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考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


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考点 2

命题及其关系、充分条件与必要条件、


简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.(2010·天津高考文科·T5)下列命题中,真命题是( (A) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)是偶函数
2

(B) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)是奇函数
2

(C) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)都是偶函数
2

(D) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)都是奇函数
2

【命题立意】考查简易逻辑、二次函数的奇偶性. 【思路点拨】根据偶函数的图像关于 y 轴对称这一性质进行判断. 【规范解答】选 A.当 m ? 0 时,函数 f ( x) ? x 的图像关于 y 轴对称,故选 A.
2

2.(2010·天津高考理科·T3)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( (A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 【命题立意】考查命题的四种形式中的否命题的概念. 【思路点拨】原命题“若 p 则 q ” ,否命题为“若 ? p 则 ? q ”.

)

【规范解答】选 B.明确“是”的否定是“不是” ,并对原命题的条件和结论分别进行否定,可得否命题为 “若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数”. 3.(2010·辽宁高考文科·T4)已知 a>0,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,
2

则下列选项的命题中为假命题的是(



(A) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (C) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

(B) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (D) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )
-1-

圆学子梦想 铸金字品牌 【命题立意】本题考查二次函数的顶点与最值问题,全称命题与特称命题.

【思路点拨】

x0 ? ?

b 2a ,由于 a>0,所以 f ( x0 ) 是 f ( x) 的最小值. x0 ? ? b b f (x 0) ? f ( ? ) 2a .∵a>0,∴ 2a 是二次函数 f ( x)

【规范解答】选 C.由 x0 满足方程 2ax+b=0,可得

的最小值,可判定 D 选项是真命题,C 选项是假命题;存在 x= x0 时, 是真命题,故选 C. 4.(2010 ·海南宁夏理科·T5)已知命题

f ( x) ? f ( x0 ) ,可判定 A,B 选项都

p1 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 上为增函数,
p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 上为减函数,
则在命题 (A)

q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? ?p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ?p2 ? 中,真命题是(
(B)



q1 , q3

q2 , q3

(C)

q1 , q4

(D)

q2 , q4

【命题立意】本小题主要考查逻辑联结词和判断命题的真假. 【思路点拨】先判断出

p1 , p2 的真假,然后再进行相关的判断,得出相应的结论.
x ?x

【规范解答】选C.因为 y ? 2 为增函数, y ? 2 为减函数,易知 是真命题,

p1 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 上为增函数

p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 上为减函数为假命题.故 q1 , q4 为真命题.

5.(2010·陕西高考文科·T6) “a>0”是“ (A)充分不必要条件 (C)充要条件

a

>0”的





(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

【命题立意】本题考查充分条件、必要条件等的基本概念,属送分题. 【思路点拨】由“条件”的定义求解即可.

a a a 【规范解答】选 A. 因为“a>0” ? “ >0” ,但是“ >0” ? “a>0 或 a<0” ,所以“ >0”
推不出“a>0” ,故“a>0”是“

a

>0”的充分不必要条件,故选 A.
3 2

6.(2010·广东高考文科·T8) “ x >0”是“ x >0”成立的( (A)充分非必要条件 (C)非充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (D)充要条件
-2-

)

圆学子梦想 铸金字品牌 【命题立意】本题考查充要条件的判断以及不等式的基本性质. 【思路点拨】判断由“ x >0”是否能得到“ x >0”. 【规范解答】选 A .? “ x >0” ? “ x >0” ;而“ x >0”不能得到“ x >0” ,故选 A .
3 2 3 2 3 2

m?
7.(2010·广东高考理科·T5) “ (A)充分非必要条件 (C)必要非充分条件

1 4 ”是“一元二次方程 x 2 ? x ? m ? 0 ”有实数解的(

)

(B)充分必要条件 (D)非充分非必要条件

【命题立意】本题考查充分必要条件,一元二次方程根的判定.

【思路点拨】 先求出一元二次方程 x ? x ? m ? 0 ”有实数解的条件,再分析与
2

m?

