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扬州市2016—2017学年度高三数学第一学期期中测试参考答案


2016-2017 学年度高三第一学期期中测试

数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案
2016.11 一、填空题 1. ?
3 2

2.1 8. ?

3. x 2 ? 2 y

4. (??,0) ? (1, ??) 10.27

5.

5 2

6.8
?2 ? k ? 0 12.

7. ?2 或 1 13. y ? ?2 x

3 4

[?1,1] 9.

2 11. 3

14. [ 2, ??)

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.解:(1) f ( x) ? 2cos( ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2

?

? 2 sin(2x ? ) ? 2 4
由 2k? ?

?

……4 分

?
2

8 ? 3? ? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? , 8 8 ? ?

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

? k ? Z ? , 得 k? ?

?

? x ? k? ?

3? ?k ? Z ?, 8
……8 分

(2)由(1)知 f (x) ? 2 sin(2 x ? ) ?2 把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 4 倍(纵坐标不变),得到 y ? 2 sin( x ? ) ? 2 的图象,再把得到的图象向左平移 个单位, 4 3 得到 g ( x) ? 2 sin( x ? 即 g ( x) ? 2 sin( x ?

?

?

?

?
12

) ? 2 的图象,

……12 分 ……14 分

) ? 2 ,所以 g ( ) ? 3 . 12 6

?

?

16.解:(1)由 x2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,解得: x ? ? 4 或 x ? 2 ,则 A ? (??, ?4) ? (2, ??) ,……2 分 若 m ? ? 4 , g ( x) ? x2 ? 3x ? 4 ,由 x2 ? 3x ? 4 ? 0 ,解得: ?1 ? x ? 4 ,则 B ? [?1, 4] ……4 分 所以 A ? B ? (2, 4] ; ……6 分

1 1 ( 2 ) 存 在 x ?[ 0, ]使 得 不 等 式 x2 ? ( m ? 1) x ? m ? ?1成 立 , 即 存 在 x ?[ 0, ]使 得 不 等 式 2 2

x2 ? x ? 1 x2 ? x ? 1 成立,所以 ?m ? ( ……10 分 )min x ?1 x ?1 x2 ? x ? 1 1 1 因为 ? x? ? x ?1? ? 1 ? 1 ,当且仅当 x ? 1 ? 1 ,即 x ? 0 时取得等号 x ?1 x ?1 x ?1 ?m ?
所以 ? m ? 1 ,解得: m ? ?1 . ………14 分

数学试题第 1 页(共 8 页)

17.解:(1)若 a ? ?8 ,圆 M : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 ,圆心 M (1,0) ,半径为 3. ………2 分 若切线斜率不存在,圆心 M 到直线 x ? 4 的距离为 3 ,所以直线 x ? 4 为圆 M 的一条切 线; ………4 分 若切线斜率存在,设切线方程为: y ? 5 ? k ( x ? 4) ,化简为: kx ? y ? 4k ? 5 ? 0 ,则圆心到直 | k ? 4k ? 5 | 8 ? 3 ,解得: k ? . 线的距离 2 15 k ?1 所以切线方程为 x ? 4 或 8x ? 15 y ? 43 ? 0 ; ………7 分 (2)圆 M 的方程可化为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ? a ,圆心 M (1,0) ,则 OM ? 1 设圆的半径 r ? 1 ? a (a ? 1) …………9 分

???? ???? ???? ???? 因 为 AB 为 圆 M 的 任 意 一 条 直 径 , 所 以 MA ? ? MB , 且 | M A? | |M? B| , r 则

??? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? OA ? OB ? (OM ? MA) ? (OM ? MB) ? (OM ? MB) ? (OM ? MB) ? (OM )2 ? (MB)2 ? 1 ? r 2
??? ? ??? ? 又因为 OA ? OB ? ?6 ,解得: r ? 7 ,所以圆的半径为 7 .

…12 分

………14 分

18.解: (1)在 ?ABC 中, cos ?ABC ? 所以 sin ?ABC ? (2) 在 ?ABD 中, 由
4 3 7

AB2 ? BC 2 ? AC 2 900 ? 4900 ? 6400 1 ? ? ? ……3 分 2 AB ? BC 2 ? 30 ? 70 7
………5 分

30 AD BD AD AB BD 得: ? ? ? ? sin ? 4 3 sin ?ABD sin ? sin ?BAD 1 4 3 ? sin ? ? cos ? 7 7 7

120 3 120 3 30 120 3 cos? ? sin ? cos? 30 7 所以 AD ? 7 , BD ? 7 ? 7 ? sin ? sin ? sin ? 7

………9 分

设水路运输的每百人每公里的费用为 k 元,陆路运输的每百人每公里的费用为 2 k 元, 则运输总费用 y ? (5CD ? 3BD) ? 2k ? 8 ? k ? AD ?? 2k[5(70 ? BD) ? 3BD ? 4 AD]
12 3 12 3 c o? s 3 6 2 4 3 ?2 ? cos 7 ? 20k[35 ? 2( ? ) ? 4 ? 7 ] ? 20k[35 ? ? ? ] sin ? 7 sin ? 7 7 sin ?

