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高考数学 解题方法攻略 二次函数2 理

二次函数专题讲解暨二次不等式解法探究

引言:历年数学高考考题中都或多或少的出现了二次函数题,所考查的内容涉及许多重要的 数学思想及方法,如分类讨论、数形结合、函数方程思想;配方法、换元法、赋值法等。要 求学生掌握二次函数的概念,掌握其图象、性质及图象与性质的关系,能灵活地运用“三个 二次”的相关知识解题。充分体现了学生对函数内容的把握程度,是数学高考中一个永恒的 话题,真可谓“考你千遍也不厌倦” 。形如 y ? ax ? bx ? c, (a ? 0) 的函数叫做关于 x 的一元
2

二次函数,其定义域为 R ,图象是一条抛物线,对称轴方程 x ? ?

b ,顶点坐标 2a

(?

b 4ac ? b 2 , ) 。学习时应重点掌握下列内容: 2a 4a
⑴合理选择二次函数的解析式。
2 2

*三种常用表达式:① y ? ax ? bx ? c, ;② y ? a ( x ? h) ? k , (a ? 0) (顶 (a ? 0) (定义式) 点式) ;③ y ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 ), (a ? 0) (两根式) 。 【例题 1】已知 f ( x) 是二次函数,且满足 f (0) ? 1, f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,则 f ( x) ? 。

设f ( x) ? ax 2 ? bx ? c,? f (0) ? 1,? c ? 1,? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x,? a ( x ? 1) 2 ?
〖解答〗 b( x ? 1) ? ax 2 ? bx ? 2ax ? a ? b ? 2 x. ? ?

?2 a ? 2 ?a ? 1 ?? , ?a ? b ? 0 ?b ? ?1

? f ( x) ? x 2 ? x ? 1.
【例题 2】设二次函数的图象的顶点是 (?2, ) ,与 x 轴的两个交点之间的距离为 6,求这个二 次函数的解析式。

3 2

3 3 设二次函数y ? a ( x ? 2) 2 ? , 即y ? ax 2 ? 4ax ? 4a ? .由 | x1 ? x 2 |? 2 2 〖解答〗 6 1 1 2 5 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? ? ? 6, 得a ? ? . ? y ? ? x 2 ? x ? . a 6 6 3 6
【例题 3】设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根满足
2

0 ? x1 ? x 2 ?

1 ,当 x ? ( x1 , x 2 ) 时,证明: x1 ? f ( x) ? x 2 . a 由已知设f ( x) ? x ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 ),? f ( x) ? x1 ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? x ? x1

1 ,? x ? x1 ? 0, ax ? 0,1 ? ax 2 ? 0, 〖解答〗 a ? f ( x) ? x1 ? 0即x1 ? f ( x).同理f ( x) ? x 2 ? ( x ? x 2 )(ax ? 1 ? ax1 ) ? 0, 即x 2 ? ? ( x ? x1 )(ax ? 1 ? ax 2 ),? 0 ? x1 ? x ? x 2 ? f ( x), 综上x1 ? f ( x) ? x 2 .

二次函数 定义域 值 域 (最 值)

⑵熟练掌握二次函数的图象和性质。 2 y=ax +bx+c, (a>0) y=ax +bx+c, (a<0) x∈R
2

? 4ac ? b 2 ? ?y y ? ? 4a ? ?

? 4ac ? b 2 ? ?y y ? ? 4a ? ?

图 象

抛物线 (略) , 精确度要求不高时作二次函数图象先考虑二次项系数 a 的 符号,确定图象的延伸方向;然后考虑对称轴方程,确定图象的左右位置; 再考虑顶点坐标,确定图象的上下位置;最后考虑与轴的交点,确定图象的 开口大小。

顶 点 对称轴 开口方向 奇偶性

? b 4ac ? b 2 ? ? ? 2a , 4a ? b x?? 2a

? ? ? ?

开口向上 开口向下 b=0 时,是偶函数;b≠0,是非奇非偶函数。 递增区间 ??

