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高中数学人教A版选修1-1课件:第3章 导数及其应用 3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式


成才之路 ·数学
人教A版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
导数及其应用

第三章

导数及其应用

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第三章 3.2 导数的计算

3.2.1 几个常用函数的导数 及基本初等函数的导数公式

第三章

3.2

3.2.1

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

第三章

3.2

3.2.1

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自主预习学案

第三章

3.2

3.2.1

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1 1.能根据导数定义,求函数 y=c,y=x,y=x ,y=x 的导
2

数. 了解常数函数和幂函数的求导方法和规律. 2. 掌握基本初等函数的导数公式, 并能利用这些公式求基 本初等函数的导数.

第三章

3.2

3.2.1

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重点:常数函数、幂函数的导数及导数公式的应用.

难点:由常见幂函数的求导公式发现规律,得到幂函数的
求导公式.

第三章

3.2

3.2.1

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几个常用函数的导数

思维导航
怎样用定义求函数y=f(x)的导数?

第三章

3.2

3.2.1

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牛刀小试 1.自己依据导数的定义求函数:①y=c;②y=x;③y= 1 x; ④y=x 的导数并对照教材检查, 然后自己求函数 y= x的导
2

数.
Δy f?x+Δx?-f?x? [解析] ∵Δx= Δx x+Δx- x 1 = = , Δx x+Δx+ x Δy ∴y′= lim = lim → Δ x Δx 0 Δx→0 1 1 = . x+Δx+ x 2 x
第三章 3.2 3.2.1

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基本初等函数的导数公式
新知导学
n -1 nx 1.若 f(x)=x (n∈N ),则 f ′(x)=__________.
n *

1 1 -x2 若 f(x)=x,则 f ′(x)=__________.

若 f(x)=xα(α∈Q),则 f ′(x)=αxα-1.

cosx 2.若 f(x)=sinx,则 f ′(x)=__________. -sinx 若 f(x)=cosx,则 f ′(x)=__________.

第三章

3.2

3.2.1

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axlna(a>0) . 3.若 f(x)=ax,则 f ′(x)=___________ ex 若 f(x)=ex,则 f ′(x)=__________.
1 (a>0,且 a≠1) x ln a 4.若 f(x)=logax,则 f ′(x)=___________________. 1 若 f(x)=lnx,则 f ′(x)=__________. x

第三章

3.2

3.2.1

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牛刀小试
2.函数f(x)=0的导数是( A.0 C.不存在 [答案] A [解析] 常数函数的导数为0. ) B.1 D.不确定

第三章

3.2

3.2.1

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1 3.已知函数 f(x)=x,则 f ′(-2)=( A.4 C.-4 1 B.4 1 D.-4

)

[答案] D
[解析] ∵f
?1? 1 ′(x)=?x ?′=-x2, ? ?

1 1 ∴f ′(-2)=-x2|x=-2=-4.

第三章

3.2

3.2.1

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4.若f(x)=tanx,f ′(x0)=1,则x0的值为__________.
[答案] x0=kπ,k∈Z
1 [解析] ∵f ′(x)=(tanx)′=cos2x,f ′(x0)=1, ∴cosx0=± 1,∴x0=kπ,k∈Z.

第三章

3.2

3.2.1

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典例探究学案

第三章

3.2

3.2.1

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导数公式的直接应用 求下列函数的导数.

(1)y=a2(a为常数);
(2)y=x12; (3)y=x-4; (4)y=lgx.

第三章

3.2

3.2.1

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[解析] (1)∵a 为常数,∴a2 为常数, ∴y′=(a2)′=0. (2)y′=(x12)′=12x11. 4 (3)y′=(x )′=-4x =-x5.
-4 -5

1 (4)y′=(lgx)′=xln10.

第三章

3.2

3.2.1

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[方法规律总结 ] 程,降低运算难度.

1. 用导数的定义求导是求导数的基本方

法,但运算较繁.利用常用函数的导数公式,可以简化求导过 2.利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选 择求导公式,将题中函数的结构进行调整.如将根式、分式转 化为指数式,利用幂函数的求导公式求导.

第三章

3.2

3.2.1

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求下列函数的导数 1 (1)y=x2; (2)y= x; (3)y=2x; (4)y=log3x. 3

第三章

3.2

3.2.1

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[解析]

?1? (1)y′=?x2?′=(x-2)′=-2x-3. ? ?

(2)y′=(

3

1 x)′=(x3

1 -1 )′=3x 3 .

(3)y′=(2x)′=2xln2. 1 (4)y′=(log3x)′=xln3.