1 4 的关系. 1 4 ,故选 A .
)

【规范解答】选 A . 由“一元二次方程 x ? x ? m ? 0 ”有实数解得:
2

12 ? 4m ? 0 ? m ?

8.(2010·福建高考文科·T8)若向量 a ? ( x,3)( x ? R) ,则“ x ? 4 ”是“ | a |? 5 ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

【命题立意】本题考查充分必要条件,平面向量长度的坐标运算. 【思路点拨】先判断 | a |? 5 的充要条件,然后可得结论. 【规范解答】选 A.?

a ? 5,? x 2 ? 9 ? 5,? x ? ?4



?x ? 4 ? x ? 4 ? a ? 5, a ? 5 ?

x=4,所以 x ? 4 是

a ?5

的充分而不必要条件.

9.(2010·北京高考理科·T6) a , b 为非零向量.“ a ? b ”是“函数 f(x)= xa ? b ? xb ? a 为一次函数”的( ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?

?

?

?

?

? ?

??

? ?

?

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

【命题立意】本题考查充分必要条件,向量的数量积、一次函数等知识.

? ? ? ? f ( x ) | a a ? b 【思路点拨】把 展开,由一次函数的条件可得到 且 |?| b | .

? ? ? a ?b ? 0 , ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 f ( x ) ? x a ? b ? ( b ? a ) x ? a ? b ? ? 【 规 范 解 答 】 选 B. 函 数 为一次函数,则 2 ?2 即a?b且 , b ? a ? 0 ? ?
-3-

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? ? ? ? ? ? ? ? | a |?| b | ,反之不成立,因此“ a ? b ”是“函数 f ( x) = xa ? b ? xb ? a 为一次函数”的必要而不充分

?

??

?

条件.

? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0 ; 【方法技巧】 (1) (2) “ p ? q ”. p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件.
10.(2010·陕西高考理科·T9)对于数列{ an } , “ 的( ) (B) 充分不必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

an?1 ? an

(n=1,2,?) ”是“ { an }为递增数列”

( A) 必要不充分条件 (C) 必要条件

【命题立意】本题考查充分条件、必要条件等的基本概念及数列的基本概念. 【思路点拨】

an?1 ? an ? an ? 0 ? an?1 ? an ? { an }为递增数列; an?1 ? an
(n=1,2,?) ”.

而“ { an }为递增数列”推不出“ 【规范解答】选 B .因为 推不出“

an?1 ? an

,所以

an ? 0, an?1 ? an ,即{ a }为递增数列.又“ { an }为递增数列” n

an?1 ? an

(n=1,2,?) ” ,所以“

an?1 ? an

(n=1,2,?) ”是“ { an }为递增数列”的充分不

必要条件,故选 B. 11.(2010·辽宁高考理科·T11)已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是( )

1 1 2 ?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 (A) 1 1 2 ?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 (C)

1 1 2 ?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 (B) 1 1 2 ?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 (D)

【命题立意】本题考查充要条件、二次函数的最值,全称命题、特称命题. 【思路点拨】构造二次函数 f(x)= 【规范解答】选 C.

1 2 ax ? bx(a ? 0) ,观察对称轴和最值与 x0 的关系. 2

1 b b 令f ( x) ? ax 2 ? bx (a ? 0) , 当x ? 时f ( x)取得最小值f ( )。 1 22 b a b a 令f ( x) ? ax ? bx (a ? 0) , 当x ? 时f ( x)取得最小值f ( )。 . 2 a a b 即?x ? R, f ( x) ? f ( )。 b a 即?x ? R, f ( x) ? f ( )。 a .(a ? 0), 即x ? b , 若x0满足方程ax ? b 0 b 若x0满足方程ax ? b(a ? 0), 即x0 ? , a a 1 1 所以有?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) 即?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 2 ? bx0; 1 22 1 22 所以有?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) 即?x ? R, ax ? bx ? ax 0 ? bx0; 2 1 2 1 2 2 反之若?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0,即?x ? R, f ( x ) ? f ( x0 ), 1 22 1 22 -4反之若?x ? R, ax ? bx ? ax 0 ? bx0,即?x ? R , f ( x ) ? f ( x0 ), 2 2 b 即 当x ? x0时 f ( x)取得最小值,而对f ( x)而言,当x ? 时取得最小值。 b a 即 当x ? x0时 f ( x)取得最小值,而对f ( x)而言,当x ? 时取得最小值。 a b 所以x ? , 即x 满足方程ax ? b