? b ? ? b ? 递减区间 ?? ,?? ? ,?? ? ? 2a ? ? 2a ? 单调性 b? b? ? ? 递减区间 ? ? ?,? 递增区间 ? ? ?,? ? 2a ? 2a ? ? ? ? 2 【例题 1】函数 y ? x ? bx ? c, ( x ? [0,??)) 是单调函数的充要条件是( )
A.b≥0 B.b≤0 C.b>0 D.b<0 〖分析〗二次函数的单调性受二次项系数(决定左增右减还是左减右增)和对称轴方程(决 定单调性分界位置)共同制约。因函数 y ? x ? bx ? c, ( x ? [0,??)) 的图象开口方向向上,
2

b b b ,则区间 [0,??) 应是 [? ,??) 的子区间,? ? ? 0, b ? 0 ,故选 A。 2 2 2 2 【例题 2】已知函数 y ? ax ? bx ? c ,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象可能是( )
对称轴方程为 x ? ?

〖分析〗? a ? b ? c, a ? b ? c ? 0,? a ? 0, c ? 0. 即图象开口向上,与 y 轴交点在原点下方, 故应选 D。 【例题 3】集合 A ={ y | y ? x ? 2 x ? 4 }, B ={ y | y ? ax ? 2 x ? 4a }, A ? B ,求实数 a 的取值集合。
2 2

? y ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3 ? 3,? A ? { y | y ? 3}.当a ? 0时, B ? R, 适合.
〖解答〗

?a ? 0 ? 当a ? 0时, 要使A ? B, 必有?16a 2 ? 4 ,? 0 ? a ? 1.综上, a ? [0,1]. ? 3 ? ? 4a
⑶深刻理解二次函数在区间上的最值问题。
2

〖探究〗最值问题常与函数求值域问题相联系,则我们先求函数 y ? ? x ? 4 x ? 1 分别在区间
2 由配方法化成顶点式 y ? a ( x ? h) ? k , 确定图象 (??,??), [3,??), [?3,3] 上所对应的值域,

开口方向及对称轴方程,再结合图象、性质(单调性)作答,如能取到最值,应分别在区间 端点或顶点处取得,特别对含参数的二次函数,要讨论区间与对称轴的变化情况。

? y ? ?( x ? 2) 2 ? 5,? a ? ?1 ? 0(开口向下), 对称轴为x ? ?2. 当x ? R时, 只有a决定值域情况,? a ? 0,? 有y max ? f (?2) ? 5(顶点处).
〖解答〗

当x在某一区间内时, 则还要考虑对称轴的位置,? ?2 ? [3,??), a ? 0, 函数f ( x)在[3,??)内单调递减,? 有y max ? f (3) ? ?20(区间端点处). y min ? f (3) ? ?20(区间端点处). ? 值域分别为(??,5], (??,?20], [?20,5]

? ?2 ? [?3,3], a ? 0, 函数f ( x)在[?3,3]内, 有y max ? f (?2) ? 5(顶点处);
【注意】二次函数 y ? ax ? bx ? c, a ? 0 在区间上的最值问题应主要考查函数对称轴与区间
2

b 在区间内则该点处必取一个最值,如有另一个最值应在离对称轴最 2a b 远的区间端点处取得;若 x ? ? 在区间外,如有最值应取在区间端点处,最值是最大值还 2a
的位置关系,若 x ? ? 是最小值要结合图象的开口方向及单调性判断。高中阶段我们主要研究:①二次函数在闭区 间[m,n]上的最值;②二次函数在区间定(动) ,对称轴动(定)时的最值。 【思考】 (以 a>0 为例)对于二次函数 y ? ax ? bx ? c, a ? 0 ,设 x ? [ x1 , x 2 ], x1 ? x 2 , 令
2

b , f ( x0 ) ? y 0 , f ( x1 ) ? y1 , f ( x 2 ) ? y 2 . 结 合 函 数 图 象 则 相 应 值 域 ( 最 值 ) 为 : 2a x ? x2 x ? x2 当x0 ? x1时, y ? [ y1 , y 2 ];当x1 ? x0 ? 1 时, y ? [ y 0 , y 2 ];当x0 ? 1 时, 2 2 x ? x2 y ? [ y 0 , y1, 2 ];当 1 ? x0 ? x 2时, y ? [ y 0 , y1 ];当x0 ? x 2时, y ? [ y 2 , y1 ]. 2 x0 ? ?
观察值域中最大值、最小值的变化情况易得:求闭区间上二次函数的最值应先看二次项 系数,含参数时要讨论,再把对称轴 x ? ?

