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高中数学常用公式及常用结论


高中数学常用公式及结论
1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式

CU ( A B) ? CU A CU B; CU ( A B) ? CU A CU B .
3.包含关系

A B ? A ? A B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A

? A CU B ? ? ? CU A B ? R
4.集合中元素的个数

card ( A B) ? cardA ? cardB ? card ( A B) card ( A B C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A B) ? card ( A B) ? card ( B C ) ? card (C A) ? card ( A B C ) . n n n 5.集合 {a1 , a2 , , an } 的子集个数共有 2 个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2 –1 个;非空的真子集
有 2 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;
2
n

(2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ;
2

(3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 8.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必要而不是
充分条件.特别地, 方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 (k1 , k 2 ) 内,等价 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 . 9.闭区间上的二次函数的最值
2

2 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?

b 处及区间的两端点处取得,具 2a

体如下: (1)当 a>0 时,若 x ? ?

b b ? ? p, q ?,则 f ( x) min ? f (? ), f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? ; 2a 2a

b ? ? p, q ?, f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b b ? ? p, q ? , 则 f ( x) (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? ? mi nf p ( )f, ? q, ( 若 ) x ? ? ? ? p, q ? , 则 ? mi n 2a 2a f ( x) ? ma ( )f,? , q( f ) ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . ?x f p m a x x??
10.真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真 p或q 真 真 真 假 p且q 真 假 假 假

1

11.常见结论的否定形式 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有 x , 存在某 x , 成立 不成立 对任何 x , 不成立 存在某 x , 成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

p 或q
p 且q

?p 且 ?q
?p 或 ?q

14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

151 充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 13.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为减

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

函数. 14. 如果函数 f ( x ) 和 g ( x) 都是减函数 , 则在公共定义域内 , 和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数 ; 如果函数

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.
15.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那 么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 16. 若 函 数 y ? f ( x) 是 偶 函 数 , 则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若 函 数 y ? f ( x ? a) 是 偶 函 数 , 则

f ( x ? a) ? f (? x ? a) .
17. 对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立 ,则函数 f ( x ) 的对称轴是函数 x ? 数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2
2

a?b ; 两个函 2

18.若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 为周期为 2a 的周期函数. 19.多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ?

a 2

? a0 的奇偶性

多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零 20.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)

? f (2a ? x) ? f ( x) .
(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) . 21.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称.
(2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

a?b 对称. 2m 22. 若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;若将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象.
. 23.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c .
x (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .

(3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f (1) ? ? .
?
'

(5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,且 f(0)=1. 24.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=a; (2) f(x)+f(x+a)=0

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 ( f ( x) ? 0) 或 f ( x ? a) ? ? f ( x) 1 ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; (3) f ( x) ? 1 ? f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 f ( x) 的周期 T=4; 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) (5) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期 T=6a.
或 f ( x ? a) ? 25.分数指数幂 (1) a n ? (2) a
m ? n

m

1
n

?

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

?

a

m n

26.根式的性质
3

(1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

27.有理指数幂的运算性质

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 28.指数式与对数式的互化式

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
29.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
30.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) .
(2) log a
2 31.设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f ( x ) 的定义域为 R ,则 a ? 0 , 且? ? 0;

若 f ( x ) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验。 32.数列的通项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? an ? ? s ? s , n ? 2 ? n n?1
33.等差数列的通项公式

? an ).

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

n( a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
34.等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

4

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? 1
35.常见三角不等式 (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1

?

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1
36.三角函数的诱导公式口诀(自己写) :

?

2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

37.两角和与差的三角函数公式(自己写) :

38.辅助角公式(合一公式)

a sin ? ? b cos ? = a2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?
39.二倍角公式

b ). a

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?
函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A,ω , ? 为常数, 且 A≠0, ω >0)的周期 T ?

40.三角函数的周期公式

2?