……11 分

令 H (? ) ? 当0 ?? ?

2 ? cos? 1 ? 2cos? 1 ? ,则 H '(? ) ? ,设 H '(? ) ? 0 ,解得: cos? ? ,? ? 2 sin ? sin ? 2 3

?
3

时, H ?(? ) ? 0, H (? ) 单调减;当

?
3

?? ?

?
2

时, H ?(? ) ? 0, H (? ) 单调增 ……14 分

?? ?

?
3

时, H (? ) 取最小值,同时 y 也取得最小值.

数学试题第 2 页(共 8 页)

120 3 cos? 30 90 90 此时 BD ? 7 ,满足 0 ? ? ? ? 70 ,所以点 D 落在 BC 之间 sin ? 7 7 7

所以 ? ? 答: ? ?

?
3

时,运输总成本最小. 时,运输总成本最小. ………16 分

?
3

19.解:(1)设 F (c,0) 且 c 2 ? a 2 ? b 2 , P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , y0 ) , 所以 k ? ∴k ?
???? ??? ? y0 y0 3 ,k'? ,因为 NF ? 2FP ,所以 c ? 2( x0 ? c) ,即 x0 ? c x0 ? c ? x0 ? c 2

………3 分 ………6 分

y0 2y y0 2y ? 0 ,k'? ? 0 x0 ? c c ? x0 ? c ?5c

∴ k ? ?5k ' ,即

k ? ?5 为定值 k'

??? ? ??? ? 1 (2)若 AN ? FP ,则 AF ? 3FP ,所以 AF ? 3FP ,解得: A(? c, ?3 y0 ) 2

? 9c 2 y0 2 ? ? 1 () 1 ? 80c2 c2 2 ? 4a 2 b 2 (1) ? 9 ? (2) 因为点 A 、 P 在椭圆 C 上,则 ? 2 , 得: ,解得: ? 8 ? 2 4a2 a2 5 ? c ? 9 y0 ? 1 (2) ? b2 ? 4a 2

………10 分 则
y0 2 y0 2 y0 2 3 1 c2 2 ? ,代入( 1 )得: , ? ? ? 2 2 2 2 c 20 3c b 10 b 3 2

12 15 1 12 因为 S?APQ ? ? 3c ? 4 y0 ? 6cy0 且 S?APQ ? ,解得: c2 y02 ? ,则 c 2 ? 4 5 2 5 2 2 x y 所以椭圆方程为: ? ?1. 10 6

………14 分 ………16 分

20.解: (1)∵ f '( x) ?

aex ( x ? 1) ? x2 ∴ f '(1) ? 1 , f (1) ? ae ? 1 x2

∴函数 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为: y ? (ae ? 1) ? x ? 1 ,又直线过点 (0, ?1) ∴ ?1 ? (ae ? 1) ? ?1 ,解得: a ? ? (2)若 a ? 0 , f '( x) ?

1 e

………2 分

aex ( x ? 1) ? x2 , x2

当 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 0 恒成立,函数在 (??,0) 上无极值; 当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 恒成立,函数在 (0,1) 上无极值;

数学试题第 3 页(共 8 页)

? x0 ? 1 ? 方法(一)在 (1, ??) 上,若 f ( x) 在 x0 处取得符合条件的极大值 f ( x0 ) ,则 ? f ( x0 ) ? 0 ,…5 分 ? f '( x ) ? 0 0 ?

? ? (1 ) ? x0 ? 1 x0 ? x x2 ? ae ? x0 ? 0 (2) 则? ,由(3)得: ae x0 ? ? 0 ,代入(2)得: ? 0 ? x0 ? 0 , x0 ? 1 x0 ? 1 ? x0 ? ae x0 ( x ? 1) ? x 2 0 0 ? ? 0 (3) 2 x ? 0 ?

结合(1)可解得: x0 ? 2 ,再由 f ( x0 ) ? 设 h( x) ? ?

x2 ae x0 ? x0 ? 0 得: a ? ? x00 , e x0

x2 x( x ? 2) ,则 h '( x) ? ,当 x ? 2 时, h '( x) ? 0 ,即 h( x) 是增函数, ex ex 4 所以 a ? h( x0 ) ? h(2) ? ? 2 , e
又 a ? 0 ,故当极大值为正数时, a ? (?