a ? 0 时,求最小值分 3 种情况,即在区间端点处讨论;求最大值分 2 种情况,即在区间中点 处讨论。当 a ? 0 时规律相反。 2 【例题 1】求函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间 [0, a ] 上的最值,并求此时的 x 的值。
〖解答〗函数图象的对称轴为直线 x=1,抛物线开口向上。

b 与区间端点及区间中点进行比较分类,如当 2a

当a ? 1时, 函数在[0, a ]上单调递减, 当x ? 0时, y max ? 3, 当x ? a时, y min ? a 2 ? 2a ? 3; 当1 ? a ? 2时, 函数在[0,1]上单调递减, 在[1, a ]上单调递增, 当x ? 1时, y min ? 2, 当x ? 0 时, y max ? 3;当a ? 2时, 函数在[0,1]上单调递减, 在[1, a ]上单调递增, 当x ? 1时, y min ? 2 当x ? a时, y max ? a 2 ? 2a ? 3.
a 1 ? 在区间[0,1]上的最大值是 2,求实数 a 的值。 4 2 a a2 ? a ? 2 a a ? y ? ?( x ? ) 2 ? , 对称轴为x ? , 当 ? 0时, 即a ? 0, 函数在[0,1] 2 4 2 2 a 上单调递减, 有y max ? f (0) ? 2, 得a ? ?6;当0 ? ? 1时, 即0 ? a ? 2, 2 〖解答〗 a 有y max ? f ( ) ? 2, 得a ? ?2或3, 与0 ? a ? 2矛盾, 故舍去;当a / 2 ? 1时, 即 2 10 10 a ? 2, 函数在[0,1]上单调递增,? y max ? f (1) ? 2,? a ? , 综上a ? ?6或 . 3 3 【例题 3】求函数 y ? ? x( x ? a ) 在区间 [?1, a ] 上的最大值。
【例题 2】已知函数 y ? ? x 2 ? ax ?

a a 2 a2 由已知a ? ?1,? ? ?1, y ? ? x( x ? a ) ? ?( x ? ) ? ,图象开口向下. 2 2 4 〖解答〗 a a a2 当 ? a, 即 ? 1 ? a ? 0时, y max ? f (a ) ? 0;当 ? a, 即a ? 0时, y max ? . 2 2 4
⑷透彻领悟“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的内在联系。 2 Δ =b -4ac Δ >0 Δ =0 Δ <0
2

函数 y=ax +bx+c, (a>0)的图象

方程 ax +bx+c=0 的根 不等式 ax +bx+c>0 的解集 2 不等式 ax +bx+c<0 的解集
2

2

x1, 2 ?

?b? ? 2a

x1, 2 ? ?

b 2a

无实根 R Φ

x<x1 或 x>x2 x1<x<x2
2

x≠x1,2 Φ

*两条规律:①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c, a ? 0 的图象与轴的交点的横坐标 x1 , x 2 即二次 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的根,且对称轴方程为 x ?

x1 ? x 2 ;②不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 (或 2

?, ?, ? )的解集为 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, a ? 0 图象上方(或下方)的点的横坐标的集合。 【注意】当 a ? 0 时要转化、化归成 a ? 0 时的情况求解。 1 【例题】已知关于 x 的不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 {x | x ? ?2或x ? ? } ,求不等式 2 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集。 方法一、 ? ax 2 ? bx ? c ? 0的解集在两根之外,表明函数y ? ax 2 ? bx ? c

1 b ? ?2? ? ? ? 1 ? 2 a 的图象开口向下, 对应方程两根分别为 ? 2,? .则有a ? 0, 且? 2 ?? 2 ? ( ? 1 ) ? c ? 2 a ? 5a 5a , c ? a,? ax 2 ? bx ? c ? 0写作ax 2 ? x ? a ? 0, 即2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0, 〖解答〗 ? b ? 2 2 2 ?{x | 0.5 ? x ? 2}.方法二、由同解原理ax ? bx ? c ? 0与a (? x) 2 ? b(? x) ? c ? 0是同解方程, 则 ? 2 ? ? x ? ?0.5. ?{x | 0.5 ? x ? 2}.
*一种应用:不等式恒成立的条件,令 y ? ax ? bx ? c, a, b, c ? R 。
2

