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2015届高三文科数学基础题训练17


基础题训练 17
10 月 20 日 星期一 1、设集合 S ? {x x2 ? 25 ? 0} , T ? {x ( x ? 6)(x ? 2) ? 0},则 S ? (CRT ) ? A. {x 2 ? x ? 5}
n

( A )

B. {x ? 6 ? x ? 2}
?

C. {x ? 5 ? x ? 2}

D. {x x ? ?6 或 x ? ?5}

2、函数 f ( x) ? ax ? (?? x) 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 n 的值可能是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用,考查函数图像,考 查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证,当 n ? 1 时

f ( x) ? ax ? (?? x)? ? a( x? ? ?x? ? x) ,则
? 由 f ?( f ?( x) ? a(?x? ? ? x ??) , x) ? a( x ? ? ? x? ?? ? )

x1 ? 可知,

1 , x2 ? 1, 3

结合图像可知函数应在 ? 0, ? 递增, 在 ? ,1? 递减, 即在 x ? 知 a 存在.故选 A.

? ?

1? 3?

?1 ? ?3 ?

1 ? ? ? ? ? 取得最大值, 由 f ( ) ? a ? ? (?? ) ? , 3 ? ? ? ?

? 1 3 ? ? ? , a 与 b 的夹角为 60 ,则 | b |? __ ___ 2 2 ? ? 4、已知函数 f ( x) ? sin( ? ? x) sin( ? ? x)(? ? 0) 的最小正周期为 2? . 4 4
3、向量 a 、 b 满足 | a |? 1 、 | a ? b |?

?

?

?

? ?

2 sin(2? ? ) ? 1 2 4 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)若 sin ? ? 2 f (? ) ? ,求 的值. 3 1 ? tan ? ? ? ? ? 1 ? 1 解:(Ⅰ) f ( x) ? sin( ? ? x) sin( ? ? x) ? sin( ? ? x) cos( ? ? x) ? sin( ? 2? x) ? cos 2? x 4 4 4 4 2 2 2 2? 1 ? 1 所以 f ( x) ? cos x 因为 f ( x ) 的最小正周期为 2? ,所以 2? ? 2? 2 2 sin 2? ? cos 2? ? 1 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? ? ? 2sin ? ? cos ? (Ⅱ)原式= sin ? 1 ? tan ? 1? cos ? 2 2 因为 sin ? ? 2 f (? ) ? 所以 sin ? ? cos ? ? 3 3 4 5 5 所以 1 ? 2sin ? ? cos ? ? ,即 2sin ? ? cos ? ? ? ,故原式= ? 。 9 9 9
10 月 21 日 星期二 1、复数 z 满足 z ? (1 ? 2i) ? 4 ? 3i ,则 z 等于 A. 2 ? i
x

?



B

) D. 1 ? 2i

B. 2 ? i

C. 1 ? 2i

2、不等式 e ? x ? ax 的解集为 P,且[0,2]?P,则实数 a 的取值范围是( A ) A.(-∞,e-1) B.(e-1,+∞) C.(-∞,e+1) D.(e+1,+∞) x x 解析:因为 e -x>ax 的解集为 P,且[0,2]?P,所以对任意 x∈[0,2],e -x>ax 恒成立,当 x=0 时, x e 不等式成立,故 0<x≤2 时,a< -1 恒成立.

x x e (x-1)e 令 g(x)= -1,则 g′(x)= ,当 1<x≤2 时,g′(x)>0,当 0<x<1 时,g′(x)<0. x x2 所以当 x=1 时,g(x)取得最小值 e-1,所以 a 的取值范围是(-∞,e-1),故选 A. 3、已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若 ? p 是 ? q 的充分而不必要条件,则实数 m 的取值
x

范围为 解 由题意 p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. ∴綈 p:x<1 或 x>5.q:m-1≤x≤m+1,∴綈 q:x<m-1 或 x>m+1. ?m-1≥1, ? 又∵綈 p 是綈 q 的充分而不必要条件, ∴? ∴2≤m≤4. ? ?m+1≤5. 4、△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , tan C ? (1)求 A, C ; 解:(1) 因为 tan C ? (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c .

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

sin A ? sin B sin C sin A ? sin B ? ,即 , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). ? 2? 即 2C ? A ? B , 得 C ? ,所以. B ? A ? 3 3 1 ? 5? ? 5? 又因为 sin( B ? A) ? cos C ? ,则 B ? A ? ,或 B ? A ? (舍去) 得 A ? , B ? 2 6 6 4 12 a c a c 1 6? 2 ? ? (2) S?ABC ? ac sin B ? 又 , 即 , 得a ? 2 2 ac ? 3 ? 3 , , n i s A n i s C 2 8 2 3 2 2
10 月 22 日 星期三

c 2? 3 .

1 ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 0 ,则 cos 2 ? ? sin 2? 的值是 ( 2 2 6 4 6 A. ? B. ? C. 5 5 5 2 x , x ? 0, ? 2、已知函数 f(x)= ? 。若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 ? x ? 1, x ? 0
1、若 3cos( A. -3 B. -1 C. 1

?

