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标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2:第一章 1.3 1.3(1).2 函数的极值与导数_图文

1.3.2

函数的极值与导数

预习课本 P26~29,思考并完成下列问题
(1)函数极值点、极值的定义是什么?

(2)函数取得极值的必要条件是什么?

(3)求可导函数极值的步骤有哪些?

[新知初探]
1.函数极值的概念 (1)函数的极大值 一般地,设函数 y=f(x)在点 x0 及附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)<f(x0), 就说 f(x0)是函数 y=f(x)的一 个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点. (2)函数的极小值 一般地,设函数 y=f(x)在点 x0 及附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)>f(x0) ,就说 f(x0)是函数 y=f(x)的 一个极小值,记作 y 值统称为极值 .
极小值

=f(x0),x0 是极小值点.极大值与极小

[点睛]

如何理解函数极值的概念

(1)极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值,与它 附近点的函数值比较它是最大值或最小值,但并不意味着它在 函数的整个定义域内是最大值或最小值. (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以 不止一个. (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能 成为极值点. (5)单调函数一定没有极值.

2.求函数 y=f(x)极值的方法 一般地,求函数 y=f(x)的极值的方法是: 解方程 f′(x)=0. 当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是 极大值 ; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是 极小值 .

[点睛]

一般来说,“f′(x0)=0”是“函数 y=f(x)在点 x0

处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数 y=f(x)在点 x0 处 可导,且在点 x0 处取得极值,那么 f′(x0)=0;反之,若 f′(x0) =0,则点 x0 不一定是函数 y=f(x)的极值点.

[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 f(x)=x3+ax2-x+1 必有 2 个极值. (√ )

(2)在可导函数的极值点处,切线与 x 轴平行或重合. ( √ ) 1 (3)函数 f(x)=x有极值. (× )

2.下列四个函数:①y=x3;②y=x2+1;③y=|x|;④y=2x, 其中在 x=0 处取得极小值的是 A.①② C.③④ B.②③ D.①③ ( )

答案:B

3.已知函数 y=|x2-1|,则 A.y 无极小值,且无极大值 B.y 有极小值-1,但无极大值 C.y 有极小值 0,极大值 1 D.y 有极小值 0,极大值-1

(

)

答案:C

4. 函数 f(x)=x+2cos x A. 0 π C. 3

? 在?0, ?

π? ?上的极大值点为 2?

(

)

π B. 6 π D. 2

答案:B

运用导数解决函数的极值问题
题点一:知图判断函数的极值 1.已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y= f(x) ( )

A.在(-∞,0)上为减函数 C.在(4,+∞)上为减函数

B.在 x=0 处取极小值 D.在 x=2 处取极大值

解析:选 C 由导函数的图象可知:x∈(-∞,0)∪(2,4) 时,f′(x)>0,x∈(0,2)∪(4,+∞)时,f′(x)<0,因此 f(x) 在(-∞,0),(2,4)上为增函数,在(0,2),(4,+∞)上为减 函数,所以 x=0 取得极大值,x=2 取得极小值,x=4 取 得极大值,因此选 C.

题点二:已知函数求极值 2.求函数 f(x)=x2e-x 的极值.
解:函数的定义域为 R, f′(x)=2xe-x+x2· e-x· (-x)′ =2xe-x-x2· e- x =x(2-x)e-x. 令 f′(x)=0,得 x(2-x)· e x=0,


解得 x=0 或 x=2.

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

(-∞,0) - f′(x) x f ( x)

0 0 极小值0

(0,2) +

2 0 极大值4e-2

(2,+∞) -

因此当 x=0 时,f(x)有极小值, 并且极小值为 f(0)=0; 4 当 x=2 时,f(x)有极大值,并且极大值为 f(2)=4e =e2.
-2

题点三

已知函数的极值求参数 ( )

3.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处 取到极大值,则 a 的取值范围是 A.(-∞,-1) C.(0,1)
解析:选 D

B.(0,+∞) D.(-1,0)

若 a<-1,∵f′(x)=a(x+1)(x-a),

∴f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)上单调递增, ∴f(x)在 x=a 处取得极小值,与题意不符; 若-1<a<0,则 f(x)在(-1,a)上单调递增,在(a,+∞)上单 调递减,从而在 x=a 处取得极大值. 若 a>0,则 f(x)在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递 增,与题意矛盾,∴选 D.

4.已知 f(x)=ax5-bx3+c 在 x=± 1 处的极大值为 4,极小值为 0,试确定 a,b,c 的值. 解:f′(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b).
由题意,f′(x)=0 应有根 x=± 1,故 5a=3b, 于是 f′(x)=5ax2(x2-1) (1)当 a>0, x 变化时, f′(x), f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞, -1) +

-1 0 极大 值

(-1,0) -

0 0 无极 值

(0,1) -

1 0 极小 值

(1,+ ∞) +

? ?4=f?-1?=-a+b+c, 由表可知:? ? ?0=f?1?=a-b+c.

又 5a=3b,解之得:a=3,b=5,c=2. (2)当 a<0 时,同理可得 a=-3,b=-5,c=2.

1.求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求导数 f′(x). (3)解方程 f′(x)=0 得方程的根. (4)利用方程 f′(x)=0 的根将定义域分成若干个小开区 间,列表,判定导函数在各个小开区间的符号. (5)确定函数的极值,如果 f′(x)的符号在 x0 处由正(负) 变负(正),则 f(x)在 x0 处取得极大(小)值.

2.已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意 两点 (1)根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程 组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件, 所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.

函数极值的综合应用

[典例]

已知函数f(x)=x3-3ax-1(a≠0).若函数f(x)在x=

-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点, 求m的取值范围. [解] 因为 f(x)在 x=-1 处取得极值且 f′(x)=3x2-3a,

所以 f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,所以 a=1. 所以 f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3, 由 f′(x)=0,解得 x1=-1,x2=1. 当 x<-1 时,f′(x)>0; 当-1<x<1 时,f′(x)<0;

当 x>1 时,f′(x)>0. 所以由 f(x)的单调性可知, f(x)在 x=-1 处取得极大值 f(-1)=1, 在 x=1 处取得极小值 f(1)=-3. 作出 f(x)的大致图象如图所示:

因为直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合 f(x)的图象可知,m 的取值范围是(-3,1).

[一题多变] 1.[变条件]若本例中条件改为“已知函数 f(x)=-x3+ax2-4” 4 在 x= 处取得极值,其他条件不变,求 m 的取值范围. 3
解:由题意可得 f′(x)=-3x +2ax,由 可得 a=2,所以 f(x)=-x3+2x2-4, 则 f′(x)=-3x2+4x. 4 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=3,
2

?4? f′?3?=0, ? ?

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,0) -

0 0 -4

? 4? ?0, ? 3? ?

4 3

?4 ? ? ,+∞? ?3 ?



0
76 -27



作出函数f(x)的大致图象如图所示:

因为直线 y=m 与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点, 所以 m
? 76? 的取值范围是?-4,-27?. ? ?

2.[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点” 结果如何?改为“一个交点”呢?

解:由例题解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与y= f(x)的图象有两个不同的交点;当m<-3或m>1时,直线y=m 与y=f(x)的图象只有一个交点.

(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象 问题,一般地,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴 交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的 图象的交点的横坐标. (2)事实上利用导数可以判断函数的单调性,研究函数 的极值情况,并能在此基础上画出函数的大致图象,从直 观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的 个数,从而为研究方程根的个数问题提供了方便.

“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(六)”

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