4 ,0) ,从而不存在负整数 a 满足条件. ………8 分 e2

方法(二)在 x ? (1, +?) 时,令 H ( x) ? ae x ( x ? 1) ? x2 ,则 H '( x) ? (ae x ? 2) x ∵ x ? (1, +?) ∴ e x ? (e, +?) ∴ ae x ? 2 ? 0 ∴ H '( x) ? 0 ∵ a 为负整数 ∴ a ? ?1 ∴ ae x ? ae ? ?e

∴ H ( x) 在 (1, ??) 上单调减 …5 分

又 H (1) ? 1 ? 0 , H (2) ? ae2 ? 4 ? ?e2 ? 4 ? 0 ∴ ?x0 ? (1, 2) ,使得 H ( x0 ) ? 0 且 1 ? x ? x0 时, H ( x) ? 0 ,即 f '( x) ? 0 ; x ? x0 时, H ( x) ? 0 ,即 f '( x) ? 0 ; ∴ f ( x) 在 x0 处取得极大值 f ( x0 ) ?
ae x0 ? x0 x0

(*)

又 H ( x0 ) ? ae x0 ( x0 ? 1) ? x02 ? 0 ∴ ∴不存在负整数 a 满足条件.

x x ( x ? 2) x ae x0 ?0 ? ? 0 代入 (*) 得:f ( x0 ) ? ? 0 ? x0 ? 0 0 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 x0 ? 1

………8 分

(3)设 g ( x) ? ae x (x ? 1) ? x 2 ,则 g '( x) ? x(ae x ? 2) , 因为 a ? 0 ,所以,当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递增;当 x ? 0 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调 递减;故 g ( x) 至多两个零点.

数学试题第 4 页(共 8 页)

又 g (0) ? ?a ? 0 , g (1) ? 1 ? 0 ,所以存在 x1 ? (0,1) ,使 g ( x1 ) ? 0 再由 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增知, 当 x ? (0, x1 ) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ?

g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; x2 g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; x2
………12 分

? ?) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ? 当 x ? ( x1,

所以函数 f ( x) 在 x1 处取得极小值. 当 x ? 0 时, e x ? 1 ,且 x ? 1 ? 0 , 所以 g ( x) ? ae x ( x ? 1) ? x2 ? a( x ? 1) ? x2 ? x2 ? ax ? a ,

函数 y ? x2 ? ax ? a 是关于 x 的二次函数,必存在负实数 t ,使 g (t ) ? 0 ,又 g (0) ? ?a ? 0 , 故在 (t ,0) 上存在 x 2 ,使 g ( x2 ) ? 0 , 再由 g ( x) 在 (??,0) 上单调递减知, 当 x ? (??,x2 ) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ? 当 x ? ( x2 ,0) 时, g ( x) ? 0 ,故 f '( x) ? 所以函数 f ( x) 在 x 2 处取得极大值. 综上,函数 f ( x ) 既有极大值,又有极小值. ………16 分

g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; x2

g ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; x2

数学试题第 5 页(共 8 页)


f (? ) ?





题Ⅱ参考答案
………4 分

21.解:解:矩阵 M 的特征多项式为

? ?2 ?3 ? (? ? 2)(? ? 1) ? 3a ?a ? ? 1
3? 的一个特征值为 4 1? ?

?2 矩阵 M ? ? ?a

………8 分

所以 4 为方程 f (? ) ? 0 的一个根,则 2 ? 3 ? 3a ? 0 ,解得 a ? 2 .

………10 分

22.解:解:随机变量 ? 的取值可能为 0,1,2.
P(? ? 0) ? C72 7 ? 2 C10 15
1 1 C3 C7 7 ? 2 C10 15

………3 分

P(? ? 1) ?

………6 分

P(? ? 2) ?

C32 1 ? 2 C10 15

………9 分



?

0

1

2

P

7 15

7 15

1 15

? E(? ) ? 0 ?

7 7 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 15 15 15 5
…………10 分

3 答:数学期望 E (? ) 为 . 5

23.解: (1)如图,以 A 为坐标原点, AD, AB, AP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,

1 则 C (1,1,0) 、 P(0,0, 2) 、 D(1,0,0) 、 E (0, ,1) , 2
从而 CE ? (?1, ? ,1), PD ? (1, 0, ?2). 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CE ? PD ?1 ? 2 2 ? ??? ? ? ∴ cos ? CE, PD ?? ??? ?? 5 5 | CE | ? | PD | 1 1? ?1 ? 1? 4 4

………2 分

??? ?

1

??? ?