第三章

3.2

3.2.1

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求某一点处的导数
1 求函数 f(x)= 在 x=1 处的导数. x
[解析] f
? ′(x)=? ? ?
1 1 1? 1 - - ? ′=(x 2 )′=-2x 2 ? x?
-1

1 -3 1 2 =-2x =- 3, 2 x 1 ∴f ′(1)=- =-2, 2 1 1 ∴函数 f(x)在 x=1 处的导数为-2.
第三章 3.2 3.2.1

1

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[ 方法规律总结 ] 数的方法步骤是:

求函数在某定点 ( 点在函数曲线上 ) 的导

(1)先求函数的导函数; (2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.

第三章

3.2

3.2.1

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1 1 已知 f(x)= ,且 f ′(1)=-3,求 n. n x
? 1 ? 1 ? ? - [解析] f ′(x)=? n ?′=(x n )′ ? x? 1 -n =-nx 2
-1

1 1 -n+ =-nx n ,

1 ∴f ′(1)=-n, 1 1 1 由 f ′(1)=-3得-n=-3,得 n=3.
第三章 3.2 3.2.1

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利用导数公式求切线方程
求过曲线 y=cosx 上点 线垂直的直线方程.
?π 1? P?3,2?且与在这点的切 ? ?

[解析] ∵y=cosx,∴y′=-sinx, 曲线在点
?π 1? P?3,2?处的切线斜率是 ? ?

π π 3 y′|x=3=-sin3=- 2 .

第三章

3.2

3.2.1

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2 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 , 3 1 2 ? π? ∴所求的直线方程为 y-2= ?x-3?, ? 3? 2π 3 即 2x- 3y- 3 + 2 =0.

第三章

3.2

3.2.1

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[方法规律总结] 1.求切线方程的步骤: (1)利用导数公式求导数. (2)求斜率. (3)写出切线方程. 注意导数为 0 和导数不存在的情形.

第三章

3.2

3.2.1

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2.(1)在应用(sinx)′=cosx 与(cosx)′=-sinx 时,一要注 意函数的变化;二要注意符号的变化. 1 (2)对于公式(a )′=a lna 与(logax)′=xlna记忆较难, 又易
x x

混淆,要注意区分公式的结构特征,既要从纵的方面 (lnx)′与 (logax)′ 和 (ex)′ 与 (ax)′ 区 分 , 又 要 从 横 的 方 面 (logax)′ 与 (ax)′区分,找出差异记忆公式.

第三章

3.2

3.2.1

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曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线斜率为( A.1 C.e B.2 1 D.e

)

[答案] A [解析] ∵y=ex,∴y′=ex, ∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=e0=1.

第三章

3.2

3.2.1

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导数的应用
若曲线 y=x


1 2

在点(a,a



1 2

)处的切线与两坐标

轴围成的三角形的面积为 18,求 a 的值.

[分析]

先求切线方程 → 求切线的横纵截距

→ 利用面积公式列方程求a

第三章

3.2

3.2.1

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1 1 -3 - [解析] y′=-2x 2 (x>0),故在点(a,a 2 )处的切线的

1 -3 斜率 k=-2a 2 , 所以切线方程为 y-a


1 2





1 2

a



3 2

(x-a),

3 -1 易得切线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 3a,2a 2 , 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
1 1 3 -1 9 S=2×3a×2a 2 =4a2 =18.

∴a=64.
第三章 3.2 3.2.1

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[方法规律总结 ] 是解题的关键.

切线方程、截距、面积的计算是对导数

的几何意义、运算的综合运用,看清切点位置的同时构造方程

第三章

3.2

3.2.1

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已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,求曲线

y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.
[解析] 由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,令x=2-x,得f(2- x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8, 即2f(x)-f(2-x)=x2+4x-4, 联立f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得f(x)=x2,

∴f ′(x)=2x,f ′(2)=4,即所求切线斜率为4,
∴切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.
第三章 3.2 3.2.1

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准确应用公式 求函数y=2x在x=1处的切线方程.

[错解] ∵y′=(2x)′=x·2x-1,
∴y′|x=1=1,又x=1时,y=2, ∴切线方程为y-2=x-1, 即x-y+1=0.

第三章

3.2

3.2.1

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[辨析]

y=2x是指数函数,而不是幂函数,错解将幂函数

y=xα(α∈Q)与指数函数y=ax(a>0且a≠1)的导数公式记混用错. [正解] ∵y′=(2x)′=2xln2, ∴y′|x=1=2ln2, 又x=1时,y=2, ∴切线方程为y-2=2ln2(x-1), 即2xln2-y-2ln2+2=0.

第三章

3.2

3.2.1

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课时作业
(点此链接)

第三章

3.2

3.2.1


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