?a ? 0 ?a ? b ? 0 f ( x) ? 0(? 0)对任意x ? R恒成立 ? ? 或? , ?? ? 0(? 0) ?c ? 0(? 0) ?a ? 0 ?a ? b ? 0 f ( x) ? 0(? 0)对任意x ? R恒成立 ? ? 或? , ?? ? 0(? 0) ?c ? 0(? 0) f ( x) ? m恒成立 ? [ f ( x)]min ? m; f ( x) ? m恒成立 ? [ f ( x)]max ? m.
【例题 1】若关于 x 的不等式 ax 2 ? 2ax ? 3 ? 0 对一切实数 x 都成立,求实数 a 的取值范围。

若a ? 0, 原式化为3 ? 0, 此时x ? R, 满足题意.若a ? 0, 令y ? ax 2 ? 2ax ? 3, ?a ? 0 对x ? R, y的值恒大于0, 只需? , 得0 ? a ? 3, 综上a ? [0,3). 2 ?? ? 4a ? 12a ? 0 【例题 2】已知函数 y ? ax ? b(a ? 0) 对任意 x ? [?1,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求 a, b 满足的条
〖解答〗 件。 〖解答〗由已知只需 ?

? f (?1) ? 0 ?b ? a ? 0 ?? ? a2 ? b2. ? f (1) ? 0 ?a ? b ? 0
2

【例题 3】设 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时 f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范 围。

当a ? ?1时, f ( x) min ? f (?1) ? 3 ? 2a, x ? [?1,??), f ( x) ? a恒成立 ? f ( x) min ? a, 即2 ? a 2 ? a,? a ? ?3.故 ? 3 ? x ? ?1.
〖解答〗 当a ? ?1时, f ( x) min ? f (a ) ? a ? 2a ? 2 ? 2 ? a , x ? [?1,??), f ( x) ? a
2 2 2

恒成立 ? f ( x) min ? a即2 ? a 2 ? a,? ?2 ? a ? 1, 故 ? 1 ? a ? 1.综上, 当 ? 3 ? a ? 1时, x ? [?1,??), f ( x) ? a恒成立.
*二次不等式解法探究: 一、一元二次不等式解法有(1)图象法(穿线法、标根法) ; (2)三个二次关系法——①先 化标准型;②验证判别式,求方程的根;③结合图象写集合; (3)化一元一次不等式组法(符 号法则) 。 【例题】1. 不等式(x+2)(1-x)>0 的解集是( ) A.{x|x<-2 或 x>1} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-1 或 x>2} D.{x|-1<x<2} 2.已知集合 M ? {x | x ? 4}, N ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,则集合 M ? N =( A.{x|x<2} B.{x|x>3} C.{x|-1<x<2} D.{x|2<x<3}
2 2



3.二次函数 y ?

x2 ? 4 x ? 3 在 y<0 时 x 的取值范围是 2
2 2


2 2

【练习】1.求下列不等式的解集: (1)-2x +x+1/2<0;(2)x <3x+4;(3)x >2x-3;(4)x >2x-1; 2 (5)3x +5≤3x。

2.解下列不等式: (1) x ?

x ? 6; (2) x 2 ? 2 | x | ?3 ? 0.

二、关于分式不等式,一般是化为一边为零,另一边进行通分,转化为等价的一元二次不等 式或不等式组来解(注意转化的等价性) ,在明确分母的符号的情况下,也可考虑去分母,转 化为整式不等式(组) 。 【例题】4.不等式 1 ? A.{x|x>1}

1 的解集为( x

) C.{x|0<x<1} D.{x|-3<x<2}

B.{x|x<1}

2 ? x x ?1 的解集是 ? 2? x x?2 x ?1 【练习】3.解不等式 ? 1. 1 ? 2x
5.不等式



4.关于 x 的不等式

a?x ? 0(a ? b ? 0) 的解集是 b?x



三、二次性不等式解集的逆向思维: 题型 1:关于 x 的不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 R(或写作对任意 x∈R 恒成立)时的条件 是?解集为Ф 时的条件是?

?a ? 0, b ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0, b ? 0 ?a ? 0 或? ; 解集为Ф ? ? 或? . ?c ? 0 ?? ? 0 ?c ? 0 ?? ? 0 〖思考〗 ax 2 ? bx ? c ? 0 时上述情况应满足的条件…… 2 2 【例题】6.问 a 为何值时,不等式 (a ? 3a ? 2) x ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 的解是一切实数?
〖讨论〗解集为 R ? ?

