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2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单性质(一)讲义 北师大版选修1-1_图文

章圆锥曲线与方程
1.2 椭圆的简单性质(一)

第二章 圆锥曲线与方程
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1.了解用代数法研究椭圆的几何性质. 学习 2.理解椭圆的简单几何性质.(重点) 目标 3.掌握利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问
题.(难点) 1.通过几何图形观察、代数方程验证的学习过程, 学法 体会数形结合的数学思想. 指导 2.通过几何性质的代数研究,养成辩证统一的世 界观.

1.椭圆的简单几何性质

焦点的 位置

焦点在x轴上

图形

标准方 程

xa22+yb22=1(a>b>0)

焦点在y轴上 ay22+xb22=1(a>b>0)

焦点的 位置 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性
离心率

焦点在x轴上

焦点在y轴上

|x|≤a,|y|≤b

|y|≤a,|x|≤b

__(±__a_,__0_)_、__(_0_,__±__b_)__ _(0_,__±___a_)、__(_±__b_,__0_)

长轴长=_____2_a_____,短轴长=_____2_b_____

__(±__c_,__0_)___

__(0_,__±__c_)___

2c
对称轴:___坐__标__轴____,对称中心:原点 c
e=_____a______∈(0,1)

2.当椭圆的离心率越_____大______,则椭圆越扁; 当椭圆的离心率越______小_____,则椭圆越接近于圆. 3.(1)椭圆上到中心距离最近和最远的点:短轴端点B1 或 B2 到中心O的距离最近;长轴端点A1或A2到中心O的距离最远. (2)椭圆上一点与焦点距离的最值:点(a,0),(-a,0)与焦点 F1(-c,0)的距离分别是椭圆上的点与焦点F1的最 大距 离 和 最小距离. (3)在椭圆上任取一点M,当M为短轴端点时,两焦点的张角 最大,即∠F1MF2取到最大值.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)椭圆的顶点是椭圆与坐标轴的交点( √ ) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a-c
(√ ) (3)椭圆的焦点一定在长轴上( √ ) (4)椭圆的离心率决定椭圆的形状(即扁平程度)( √ ) (5)a,b,c,e中任两个量一定,椭圆的大小和形状一定
(√ )

2



(2014·雅













)





x2+ 4

y2 2



1

的离心率是

(C )

A.

2 4

B.12

2 C. 2

3 D. 2

解析:e2=ca22=a2-a2 b2=4-4 2=12.∴e= 22.

3.(2014·衡阳八中高二期末)椭圆的中心在原点,焦点在 x

轴上,长轴长为 4 2,焦距为 4,则该椭圆的方程为( C )

A.3x22 + 1y26=1

B.1x22 +y82=1

C.x82+y42=1

D.1x22 +y42=1

解析:2a=4 2,a=2 2,2c=4,c=2,∴b2=a2-c2=(2 2)2 -22=4,又焦点在 x 轴上,故椭圆方程为x82+y42=1.

4. 在如图所示的图形中,等于椭圆长半轴的线段有 __O_A__1,__O__A_2_,__F_1_B_1_,__F_1_B_2_,__F_2_B_1_,__F_2_B_2__.
解析:|OA2|=|OA1|=长半轴, 又∵a2=b2+c2, ∴|F1B1|=|F1B2|=|F2B1|=|F2B2|=长半轴.

利用椭圆的标准方程研究几何性质

求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦 点坐标、顶点坐标和离心率. (链接教材第二章1.2例3)
[解] 椭圆的方程 m2x2+4m2y2=1(m>0)可转化为

x2 1



y2 1

=1,

m2 4m2

∵m2<4m2,∴m12>41m2,∴椭圆的焦点在 x 轴上,并且长半轴

长 a=m1 ,短半轴长 b=21m,半焦距长 c=2m3.

∴椭圆的长轴长

2a



2 m









2b



1 m













??-2m3,0??,??2m3,0??, 顶点坐标为??m1 ,0??,??-m1 ,0??,??0,-21m??,??0,21m??.

3 离心率 e=ac=21m= 23.
m

方法归纳 已知椭圆的方程讨论其性质时,应先将方程化成标准形式,不 确定的要分类讨论,找准a与b,才能正确地写出焦点坐标、 顶点坐标等.

1.设椭圆方程为 mx2+4y2=4m(m>0)的离心率为12,试求椭圆
的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标. 解:椭圆方程可化为x42+ym2=1. (1)当 0<m<4 时,a=2,b= m,c= 4-m, ∴e=ca= 42-m=12, ∴m=3,∴b= 3,c=1, ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是 4,2 3,焦点坐标为 F1(- 1,0),F2(1,0),顶点坐标为 A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-
3),B2(0, 3).

(2)当 m>4 时,a= m,b=2,∴c= m-4, ∴e=ca= mm-4=12,解得 m=136, ∴a=4 3 3,c=2 33, ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为83 3,4,焦点坐标为
F1??0,-2 3 3??,F2??0,2 3 3??,顶点坐标为 A1??0,-4 33??, A2??0,4 3 3??,B1(-2,0),B2(2,0).

由椭圆的几何性质求方程 求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)经过(3,0)、(0,-5)两点; (2)a=6,e=13; (3)一个焦点到长轴两端点的距离分别是 10 和 4.
(链接教材第二章 1.2 例 4、例 5)

[解] (1)由题意知焦点在 y 轴上,且 a=5,b=3, ∴所求方程为2y52 +x92=1.
(2)∵a=6,e=ac=13,∴c=2.∴b2=a2-c2=36-4=32. 故所求方程为3x62+3y22 =1 或3y26+3x22=1. (3)由题意知?????aa+-cc==140. ∴a=7,c=3,b2=a2-c2=40.
所求方程为4x92+4y02 =1 或4y92 +4x02=1.