C ) D.

4 5

D. 3

a a 【解析】由题意知 f (1) ? 2, 因为 f (a) ? f (1) ? 0 ,所以 f (a) ? 2 ? 0 .当 a ? 0 时, f (a) ? 2 , 2 ? 2 ? 0 无

解;当 a ? 0 时, f (a) ? a ? 1 ,所以 a ? 1 ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?3 .

?? ? ? , ? ??? ? ??? ? ? 3 3 3 4 3? . ? 3、在△ABC 中, AB ? BC ? 3 ,其面积 S ? [ , ] ,则 AB与BC 夹角的取值范围是 2 2 * 4、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 4 , an?2 ? 2an ? 3an?1 (n ? N ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,求使得 Sn ? 21 ? 2n 成立的最小整数 n .

10 月 23 日 星期四

1、若向量 a =(1,1), b =(2,5), c =(3,x)满足条件 (8 a - b )· c =30,则 x =( A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2、若 a , b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? A. 充分而不必要条件

?

?

?

?

?

?



1 ”的 a

( D

) D. 既不充分也不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

1 1 【解析】当 0 ? ab ? 1 , a ? 0, b ? 0 时,有 b ? ,反过来 b ? ,当 a ? 0 时,则有 ab ? 1 , a a 1 ∴“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? ”的既不充分也不必要条件. a 2 3、在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ? 的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ x
长的最小值是________ 【解析】考察函数与方程,两点间距离公式以及基本不等式,中档题。设坐标原点的直线方程为

? y ? kx 2k 2k ? y ? kx(k ? 0) ,则由 ? , 2k ) 、 (? , ? 2k ) ,即为 P、Q 两点,所以线 2 解得交点坐标为 ( k k y? ? x ?

2 2 ? 2k ? 2 2 ? 2k ? 4 ,当且仅当 k ? 1 时等号成立,故线段 PQ 长的最小值是 4. k k 1 4、如图,四边形 ABCD 为正方形, PD ? 平面ABCD, PD // QA, QA ? AB ? PD . 2 (1)证明: 平面PQC ? 平面DCQ ; (2)求二面角 Q ? BP ? C 的余弦值.
段 PQ 长为 2 解:如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴 的正半轴建立空间直角坐标系 D—xyz. (I)依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).

???? ???? ??? ? DQ ? (1,1,0), DC ? (0,0,1), PQ ? (1, ?1,0). 则 ??? ? ???? ??? ? ???? 所以 PQ ? DQ ? 0, PQ ? DC ? 0.
即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC.故 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ ? 平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 DCQ.

(II)依题意有 B(1,0,1), CB ? (1,0,0), BP ? ( ?1,2, ?1).

??? ?

??? ?

??? ? ? ?n ? CB ? 0, ? x ? 0, 即? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PBC 的法向量,则 ? ??? ? ? ?n ? BP ? 0, ?? x ? 2 y ? z ? 0. 因此可取 n ? (0, ?1, ?2). ??? ? ? ? m ? BP ? 0, 15 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则 ? 可取 m ? (1,1,1).所以 cos ? m, n ?? ? ??? ? . 5 m ? PQ ? 0. ? ?

故二面角 Q—BP—C 的余弦值为 ? 10 月 23 日 星期五

15 . 5

1、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax ? b ? 0 ,则下列选 项的命题中为假命题的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) 2、将函数 f ( x) ? ?4 sin( 2 x ? 短到原来的 ( C ) B. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) D. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

?
4

) 的图象向右平移 ? 个单位,再将图象上每一点的横坐标缩

? 1 倍,所得图象关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小正值为 ( B ) 4 2 1 3 3 1 ? ? A. ? B. ? C. D. 8 8 4 2 3、函数 f ? x ? 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ? x ? 为单函数.例如
f ? x ? ? 2x ? 1? x ? R ? 是单函数,下列命题:
①函数 f ? x ? ? x2 ? x ? R? 是单函数; ②函数 f ( x) ? 2x ( x ? R) 是单函数, (写出所有真命题的编号) ③若 f ( x ) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。其中的真命题是 解析:? f (?2) ? f (2) ,但 ?2 ? 2 ,∴①不正确;

与“若 x1 , x2 ? A,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 时总有 x1 ? x2 ”等价的命题是“若 x1 , x2 ? A,且 x1 ? x2 时总有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,故②③④正确.
ex ,其中 a 为正实数 1 ? ax 2 4 (Ⅰ)当 a ? 时,求 f ( x ) 的极值点; 3
4、设 f ( x) ?

