? 3n ? 1) 且 a1 ? 3 ? 1 ? 1 ∴ 数列 {an ? 3n ? 1} 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1)可知 an ? 3n ? 1 ? (a1 ? 3 ? 1) ? 2n?1 当 n=1 时, a1 ? 20 ? 3 ? 1 ? ?1 也满足.
第5页 共4页

∴an ? 2n?1 ? 3n ? 1.

故数列{an}的通项公式 an ? 2n?1 ? 3n ? 1. (3)∵an ? 2n?1 ? 3n ? 1 ,∴ 1<0,a2<0,a3<0,a4<0,a5>0,a6>0 …… a 猜想:当 n≥5 时,an>0. 证明:当 n≥5 时, an?1 ? an ? 2n ? 2n?1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2n?1 ? 3 ? 0 (递增数列) ∴ n≥5 时,an>0 恒成立. 当 设 Tn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2n ?

3n2 ? n ?1 2 3n2 ? n ?1 2 3n2 ? n ? 21 2

当 n≤4 时, Sn ? ?(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? ?Tn ? ?2n ?

当 n≥5 时, Sn ? ?(a1 ? a2 ? ? ? a4 ) ? a5 ? ? ? an ? Tn ? 2T4 ? 2n ?
? n 3n2 ? n ? 1(n ≤ 4) ??2 ? ? 2 故 Sn ? ? 2 ?2n ? 3n ? n ? 21(n ≥ 5) ? ? 2

1 1 1 21. (1) yn ? n ? (n ?N) , yn?1 ? yn ? ,∴ n}为等差数列 {y 4 12 4
(2) xn? 2 ? xn ? 2 为常数 ∵xn? 2 ? xn ? 2 为常数 ∴ 1,x3,x5,…, x2n?1 及 x2,x4,x6,…,x2n 都是公差为 2 的等差数列, x ∴x2n?1 ? x1 ? 2(n ? 1) ? a ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 ? a ? 1 ,
x2n ? x2 ? 2(n ? 1) ? 2 ? a ? 2n ? 2 ? 2n ? a ,

?n ? a ? 1, 当n为奇数 ? ∴xn ? ? 当n为偶数 ?n ? a, ?

n 1 (3)要使 An Bn An ?1 为直角三形,则 | An An?1 |? 2 yBn ? 2( ? ) 4 12
当 n 为奇数时, xn?1 ? n ? 1 ? a, xn ? n ? a ? 1 ,

n 1 ∴xn?1 ? xn ? 2(1 ? a). ∴2(1 ? a) ? 2( ? ) 4 12
取 n=1,得 a ?

∴a ?

11 n (*) ? (n 为奇数,0<a<1) 12 4

2 1 ,取 n=3,得 a ? ,若 n≥5,则(*)无解; 3 6

当 n 为偶数时, xn?1 ? n ? a, xn ? n ? a ,∴xn ?1 ? xn ? 2a.
第6页 共4页

n 1 ∴2a ? 2( ? ) 4 12
取 n=2,得 a ?

∴a ?

n 1 ( , ? (n 为偶数,0<a<1) *? ) 4 12

7 ,若 n≥4,则( *? )无解. 12
2 1 7 、 、 . 3 6 12

综上可知,存在直角三形,此时 a 的值为

21.解: (1) y ? f ( x) 的图象过 A、B 两点,故有 a ? b ? 1, a ? c ? 1 ∴ f ( x) ? a ? (1 ? a)cos x ? (1 ? a)sin x ? a ? 2(1 ? a)cos( x ? ) 4 ∵x ?[0,

?

?
2

]

∴x ?

?

? [? , ] 4 4 4

?

?

c o sx(?

?
4

?)

2 [ 2

, 1]

设 2 cos( x ? ) ? t. 则 g (t ) ? a ? (1 ? a) 2 ?[?2, 2] 4

?

∴a ?[? 2, 4 ? 3 2]

(2)由(1)知,a 的最大整数为 8,此时 f ( x) ? 8 ? 7 2 cos( x ? ) 4 方法一:依题意有 a=8, b ? ?7 ∵mf ( x) ? nf ( x ? ? ) ? 1 ∴ f ( x) ? ?7 2 sin( x ? ) ? 8 4

?

?

∴?7 2m sin( x ? ) ? 8m ? 7 2n sin( x ? ? ? ) ? 8n ? 1 4 4

?

?

即 (8m ? 8n ? 1) ? 7 2(m sin( x ? ) ? n sin( x ? ? ? ) ? 0 4 4 令x?

?

?

?
4

?t

则 m sin t ? n sin(t ? ?) ? (m ? n cos?)2 ? (?n sin ?)2 sin(t ? ? )

∴(8m ? 8n ? 1) ? 7 2 (m ? n cos ? )2 ? (?n sin ? )2 sin( x ?

?
4

? ?) ? 0

?8m ? 8n ? 1 ① ?8m ? 8n ? 1 ? 0 ? ∴? ∴? m ? n cos ? ? 0 ② 由③ 可知 n=0 求 sin ? ? 0 2 2 ?(m ? n cos ? ) ? (n sin ? ) ? 0 ? n sin ? ? 0 ③ ?

当 n=0 时,由 mf ( x) ? nf ( x ? ? ) ? 1 ? mf ( x) ? 1矛盾. ∴ n≠0 当? ∴sin ? ? 0 ∴cos ? ? ?1 由② cos ? ? ? 得

m n

m 矛盾. ? 1 时,即 m ? n ? 0 与① n
∴?

∴cos ? ? ?1

m ? ?1 n

∴m ? n ④

由① 得 m ? n ? ④

1 16

?sin ? ? 0 ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z) 而? ?cos ? ? 1

∴m ? n ?

1 16

? ? 2k? ? ? ( ? Z ) k

方法二: f ( x) ? 8 ? 7sin x ? 7 cos x
第7页 共4页

∵ f (0) ? 1

f(

?
2

)? 1

∴mf (0) ? nf (?? ) ? 1 ∴n[ f (?? ) ? f ( ? ? )] ? 0 2

mf (

?

)? nf ( ? ? ? ) 2 2

?

1

∴nf (?? ) ? nf ( ? ? ) 2

?

?

∴ n=0 求 f (?? ) ? f ( ? ? ) 2

?

若 n=0,则 mf ( x) ? 1 矛盾. ∴ f (?? ) ? f ( ? ? ) 2 ∴8 ? 7sin(?? ) ? 7cos ? ? 8 ? 7sin( ? ? ) ? 7cos( ? ? ) 2 2

?

?

?

∴sin ? ? 0

∴ y ? k? ( k ? Z)

当 y ? 2n? (n ? Z) 时 f ( x ? y) ? 8 ? 7 cos x ? 7sin x ? f ( x) ? (m ? n) f ( x) ? 1 矛盾 当 y ? 2n? ? ? (n ? Z) 时, f ( x ? ? ) ? 8 ? 7 cos x ? 7sin x ∴mf ( x) ? nf ( x ? ? ) ? 1 ? 8(m ? n) ? 1 ? 7(n ? m)(cos x ? sin x) ? 0 即 8(m ? n) ? 1 ? 7 2(n ? m)sin( x ? ) ? 0 4
1 ? m? ?8(m ? n) ? 1 ? 0 ? ? 16 ?? ∴? n?m?0 ? ?n ? 1 ? 16 ?

?

∴m ? n ?

1 16

y ? 2 n ?? ( n Z ) . ? ?

第8页

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