【练习】 5.不等式 (a ? 1) x ? ax ? a ? m( x ? x ? 1) 对任意 x∈R 恒成立, 求 a 与 m 之间的关 系。
2 2

题型 2:已知不等式及其解集利用根与系数的关系求解。 首先明确两个方面的内容,一是根据不等号方向及解集确定二次项系数的符号;二是根 据解集的端点值确定对应方程的根。

1 1 。 ? x ? } ,则 a+b 等于 2 3 1 【练习】6.已知关于 x 的不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 {x | x ? ?2或x ? ? } ,求不等式 2 2 ax ? bx ? c ? 0 的解集。
【例题】7.若不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?

四、含参数的不等式的解法 在对一元二次不等式及简单分式不等式解法的研究中,我们最关心的问题是二次项系数 的情况(a>0、a=0、a<0) 、判别式的情况(△>0、△=0、△<0)及对应方程根的情况(根的 个数、根的正负、根的大小等) ,所以在解决含参数的不等式的求解问题时,也要从这几个方 面入手,进行分层讨论。同时等价转化、分解因式、求根公式、韦达定理、数形结合、函数 方程等数学思想、公式、定理的运用也很关键。 【例题】8.关于 x 的方程 x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 有两异号实根,则 a 的取值范围是 。 提示:方程根的正负主要由判别式及韦达定理内容来决定,即

?? ? 0 ?? ? 0 ? 方程有两个正(负)实根 ? ? x1 x 2 ? 0 ;方程有两异号实根 ? ? ? x1 x 2 ? 0 ? x ? x ? 0(? 0) 2 ? 1
【例题】9.解不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0.

【练习】7.解关于 x 的不等式 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0.

【练习】8.解不等式 ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0.
2

⑸正确应用一元二次方程(实系数)的实根分布。 【例题】试讨论方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的根的情况。 (1)根的个数:b,c 满足什么条件时,方程有两个不等实根?相等实根?无实根? (2)根的大小:b,c 满足什么条件时,方程有两个正根?两个负根?两个异号根?一根 为 0? (3)根的范围:b,c 满足什么条件时,方程两根都大于 1?都小于 1?一根大于 1,一 根小于 1? 〖分析〗对于一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的研究,主要分四个方面。 (A)根的
2

虚、实; (B)根的相等与不等; (C)根的正负; (D)根的范围。利用根的判别式,可以解决 (A) (B) ,利用韦达定理,可以解决(C) 。对于(D)现结合问题(3) ,予以讨论。 〖解答〗 (方法一:方程思想)若令 x ? y ? 1 ,方程化为: y ? (b ? 2) y ? b ? c ? 1 ? 0 ? (?)
2

问题(3)转化为方程(*)有两个正根,两个负根,两个异号根。

?b 2 ? 4c ? 0 ?? ? 0 ? ? (*)有两个正根的条件是 ? y1 ? y 2 ? 0 ? ?b ? ?2 ; ?y y ? 0 ?b ? c ? ?1 ? 1 2 ? ?b 2 ? 4c ? 0 ?? ? 0 ? ? (*)有两个负根的条件是 ? y1 ? y 2 ? 0 ? ?b ? ?2 ; ?y y ? 0 ?b ? c ? ?1 ? 1 2 ?
(*)有两异号根的条件是 ?

?? ? (b ? 2) 2 ? 4(b ? c ? 1) ? 0 ?b 2 ? 4c ? 0 ?? . ?b ? c ? ?1 ? y1 y 2 ? b ? c ? 1 ? 0
2

〖解答〗 (方法二:函数思想)设 y ? f ( x) ? x ? bx ? c ,结合函数图象如下,

?? b / 2 ? 1 ?b ? ?2 ? ? 2 则方程 f(x)=0 的两根都大于 1 的条件是 ?? ? b ? 4c ? 0 ? ?b 2 ? 4c ? 0; ? f (1) ? b ? c ? 1 ? 0 ?b ? c ? ?1 ? ? ?? b / 2 ? 1 ?b ? ?2 ? ? 方程 f(x)=0 的两根都小于 1 的条件是 ?? ? b 2 ? 4c ? 0 ? ?b 2 ? 4c ? 0; ? f (1) ? b ? c ? 1 ? 0 ?b ? c ? ?1 ? ?
方程 f(x)=0 的两根一个大于 1,一个小于 1 的条件是 ?

