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高中数学2-2圆锥曲线的参数方程


第二节
【课标要求】

圆锥曲线的参数方程

1.了解双曲线、抛物线的参数方程. 2.掌握椭圆的参数方程及其应用. 3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.

【核心扫描】
1.对椭圆的参数方程的应用考查.(重点) 2.本节内容常与函数、方程、三角结合起来命题.

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自学导引
1.椭圆的参数方程
普通方程 x2 y 2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 参数方程

acos φ ?x=_________ ? ? bsin φ (φ ?y=_________ ?
?x=bcos φ ? ? ?y=asin φ ?

为参数)

(φ 为参数)

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2.双曲线的参数方程
普通方程 参数方程
?x=_________ asec φ ? x2 y2 - =1(a>0,b>0) ? btan φ (φ 为参数) a2 b2 ?y=_________ ? ?x=bcot φ ? y2 x2 (φ 为参数) 2- 2=1(a>0,b>0) ? a b ?y=acsc φ ?

注意

x2 y2 在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的参数方程中,通常规定 a b

π 3π 参数 φ 的范围为[0,2π),且 φ≠ ,φ≠ . 2 2
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3.抛物线的参数方程 (1)抛物线 +∞). (2)抛物线 数); (3)抛物线
?x=2pt, ? 2 x =2py(p>0)的参数方程为? ?y=2pt2 ? ?x= ? 2 y =-2px(p>0)的参数方程为? ?y= ? ?x=2pt2, ? 2 y =2px 的参数方程为? ?y=2pt ?

(t 是参数), t∈(-∞,

-2pt2 2pt



(t 为参

(t 为参数);

(4)抛物线

?x=2pt, ? 2 x =-2py(p>0)的参数方程为? ?y=-2pt2 ?
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(t 为参数).
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试一试:将下列曲线的参数方程化为普通方程,并指明曲 线的类型.
?x=acos ? (1)? ?y=bsin ?

θ, (θ 为参数,a、b 为常数,且 a>b>0); θ

a ? ?x= , cos φ (2)? (φ 为参数,a、b 为正常数); ?y=btan φ ?
?x=2pt2, ? (3)? (t ?y=2pt ?

为参数,p 为正常数).

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x2 y2 提示 (1)由 cos θ+sin θ=1,得 2+ 2=1 (a>b>0),它 a b 表示的曲线是椭圆. 1 x y (2)由已知 = ,tan φ= , b cos φ a 1 x2 y2 由 2 =1+tan2 φ,有 2- 2=1,它表示的曲线是双曲 a b cos φ 线. y y2 (3)由已知 t= ,代入 x=2pt2 得 2·2p=x, 2p 4p 即 y2=2px,它表示的曲线是抛物线.
2 2

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名师点睛
?x=rcos θ, ? 1.圆的参数方程? ?y=rsin θ ?

中的参数 θ 是半径 OM 的旋转

?x=acos φ, ? 角,椭圆参数方程? ?y=bsin φ ?

中的参数 φ 是椭圆上点 M

的离心角.
(x-m)2 (y-n)2 2.椭圆 + = 1 (a>b>0) 的 参 数 方 程 为 a2 b2 ?x=m+acos φ ? ? (φ 为参数). ?y=n+bsin φ ?

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3. 双曲线的参数方程中, 参数 φ 的三角函数 cot φ 、 sec φ 、 1 1 csc φ 的意义分别为 cot φ = ,sec φ = , tan φ cos φ 1 csc φ = . sin φ ?x=2pt2, ? y 1 4.抛物线的参数方程? (t 为参数),由于 = ,因此 x t ?y=2pt ?

t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连 线的斜率的倒数.

5.利用圆锥曲线的参数方程,可以方便求解一些需要曲 线上点的两个坐标独立表示的问题,如求最大值、最 小值问题、轨迹问题等.

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【思维导图】

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题型一

椭圆参数方程的应用

x2 y 2 【例 1】 已知 A、B 分别是椭圆 + =1 的右顶点和上顶点, 36 9 动点 C 在该椭圆上运动,求△ABC 重心 G 的轨迹的普通 方程.

[思维启迪] 由已知求出A、B坐标,再设出C 点坐标(6cos θ,3sin θ),再用A、B、C的坐标表示出G点的 参数方程,消参后得普通方程.
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解 由动点 C 在该椭圆上运动,故据此可设点 C 的坐标为 (6cos θ ,3sin θ ),点 G 的坐标为(x,y),则由题意可知点 A(6,0),B(0,3). 6+0+6cos θ ? =2+2cos θ , ?x= 3 由重心坐标公式可知? ?y=0+3+3sin θ =1+sin θ . ? 3 (x-2) 2 由此消去 θ 得到 +(y-1)2=1 即为所求. 4

【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解
决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单,运算更 简便.