方法归纳 由几何性质求椭圆的标准方程: (1)用待定系数法; (2)注意焦点位置不能确定时,应分类讨论.一般步骤是: ①求出a2、b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写 出 标 准 方程.

2.(1)(2014·大理高二检测)已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,且经过点 A(2,0),求椭圆的标准方程.

(2)焦点与长轴较接近的端点的距离为 10- 5,焦点与短轴

两端点的连线互相垂直,求椭圆的标准方程.

解:(1)当焦点在

x

轴上时,a=2,b=1.椭圆的标准方程为

x2 4

+y2=1.当焦点在 y 轴上时,b=2,a=4,椭圆的标准方程

为1y62 +x42=1.

(2)由题意,a-c= 10- 5,b=c,a2=b2+c2,所以解 得 a2=10,b2=5,焦点在 x 轴上时,椭圆标准方程为1x02+ y52=1,焦点在 y 轴上时,椭圆标准方程为1y02 +x52=1.

求椭圆的离心率
如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上, A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴, PF2∥AB,求此椭圆的离心率.

[解] 设椭圆的方程为xa22+yb22=1(a>b>0).

如题图所示,则有 F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0), 直线 PF1 的方程为 x=-c,代入方程xa22+by22=1,得 y=±ba2,
∴P??-c,ba2??.

又 PF2∥AB,∴△PF1F2∽△AOB. ∴||FP1FF12||=||AOOB||,∴2ba2c=ba,∴b=2c.

∴b2=4c2,∴a2-c2=4c2,∴ca22=15.∴e=ac=

5 5.

方法归纳 求椭圆离心率的方法: (1)直接求出 a 和 c,再求 e=ac,也可利用 e=

1-ba22求解.

(2)若 a 和 c 不能直接求出,则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系,然后整理成c 的形式,并将其视为整体,就
a 变成了关于离心率 e 的方程,进而求解.

3.(1)(2014·濮阳市高二期末 )椭圆ax22+yb22= 1(a>b>0)的左、

右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|, |F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )

1

5

A.4

B. 5

C.12

D. 5-2

(2)(2013·高考四川卷)从椭圆ax22+yb22=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴 的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是 坐标原点),则该椭圆的离心率是( )

2

1

A. 4

B.2

2 C. 2

3 D. 2

解析:(1)选 B.由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a +c,且三者成等比数列,则|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,即 4c2=a2
-c2,a2=5c2,∴e2=15,e= 55,故选 B. (2)选 C.已知点 P(-c,y)在椭圆上,代入椭圆方程,得 y=ba2 (负值舍去),故 P(-c,ba2). ∵AB∥OP,∴kAB=kOP,即-ba=-abc2,则 b=c,∴a2=b2
+c2=2c2,则ac= 22,即该椭圆的离心率是 22,故选 C.

易错警示

因忽略讨论椭圆焦点位置致误

(2014·大理高二检测)若椭圆k+x24+y42=1 的离心率

为12,则 k=________. [解析] 当焦点在 x 轴上时,a2=k+4,b2=4,

∴c2=k,∵e=12,∴ca22=14,即k+k 4=14,∴k=43.

当焦点在 y 轴上时,a2=4,b2=k+4,

∴c2=-k.由 e=12,∴ac22=14,∴-4k=14.
∴k=-1.
综上可知,k=43或 k=-1. [答案] 43或-1 [错因与防范] 本例易主观认为焦点在 x 轴,漏掉另一个 解-1.从而导致答案不全面.对椭圆方程xm2+yn2=1,当分 母含参数时,一要注意隐含条件分母 m>0,n>0,m≠n, 二要注意讨论焦点(即分母大小).

4.已知椭圆长轴与短轴之和为18,焦距为6,求椭圆 的 标 准方程.

解:设椭圆长轴长,短轴长,焦距分别为 2a,2b,2c,

??2a+2b=18

则?2c=6

.

??a2=b2+c2

解得 a=5,b=4,由于焦点可能在 x 轴,也可能在 y 轴,

故其标准方程为2x52+1y62 =1 或2y52 +1x62=1.

技法导学

求椭圆离心率的范围

如图,椭圆xa22+by22=1(a>b>0)的两焦点为 F1,F2,

若椭圆上存在一点 P,使 PF1⊥PF2,求椭圆离心率 e 的

取值范围.

[解] 设 P(x0,y0),∵F1(-c,0),F2(c,0),
∵P→F1=(-c-x0,-y0),P→F2=(c-x0,-y0). ∵PF1⊥PF2,
∴P→F1·P→F2=0, ∴(-c-x0)(c-x0)+(-y0)(-y0)=0, 即 x20+y20-c2=0.
又∵xa022+by202=1,∴y20=b2??1-xa202??,
∴x20+b2??1-xa202??-c2=0,

整理得 x20=a2(c2c-2 b2)=a2(2cc22-a2). ∵点 P 在椭圆上,∴0≤x20≤a2.∴0≤a2(2cc22-a2)≤a2. ∴?????2ac2≥2-c2 a2≥0,.∴12≤e2≤1. 又∵0<e<1,∴ 22≤e<1.
即 e 的取值范围为[ 22,1).


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