数学试题第 6 页(共 8 页)

即 CE 与 PD 所成角的余弦值为

2 5 . 5

………4 分

? ? ?? ? ? ?? 2 ( 2 ) 点 F 在 棱 PC 上 , 且 P F? ? P C , 所 以 P F? ? P C , 于 是 F (? , ? , ?

? 2, )

??? ? ??? ? ??? ? 1 BF ? (?, ? ? 1, 2 ? 2? ) ,又 CD ? (0, ?1,0) , CE ? (?1, ? ,1) . 2 ? 设 n ? ( x, y, z) 为平面 CDE 的法向量,则

? ??? ? ?? y ? 0 ? ? ?n ? CD ? 0 ,可得 ? ,取 x ? 1 ,则 n ? (1,0,1) ? ? ? ??? ? 1 ?x ? y ? z ? 0 ? ? ?n ? CE ? 0 ? 2 CDE 设直线 BF 与平面 所成的角为 ? ,则
??? ? ? sin ? ?| cos ? BF , n ?|? 2??

………6 分

? ? (? ? 1) ? (2 ? 2? ) ? 2
2 2 2

?

2?? 2 6? 2 ? 10? ? 5

………8 分

令 t ? 2 ? ? ,则 t ? [1, 2] ,所以 sin ? ?

t 2 6t 2 ? 14t ? 9

?

2 ? 2

1 9 14 ? ?6 t2 t

3 10 1 7 9 9 14 5 当 ? ,即 t ? ? [1,2] 时, 2 ? ? 6 有最小值 ,此时 sin ? 取得最大值为 ,即 BF 与 10 t 9 7 t t 9 9 5 5 平面 CDE 所成的角最大,此时 ? ? 2 ? t ? 2 ? ? ,即 ? 的值为 . ……10 分 7 7 7

24.解: (1)设 A1 ? A2 ? {a1} ,共有 3 种,即 f (2,1) ? 3 ;

………1 分

设 A1 ? A2 ? {a1 , a2 } ,若 A1 ? ? ,则有 1 种;若 A1 ? {a1} ,则有 2 种;若 A1 ? {a2 } ,则有 2 种; 若 A1 ? {a1 , a2 } ,则有 4 种;即 f (2, 2) ? 9 ; ………2 分

A3 ? a1 { a2 , } , 设 A1 ? A2 ? A3 ? {a1 , a2 } , 若 A1 ? ? , 则 A2 ? 所以有 f (2, 2) ? 9 种; 若 A1 ? {a1} ,

则 A2 ? A3 ? {a1 , a2 } 或 A2 ? A3 ? {a2 },所以有 f (2, 2) ? f (2,1) ? 12 ;若 A1 ? {a2 } ,则有 12 种; 若 A1 ? {a1 , a2 } ,则 A2 ? A3 ? { a1, a2}或 A2 ? A3 ? {a1} 或 A2 ? A3 ? {a2 } 或 A2 ? A3 ? ? ,所以有
1 ? 3 ? 3 ? 9 ? 16 种;即 f (3, 2) ? 49 ;

………4 分

(2)猜想 f (n, 2) ? (2n ? 1)2 (n ? 2, n ? N *) ,用数学归纳法证明. 当 n ? 2 时, f (2, 2) ? 9 ,结论成立; 假设 n ? k 时,结论成立,即 f (k , 2) ? (2k ? 1)2 , 当 n ? k +1 时, A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ?1 ? {a1 , a2 } ………5 分

数学试题第 7 页(共 8 页)

当 Ak ?1 ? ? 时, A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a1 , a2 } ,所以有 f (k , 2) ? (2k ? 1)2 种; 当 Ak ?1 ? {a1} 时, A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a1 , a2 } ,所以有 f (k , 2) ? (2k ? 1)2 种, 或 A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a2 } ,所以有 2 k ? 1 种,共有 2k (2k ? 1) 种; 同理当 Ak ?1 ? {a2 } 时,共有 2k (2k ? 1) 种; 当 Ak ?1 ? {a1 , a2 } 时, A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a1 , a2 } ,所以有 f (k , 2) ? (2k ? 1)2 种, 或 A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a1} ,所以有 2 k ? 1 种,或 A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? {a2} ,所以有
2 k ? 1 种,或 A1 ? A2 ? A3 ??? Ak ? ? ,所以有 1 种,共有 2 2 k 种;

则 f (k ? 1,2) ? 4(2k ? 1)2 ? 4(2k ? 1) ? 1 ? (2k ?1 ? 1)2 所以,当 n ? k +1 时,结论成立; 所以 f (n, 2) ? (2n ? 1)2 (n ? 2, n ? N *) ………9 分 ………………10 分

数学试题第 8 页(共 8 页)


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