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x2 y2 【变式 1】 已知点 P 在椭圆 + =1 上,求点 P 到直线 3x 16 9 -4y=24 的最大距离和最小距离.
设 P(4cos θ,3sin θ ), |12cos θ -12sin θ -24| 则 d= . 5 ? ? ? π? ? ? ? 12 2cos?θ + ?-24 ? ? ? ? ? 4? ? 即 d= , 5 ? π? 12 ? ? 当 cos?θ + ?=-1 时,dmax= (2+ 2); 5 ? 4? ? π? 12 ? 当 cos?θ + ?=1 时,dmin= (2- 2). 5 ? 4? ? 解

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题型二

双曲线参数方程的应用

x2 y2 【例 2】 设直线 AB 过双曲线 2- 2=1 的中心 O, 与双曲线交 a b 于 A, 两点, 是双曲线上的任意一点. B P 求证: 直线 PA, PB 斜率的乘积为定值.

[思维启迪] 先用双曲线参数方程表示点A、B、P的坐标,
再证kPA·PB=定值. k

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证明 设

如图所示, α ,btan
? ? a α?,A? ? ?cos

? a P?cos ?

θ

,btan

? θ?. ?

∵AB 过原点 O, ∴A,B 的坐标关于原点对称, 于是有
? a ?- B cos ?

,-btan θ

? θ?,从而: ?

b?tan α-tan θ? b?tan α+tan θ? kPA·PB= ? k · 1 1 ? ? 1 1 ? a?cos α-cos θ? a?cos α+cos θ? ? ? ? ?

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b2?tan2 α-tan2 θ? ? 1 1 ? 2 a ?cos2 α-cos2 θ? ? ?



b2?sin2 αcos2 θ-cos2 αsin2 θ? a2?cos2 θ-cos2 α?



b2[?1-cos2 α?cos2 θ-cos2 α?1-cos2 θ?] b2 = 2为定值. 2 2 2 a a ?cos θ-cos α?

【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方
程.一般地,当与二次曲线上的动点有关时,可将动点用参 数形式表示,从而将x,y都表示为某角θ的函数,运用三角

知识求解,可大大减少运算量,收到事半功倍的效果.

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【变式2】

?x=sec ? 双曲线? ?y=tan ?

φ, φ

(φ 为 参 数 ) 的 极 坐 标 方 程 为

________.



由sec2φ-tan2φ=1得双曲线的普通方程为x2-y2=1,

令x=ρcos θ,y=ρsin θ,得双曲线的极坐标方程为 ρ2(cos2θ-sin2θ)=1,即ρ2cos 2θ=1. 答案 ρ2cos 2θ=1

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题型三

利用参数法求轨迹方程

【例3】 设抛物线y2=2px的准线为l,焦点为F,顶点为O,

P为抛物线上任一点,PQ⊥l于Q,求QF与OP的交点M的
轨迹方程. [思维启迪] 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得 到交点的参数方程,然后化为普通方程即可.
解 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数), 1 当 t≠0 时,直线 OP 的方程为 y= x, t ? p? QF 的方程为 y=-2t?x- ?, 2? ?

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? 1 ?y= t x 它们的交点 M(x,y)由方程组? 确定,两式相乘, ? p? ?y=-2t?x- ? ? 2? ? 消去 t 后, ? p? 2 得 y =-2x?x- ?. 2? ? ∴M 的轨迹方程为: 2x2-px+y2=0(x≠0). 当 t=0 时,M(0,0)满足题意且适合方程 2x2-px+y2=0, 故所求的轨迹方程为 2x2-px+y2=0.

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【反思感悟】 用参数法求动点的轨迹方程,其基本思想是选取
适当的参数作为中间变量,使动点的坐标分别与参数有关,从而 得到动点的参数方程,然后再消去参数化为普通方程,如果动点 轨迹与圆锥曲线有关,通常以圆锥曲线参数方程中的参数作为中 间变量.

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【变式3】 设飞机以匀速v=150 m/s做水平飞行,若在飞行高度 h=588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度). (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程;

(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标.
解 (1)如图所示,A为投弹点,坐标为 (0,588),B为目标,坐标为(x0,0).记

炸弹飞行的时间为t,在A点t=0.设M(x,
y)为飞行曲线上的任一点,它对应时刻t, 炸弹初速度v0=150 m/s,用物理学知识, 分别计算水平、竖直方向的路程,得
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?x=v0t, ?x=150t, ? ? 2 ? 1 2(g=9.8 m/s ),即? 2 ?y=588-4.9t , y=588- gt ? ? ? 2 这是炸弹飞行曲线的参数方程. (2)炸弹飞行到地面目标 B 处的时间 t0 满足方程 y=0, 即 588-4.9t2=0,解得 t0=2 30. 由此得 x0=150×2 30=300 30≈1 643(m). 即飞机在离目标约 1 643m(水平距离)处投弹才能击中目标.

