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其他不等式的解法(1)


2.3 其他不等式的解法(1)
一、教学内容分析 简单的分式不等式、绝对值不等式的解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一 个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在 以后的数学学习中不断出现,所以需牢固掌握.

二、教学目标设计 1、掌握简单的分式不等式、绝对值不等式的解法. 2、能对简单的绝对值不等式给出几何解释。 3、体会化归、等价转换的数学思想方法.

三、教学重点及难点 重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形.

四、教学过程设计 分式不等式的解法 1、引入 某地铁上,甲乙两人为了赶乘地铁,分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼(楼梯和自 动扶梯长度相同) ,如果甲的上楼速度是乙的 2 倍,他俩同时上楼,且甲比乙早到楼上,问 甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍. 设楼梯的长度为 s ,甲的速度为 v ,自动扶梯的运行速度为 v 0 . 于是甲上楼所需时间为
s v

,乙上楼所需时间为

s v0 ? v 2

.

由题意,得

s v

?

s v0 ? v 2

.

整理得

1 v

?

2 2 v0 ? v

.

由于此处速度为正值,因此上式可化为 2 v 0 ? v ? 2 v ,即 v ? 2 v 0 .所以,甲的速度应大

于自动扶梯运行速度的 2 倍.

2、分式不等式的解法 例 1 解不等式:
x ?1 3x ? 2 ? 2.

解: (化分式不等式为一元一次不等式组)
x ?1 3x ? 2 ? 2 ? x ?1 3x ? 2 ?2? 0 ?

? 5 ? x ? 1? 3x ? 2

? 0 ?

x ?1 3x ? 2

? 0

?x ? 1 ?x ? 1 ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 2 ? ? ? x ? 1 或 x 不存在. ? ? ? ? 或? 2 或? 2 ? 3 ?3 x ? 2 ? 0 ?3 x ? 2 ? 0 ?x ? ?x ? 3 3 ? ?
? 2 ? ?2 ? ,1 ? ? ? ,即解集为 ? ,1 ? . ? 3 ? ?3 ?

所以,原不等式的解集为 ?
x ?1

注意到 述解法.

?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? 0 ? ? ? 或? 3x ? 2 ?3 x ? 2 ? 0 ?3 x ? 2 ? 0

? 3 x ? 2 ? ? x ? 1 ? ? 0 ,可以简化上

另解: (利用两数的商与积同号( 式)
x ?1 3x ? 2 ? 2 ? x ?1 3x ? 2

a b

? 0 ? ab ? 0 ,

a b

? 0 ? a b ? 0 )化为一元二次不等

?2? 0 ?

? 5 ? x ? 1? 3x ? 2

? 0 ?

x ?1 3x ? 2

? 0

?

? 3 x ? 2 ? ? x ? 1? ? 0

?

?2 ? ? x ? 1 ,所以,原不等式的解集为 ? ,1 ? . 3 3 ? ?

2

由例 1 我们可以得到分式不等式的求解通法: (1)不要轻易去分母,可以移项通分,使得不等号的右边为零. (2)利用两数的商与积同号,化为一元二次不等式求解.

一般地,分式不等式分为两类: (1)

?x? g ?x?
f

? 0 (? 0 )? f

; ? x? g ? x? ? 0 (? 0 )

(2)

?x? g ?x?
f

? f ? x? g ? x? ? 0 ?? 0? ? ? 0 (? 0 )? ? . ?g ?x? ? 0 ?

[说明] 解不等式中的每一步往往要求 “等价” 即同解变形, , 否则所得的解集或 “增” “漏”. 或 由于不等式的解集常为无限集,所以很难像解无理方程那样,对解进行检验,因此同解变形 就显得尤为重要.

例 2 解下列不等式 (1) (2) (3)
?x ?1 x?5 2 3 ? 5x
2

? 0. ? 3. ? 2. x ?1 x?5 ?0 ?

x?8 x ? 2x ? 3

解(1)原不等式 ?

? x ? 1? ? x ? 5 ? ? 0

? 1? x ? 5,

所以,原不等式的解集为 ? 1, 5 ? . (2)原不等式 ?
2 3 ? 5x ?3? 0 ? 15 x ? 7 3 ? 5x ?0 ? 15 x ? 7 5x ? 3 ?0

3 ? 7 ? x? ?15 ? ?1 5 x ? 7 ? ? 5 x ? 3 ? ? 0 7 3 ? ? 5 ? x? , ? ? ? ? ? 15 5 ?5 x ? 3 ? 0 ? ?x ? 3 ? 5 ?
? 7 3 ? ?. ?15 5 ? ,
2

所以,原不等式的解集为 ?
2

(3)分母: x ? 2 x ? 3 ? ? x ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 0 ,则
2 2 原不等式 ? x ? 8 ? 2 x ? 4 x ? 6 ? 2 x ? 3 x ? 2 ? 0 ? ? x ? 2 ? ? 2 x ? 1 ? ? 0

? x ? ?2 或 x ?

1 2

,所以,原不等式的解集为 ? ? ? , ? 2 ? ? ?

?1

? , ?? ? . ?2 ?

[说明] 例 2 也可作为课堂练习,就学生所出现的问题,教师做适当讲评.

例 3 当 m 为何值时,关于 x 的不等式 m ? x ? 1 ? ? 3 ? x ? 2 ? 的解是 (1)正数? (2)是负数?

解: m ? x ? 1 ? ? 3 ? x ? 2 ? ? ? m ? 3 ? x ? m ? 6 (*) 当 m ? 3 时, (*) ? 0 ? x ? 9 ? x 不存在. 当 m ? 3 时, (*) ? x ?
m?6 m?3

.
m?6 m?3 ? 0 ? ( m ? 6 )( m ? 3) ? 0 ? m ? ? 6 或 m ? 3 .

(1)原方程的解为正数 ? x ? (2)原方程的解为负数 ? x ?

m?6 m?3

? 0 ? ( m ? 6 )( m ? 3) ? 0 ? ? 6 ? m ? 3 .

所以,当 m ? ? ? ? , ? 6 ? ? ? 3, ? ? ? 时,原方程的解为正数.当 m ? ? ? 6, 3 ? 时,原方程的 解为负数. 作业布置 选用练习 2.3、习题 2.3 中的部分练习


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