(Ⅱ)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围。

【命题意图】:本题考察导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调性之间的关系,求解二次不等 式,考察运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力。
2 e x (1 ? ax2 ) ? 2e x ax x ax ? 1 ? 2ax ? e (1 ? ax 2 )2 (1 ? ax 2 )2 4 2 8 x ?1? x 4 3 ,由 f ' ( x) ? 0 得 4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0 解得 x ? 1 , x ? 3 (1)当 a ? 时, f ' ( x) ? e x 3 1 2 4 2 2 2 2 3 (1 ? x ) 3 1 3 1 3 ' ' ' 由 f ( x) ? 0 得 x ? 或x ? ,由 f ( x) ? 0 得 ? x ? ,当 x 变化时 f ( x) 与 f ( x ) 相应变化如下表: 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 (??, ) ( , ) ( , ??) x 2 2 2 2 2 2 ' + 0 0 + f ( x) f ( x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 1 3 所以, x1 ? 是函数 f ( x ) 的极大值点, x2 ? 是函数 f ( x ) 的极小值点。 2 2 (2)因为 f ( x ) 为 R 上的单调函数,而 a 为正实数,故 f ( x ) 为 R 上的单调递增函数 ? f ' ( x) ? 0 恒成立,即 ax2 ? 2ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,因此 ? ? 4a2 ? 4a ? 0 ,结合 a ? 0 解得 0 ? a ? 1 。

【解析】:? f ' ( x) ?

基础题训练 17
10 月 20 日 星期一 1、设集合 S ? {x x2 ? 25 ? 0} , T ? {x ( x ? 6)(x ? 2) ? 0},则 S ? (CRT ) ? A. {x 2 ? x ? 5} B. {x ? 6 ? x ? 2} C. {x ? 5 ? x ? 2} ( )

D. {x x ? ?6 或 x ? ?5}

2、函数 f ( x) ? ax n ? (?? x) ? 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 n 的值可能是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3、 向量 a 、 b 满足 | a |? 1 、 | a ? b |?

?

?

?

? ?

? 3 ? ? , 则 | b |? __ a 与 b 的夹角为 60? , 2

_

4、已知函数 f ( x) ? sin(

?

? ? x) sin( ? ? x)(? ? 0) 的最小正周期为 2? . 4 4

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式;

2 sin(2? ? ) ? 1 2 4 (Ⅱ)若 sin ? ? 2 f (? ) ? ,求 的值. 3 1 ? tan ?

?

10 月 21 日 星期二 1、复数 z 满足 z ? (1 ? 2i) ? 4 ? 3i ,则 z 等于 A. 2 ? i
x



) C. 1 ? 2i D. 1 ? 2i

B. 2 ? i

2、不等式 e ? x ? ax 的解集为 P,且[0,2]?P,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,e-1) B.(e-1,+∞) C.(-∞,e+1) D.(e+1,+∞)

3、已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若 ? p 是 ? q 的充分而不必要条件,则实数 m 的取值 范围为

4、△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , tan C ? (1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c .

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

10 月 22 日 星期三 1、若 3cos(

1 ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 0 ,则 cos 2 ? ? sin 2? 的值是 2 2 6 4 6 A. ? B. ? C. 5 5 5

?

(

) D.

4 5

2、已知函数 f(x)= ? A. -3

?2 x,x ? 0, 。若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( ? x ? 1, x ? 0
B. -1 C. 1

) D. 3

3、在△ABC 中, AB ? BC ? 3 ,其面积 S ? [ ,

??? ? ??? ? 3 3 3 ] ,则 AB与BC 夹角的取值范围是 2 2
*

.

4、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 4 , an?2 ? 2an ? 3an?1 (n ? N ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,求使得 Sn ? 21 ? 2n 成立的最小整数 n .

10 月 23 日 星期四

1、若向量 a =(1,1), b =(2,5), c =(3,x)满足条件 (8 a - b )· c =30,则 x =( A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

?

?

?

?

?

?



2、若 a , b 为实数,则“ 0 ? ab ? 1 ”是“ b ? A. 充分而不必要条件

1 ”的 a



) D. 既不充分也不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

3、在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ? 长的最小值是________

2 的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ x

4、如图,四边形 ABCD 为正方形,

PD ? 平面ABCD, PD // QA, QA ? AB ?
(1)证明: 平面PQC ? 平面DCQ ; (2)求二面角 Q ? BP ? C 的余弦值.

1 PD . 2

10 月 23 日 星期五
2 1、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax ? b ? 0 ,则下列选

项的命题中为假命题的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

(

) B. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) D. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

2、将函数 f ( x) ? ?4 sin( 2 x ? 短到原来的 A.

?
4

) 的图象向右平移 ? 个单位,再将图象上每一点的横坐标缩
( D. )

1 ? 8

? 1 倍,所得图象关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小正值为 4 2 3 3 ? B. ? C. 8 4

1 ? 2

3、函数 f ? x ? 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ? x ? 为单函数.例如

f ? x ? ? 2x ? 1? x ? R ? 是单函数,下列命题:
①函数 f ? x ? ? x2 ? x ? R? 是单函数; ②函数 f ( x) ? 2x ( x ? R) 是单函数, (写出所有真命题的编号) ③若 f ( x ) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。其中的真命题是

ex 4、设 f ( x) ? ,其中 a 为正实数 1 ? ax 2 4 (Ⅰ)当 a ? 时,求 f ( x ) 的极值点; 3 (Ⅱ)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围。


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