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高考在线——圆锥曲线参数方程的应用
点击1 考查椭圆参数方程的应用
江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)是 【例1】 (2008· x2 2 椭圆 +y =1 上的一个动点,求 S=x+y 的最大值. 3 ?x= 3cos φ , ? x2 2 解 因椭圆 +y =1 的参数方程为? 3 ?y=sin φ ? (φ 为参数),
故可设动点 P 的坐标为( 3cos φ ,sin φ ), 其中 0≤φ<2π . 因此 S=x+y= 3cos φ +sin φ
? =2? ? ? ? π? 3 1 ? ? cos φ + sin φ ?=2sin?φ + ?. ? 2 2 ? 3? π 所以,当 φ= 时,S 取最大值 2. 6
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海南· 宁夏高考)已知曲线 【例2】 (2009· (t
?x=8cos ? 为参数),C2:? ?y=3sin ?

?x=-4+cos ? C1:? ?y=3+sin t ?

t,

θ , (θ 为参数). θ

(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么 曲线;
π (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的动点, 2 ?x=3+2t, ? 求 PQ 中点 M 到直线 C3:? (t 为参数)距离的最小 ?y=-2+t ? 值.

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(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1, x2 y2 C2: + =1. 64 9 C1 为圆心是(-4,3),半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半 轴长是 3 的椭圆. π (2)当 t= 时,P(-4,4),Q(8cos θ ,3sin θ ),故 2 ? ? 3 M?-2+4cos θ ,2+ sin θ ?. 2 ? ? C3 为直线 x-2y-7=0,M 到 C3 的距离 5 d= |4cos θ -3sin θ -13|, 5 ? ? 5? ?4 3 d= ?5? cos θ - sin θ ?-13?. 5 ? ?5 5 ? ? 解
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4 3 令 cos φ = ,sin φ = , 5 5 5 5 则 d= |5(cos φ cos θ -sin φ sin θ )-13|= |5cos(θ+ 5 5 φ)-13|. 从而当 cos(θ+φ)=1 时, 5 8 5 d 最小= |5×1-13|= . 5 5

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[P28探究]
椭圆规是用来画椭圆的一种器械,它的构 造如图所示.在一个十字形的金属板上有两条 互相垂直的导槽,在直尺上有两个固定滑块 A,B,它们可分别在纵槽和横槽中滑动,在

直尺上的点M处用套管装上铅笔,使直尺转动一周就画出一个
椭圆.你能说明它的构造原理吗?(提示:可以用直尺AB和横 槽所成的角为参数,求出点M的轨迹的参数方程.)

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答 如图建立直角坐标系,设 M(x,y), ∠MBx=φ, 则易得 x=acos φ, y=bsin φ. x2 y2 这就是椭圆 2+ 2=1 的参数方程. 所以 a b 点 M 的轨迹是椭圆.

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[P29 思考] x2 与简单的线性规划问题进行类比, 你能在实数 x, 满足 y 25 y2 + =1 的前提下,求出 z=x-2y 的最大值和最小值吗? 16
答 设 x=5cos θ,y=4sin θ, 则 z=5cos θ-8sin θ= 89cos(θ+φ), 5 8 其中 φ 满足 cos φ= ,sin φ= , 89 89 当 θ+φ=2kπ时,z 有最大值 89, 25 此时,5cos θ=5cos(2kπ-φ)= , 89 32 4sin θ=4sin(2kπ-φ)=- , 89
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即当点 M

? 位于? ?

25 32 ? ?时,z 取最大值 89. ,- 89 89?

当 θ+φ=2kπ+π时,z 有最小值- 89.此时, 25 5cos θ=5cos(2kπ+π-φ)=-5cos φ=- , 89 32 4sin θ=4sin(2kπ+π-φ)=4sin(π-φ)= , 89 ? 25 89 32 89? ?时,z 取最小值- 89. 即当点 M 位于?- , 89 89 ? ?