?b 2 ? 4c ? 0 ?? ? 0 ?? . ? f (1) ? 0 ?b ? c ? ?1

〖分析〗两种不同思路,从不同角度(一个是代数法考虑方程判别式与韦达定理,一个是几 何法结合图象) ,对根的分布给予讨论,有异曲同工之妙。 【例题】已知关于 x 的方程 x ? (a ? 1) x ? 2a ? 0 分别在下列条件下,求实数 a 的取值范围。
2

(1)有一个根小于-1,有一个根大于 1; (2)两根均在 (?1,1) 内。 〖分析〗此题若用方程变换,则很吃力,若用函数思想,则问题变得简明、直观。 〖解答〗设 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 2a. 如图:
2

为使 f(x)=0 有一个根小于-1,一个根大于 1 只需 ?

? f (?1) ? 0 2 ? a ? ? 即为所求; 3 ? f (1) ? 0

? f (?1) ? 0 ? f (1) ? 0 ? ? 为使 f(x)=0 的两根均在区间 (?1,1) 内,只需 ?? ? 0 ? 0 ? a ? 3?2 2 。 ? ?? 1 ? ? a ? 1 ? 1 ? 2 ?
【思考】 (1)中为什么不考虑Δ >0?(2)中为什么考虑四个条件,缺一个行吗? 2 〖结论〗一般地,用函数思想结合图象来分析方程 ax +bx+c=0(a≠0)的实根分布情况要考虑 2 四个必要条件。①二次项系数 a,决定图象开口(延伸)方向;②判别式Δ =b -4ac,决定与 x 轴的位置;③对称轴 x=-b/2a,决定图象左右平移;④特殊点(区间端点)所对函数值 f(x0) 的正负,决定图象开口大小。原则上四者缺一不可,但是如果图象开口向上且有下方部分, 则判别式可以省略,例(1) ;如果两根的位置已经确定,则对称轴可以不考虑。上述结论切 勿死记硬背,要结合图象具体分析。例(2)条件如果缺少就会出现如下情况:

〖拓展〗 对于 f ( x) ? ax ? bx ? c, (a ? 0) 只需利用变换
2

f ( x) b c ? x 2 ? x ? . 即可化归为前 a a a

面讨论过的问题,由于

f ( x) 与 af ( x) 同号,故我们有若相应的方程 f ( x) ? 0 的两个实根为 a

x1 , x 2 , x1 ? x 2 ,实数 n ? m ,则方程的根的分布情况可总结如下:
根的范围 图象显示 充要条件

x1 , x 2 都大于 n

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?n ? ?b / 2a ?af (n) ? 0 ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?m ? ?b / 2a ?af (m) ? 0 ?

x1 , x 2 都小于 m

x1 , x 2 都在 n,m 之间

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?n ? ?b / 2a ? m ? ?af (n) ? 0 ? ?af (m) ? 0
af (n) ? 0

n 在 x1 , x 2 之间

x1 , x 2 只有一根在 n,m 之间

f ( n ) f ( m) ? 0

n,m 在 x1 , x 2 之间 【注意】以上结论,一定要结合图象推导,万不可死记硬背。

?af (n) ? 0 ? ?af (m) ? 0

【例题】分别求使方程 x 2 ? mx ? m ? 3 ? 0 的两根满足下列条件的 m 值的集合。 (1)一根小于 0,另一根大于 2; (2)一根在 0 与 1 之间,一根在 1 与 2 之间; (3)两根都在-4 与 0 之间; (4)两根都大于-5。


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高考数学 解题方法攻略 二次绝对值不等式 理.doc
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高考数学解题方法攻略导数求根理.doc
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高考数学 解题方法攻略 导数求根 - 第一讲 函数与导数曲线的交点和函数的零点 第三课时 用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数 曲线的交点和函数的...
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2013高考数学 解题方法攻略 数学思想2 理.doc
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2013高考数学 解题方法攻略 函数与方程 - 专题四:函数与方程思想 【考情分析】 纵观近几年的高考试题,函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等...
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高考数学解题方法攻略不等式 - 一.复习目标: 1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简 单不等式的解法.通过不等式...
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