函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? 41.正弦定理

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

?



a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
42.余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
43.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
(1) S ?
5

44.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

45. 简单的三角方程的通解

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) . co s ? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z )
46.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 47.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ( ? b); (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 48.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ 1、λ 2,使 得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 49.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 50. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 51. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 52.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 53.两向量的夹角公式

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

54.平面两点间的距离公式

d A, B = ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

(A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

55.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 56.三角形的重心坐标公式 △ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(x1 ,y1 ) 、 B(x2 ,y2 ) 、 C(x3 ,y3 ) , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是

G(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
6

57.点的平移公式
' ' ? ? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ? ? OP' ? OP ? PP' . ? ' ? ' ? ? ?y ? y ? k ?y ? y ? k

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P' ( x ' , y ' ) ,且 PP 的坐标为 ( h, k ) . 58.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) . (2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k .
' '

'

'

(3) 图 象 C 按 向 量 a= ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 若 C 的 解 析 式 y ? f ( x) , 则 C 的 函 数 解 析 式 为
' '

y ? f ( x ? h) ? k .
(4)曲线 C : f ( x, y ) ? 0 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .
' '

(5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 59. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,则 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC . 60.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

2

2

2

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号) 2 (3)柯西不等式 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.
(2) a, b ? R ? ? (4) a ? b ? a ? b ? a ? b . 61.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值

1 2 s . 4

推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y) 2 ? ( x ? y) 2 ? 2 xy (1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大.
2 2 62.一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) , 如果 a 与 ax ? bx ? c 同号, 则其解集
2

在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ;
2

x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
63.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a
7

64..斜率公式

k?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

65..直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 66..两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ① l1 // l 2 ? ? 67..点到直线的距离

? A1 B2 ? A2 B1 ? A1C 2 ? A2 C1

② l1 ? l2 ? A 1 A2 ? B 1B2 ? 0

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).
2 2 2

68. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? (4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1)( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ? 69.直线与圆的位置关系
2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . Aa ? Bb ? C 其中 d ? . 2 2 A ?B
70.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;
0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
8

70.圆 x2 ? y 2 ? r 2 切线方程. 过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;
2

71.椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

72. 椭圆的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 2 2 2 2 2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b
(1)椭圆 73.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ? 0 ? y ? ? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a b a a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 a b a b
(1)若双曲线方程为 y 轴上). 74. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ?1. a2 b x2 y 2 2 2 2 2 2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b 2 75. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2 y? 2 76.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( , y ? ) 或 P ( x , y ) ,其中 y 2 ? 2 px . 2p
(1)双曲线 77. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(2)过抛物线 y ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

(3)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC .
2 2

9

78.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? 弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )
79.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2

80.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 81.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 82.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; 3)转化为线面垂直. 83.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; ( 4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 84.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 85.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 86.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 87.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的 对角线所表示的向量. 88.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.

P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB .

AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.
89.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p ? ax ? by .
10

90.球的半径是 R,则 其体积 V ?

4 ? R3 , 3

其表面积 S ? 4? R .
2

91.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 , 正方体的外接球 的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 92.柱体、锥体的体积

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高) 3
93.回归直线方程
n n ? x ? x y ? y ? i ?? i ? ? xi yi ? nx y ? ? i ?1 ?b ? ? i ?1n n . y ? a ? bx ,其中 ? 2 xi ? x ? xi 2 ? nx 2 ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx

94.相关系数

r?

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

.

(? xi 2 ? nx 2 )(? yi 2 ? ny 2 )
i ?1 i ?1

n

n

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 95. 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程 是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 96.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数).

(n ? Q) . (3) (sin x)? ? cos x . (4) (cosx)? ? ? sin x 1 1 e x x x x x (5) (ln x )? ? ; (log a )? ? log a . (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a . x x
'

(2) ( xn ) ? nx

n?1

97.导数的运算法则 (1) (u ? v) ? u ? v
' ' '

(2) (uv) ? u v ? uv
' '

'

u ' u 'v ? uv ' (v ? 0) . (3) ( ) ? v v2

98.复合函数的求导法则
' ' ' ' 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ? ? ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数 yu ? f (u) ,则

' ' ' ' ' ' 复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 yx ? yu ? ux ,或写作 f x (? ( x)) ? f (u)? ( x)

11


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