1 2 b b ax ? bx (a ? 0) , 当x ? 时f ( x)取得最小值f ( )。 2 a a 圆学子梦想 铸金字品牌 b 即?x ? R, f ( x) ? f ( )。 a b 若x0满足方程ax ? b(a ? 0), 即x0 ? , a 1 1 所以有?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) 即?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 2 ? bx0; 2 2 1 1 反之若?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 2 ? bx0,即?x ? R, f ( x ) ? f ( x0 ), 2 2 b , 即 当x ? x0时 f ( x)取得最小值,而对f ( x)而言,当x ? 时取得最小值。 , , a b 所以x0 ? , 即x0满足方程ax ? b, a 1 1 综上,x0满足方程ax ? b的充要条件是 ?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 2 ? bx0 . 2 2 令f ( x) ?
12. (2010·湖南高考文科·T2) 下列命题中的假命题是( (A) ?x ? R,lg x ? 0 (C) ?x ? R, x3 ? 0 (B) ?x ? R, tan x ? 1 (D) ?x ? R,2x ? 0 )

【命题立意】本小题以存在性命题和全称命题为载体考查指数不等式、二次不等式、对数不等式和 正切函数的值域. 【思路点拨】考查等价化简. 【规范解答】选 C.∵lgx=0, ∴x=1∈R, ∴A 是真命题.

?
又∵tanx=1 时,x= 4 ∈R, ∴B 是真命题. C 显然不对,因为 x≤0 时就不成立.对任意 x∈R,2 的 x 次幂都大于零, ∴D 是真命题. 13.(2010·湖南高考理科·T2)下列命题中的假命题是(
x ?1 (A) ? x ? R , 2 ? 0

)

* 2 (B) ? x ? N , ( x ? 1) ? 0

(C) ? x ? R , lg x ? 1

(D) ? x ? R , tan x ? 2

【命题立意】本小题以存在性命题和全称命题为载体考查指数不等式、二次不等式、对数不等式和正切函 数的值域.
-5-

圆学子梦想 铸金字品牌 【思路点拨】对各个式子等价化简. 【规范解答】选 B.∵ 2
x ?1

? 0 ,∴x∈R,∴A 是真命题.又∵ ( x ?1) 2 ? 0 ,∴x∈R 且 x≠1,而 1∈N*,∴B

是假命题.又 lg x ? 1,∴0<x<10,∴C 是真命题.又∵y=tanx 的值域为 R,∴D 是真命题. 14.(2010·安徽高考文科·T11)命题“存在 x ? R ,使得 x ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是
2

.

【命题立意】本题主要考查特称命题的否定,考查考生的转化能力. 【思路点拨】特称命题的否定是全称命题,存在量词“存在” 改为全称量词“任意” ,并把结论否定. 【规范解答】 “存在” 改为“任意” , “ ? ”改为“ ? ” ,即“对任意 x ? R ,都有 x ? 2 x ? 5 ? 0 ”.
2

【答案】 “对任意 x ? R ,都有 x ? 2 x ? 5 ? 0 ”
2

15.(2010·安徽高考理科·T11)命题“对任何 x ? R ,

x?2 ? x?4 ?3

”的否定是________.

【命题立意】本题主要考查全称命题的否定,考查考生的转化能力. 【思路点拨】全称命题的否定是特称命题,全称量词“任何”改为存在量词“存在” ,并把结论否定. 【规范解答】 “任何” 改为“存在” , “ ? ”改为“ ? ” ,即“存在 x ? R , | x ? 2 | ? | x ? 4 |? 3 ”. 【答案】 “存在 x ? R , | x ? 2 | ? | x ? 4 |? 3 ”

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-6-


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