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[P33思考] 怎样根据抛物线的定义选取参数,建立抛物线x2=2py(p>0)的 参数方程? 答 根据抛物线的定义得出抛物线的参数方程的过程如下:
设点 M(x,y)是抛物线 x2=2py (p>0)上的任意一点,点 M 到准线 p p y=- 的距离为 t,则有 y=t- . 2 2 ? ? p? 2 p p? 2 2 2 |MF|=t? ?y-2? + x = t ? ?t-2-2? + x2 = t2?(t- p)2 + x2 = ? ? ? ? t2?x=± 2pt-p2, p p ? ? ?y=t- , ?y=t- , 2 2 ? 所以抛物线的参数方程为: (t 为参数)和? ?x= 2pt-p2 ?x=- 2pt-p2 ? ? (t 为参数).
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[P34探究] 如右图所示,O是直角坐标原点, A,B是抛物线y2=2px (p>0)上异于顶点 的两动点,且OA⊥OB,点A、B在什么 位置时,△AOB的面积最小?最小值是 多少?
答 根据题意,设点 A,B 的坐标分别为(2pt2,2pt1),(2pt2, 1 2 2pt2)(t1≠t2,且 t1·t2≠0),则
2 |OA|= (2pt1)2+(2pt1)2=2p|t1| t2+1, 1 2 |OB|= (2pt2)2+(2pt2)2=2p|t2| t2+1. 2

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→ → 因为 OA⊥OB,所以OA·OB=0, 即 2pt2·2pt2+2pt1·2pt2=0, 1 2 所以 t1·t2=-1. 1 △AOB 的面积为 S△AOB= |OA|·|OB| 2 1 = ·2p|t1| t2+1·2p|t2| t2+1 1 2 2 =2p2|t1t2| (t2+1)(t2+1) 1 2
2 =2p2 t2+t2+2 1

=2p

2

1 2 t1+ 2+2 t1

≥2p2 2+2=4p2.

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当且仅当

1 2 t1= 2,即 t1=1,t2=-1 t1

时,等号成立.

所以点 A,B 的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p)时,△AOB 的面积最小,最小值为 4p2.

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[课后习题解答]

习题2.2 (第34页)
1.解 因为 2a=15 565,2b=15 443, 所以 a=7 782.5,b=7 721.5.
?x=7 782.5cos ? 所求的椭圆参数方程为? ?y=7 721.5sin ?

φ, φ.

(φ 为参数).

2.证明 设 M(acos φ ,bsin φ ),P(xP,0),Q(xQ,0). 因为 P、Q 分别为 B1M、B2M 与 x 轴的交点, 所以 kB1P=kB1M,kB2Q=kB2M, acos φ acos φ 由斜率公式并计算得 xP= ,xQ= . 1+sin φ 1-sin φ 所以|OP|· |OQ|=|xP·xQ|=a2(定值).
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3.证明

设等轴双曲线的普通方程为 x2-y2=a2 (a>0),

a ? ?x= , cos φ 则它的参数方程为? (φ 为参数). ?y=atan φ ? ? a ? ? ,atan φ ?是双曲线上任意一点,则点 M 设 M? ? ?cos φ ? 到两渐近线 y=x 及 y=-x 的距离之积是
? a ? ?cos φ ?

-atan φ 1 +1
2 2

? ? ? ?

·
? ? ? ?

? a ? ?cos φ ?

+atan φ 1 +1
2 2

? ? ? ?



? a2 ? ?cos2 φ ?

-a tan φ 2

2

2

a2 1 2 = = a (常数). 2 2
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4. 证明 设点 A, 的坐标分别为(2pt2, 1), 2, 2), B (2pt2 2pt 1 2pt 则点 C 的坐标为(2pt2,-2pt2). 2 1 直线 AB 的方程为 y-2pt1= (x-2pt2), 1 t1+t2 所以点 D 的坐标为(-2pt1t2,0); 1 直线 AC 的方程为 y-2pt1= (x-2pt2), 1 t1-t2 所以 E 的坐标为(2pt1t2,0). 因为 DE 的中点为原点 O(0,0), 所以抛物线的顶点 O 平分线段 DE.

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5.解

直线OA的方程为y=kx,

1 直线 OB 的方程为 y=- x. k
?y=kx, ? 解方程组? 2 得点 ?y =2px, ? ?2p 2p? ? 2 , ?; k? ?k

A 的坐标为

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1 ? ?y=- x, k 解方程组? 得点 B 的坐标是(2pk2,-2pk). ?y2=2px, ? 设点 M 的坐标为(x,y), 2p 2p 2 +2pk -2pk k2 p k p 则 x= = 2+pk2,y= = -pk. 2 k 2 k p ? x= 2+pk2, ? k 所以, 线段 AB 的中点 M 的轨迹的参数方程是? ?y=p-pk ? k (k 为参数).

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