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对数与对数运算(一)教学设计


对数与对数运算( 对数与对数运算(一)
教学设计(李恒福) 教学设计(李恒福)
一、教学内容分析 本节课是新课标高中数学 A 版必修①中第二章对数函数内容的第一课时, 也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型,学习起 来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容,在高考中占有一定的分量,它是 在指数函数的基础上,对函数类型的拓广。通过本节课的学习,可以让学生理解 对数的概念,从而进一步深化对对数模型的认识与理解,为学习对数函数作好准 备。同时,通过对数概念的学习,对培养学生对立统一,相互联系、相互转化的 思想,培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 二、学生学习情况分析 现阶段大部分学生学习的自主性较差,主动性不够,学习有依赖性,且学习 的信心不足, 对数学存在或多或少的恐惧感。 通过对指数与指数幂的运算的学习, 学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想,并且探究能力、逻辑 思维能力得到了一定的锻炼。因此,学生已具备了探索发现研究对数定义的认识 基础,故应通过指导,教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归 纳等数学思想的学习方法。 三、设计思想 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。调动学生学习的积 极性,主动性。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发, 从中认识对数的模型,体会引入对数的必要性。在教学重难点上,我步步设问、 启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地 突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下,充分地动手、动口、动脑, 掌握学习的主动权。 四、教学目标 1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的互化; 理解对数的性质。 2、通过事例使学生认识对数的模型,体会引入对数的必要性;通过师生观 察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。 3、通过学生分组探究进行活动,掌握对数的重要性质。通过做练习,使学 生感受到理论与实践的统一。 4、培养学生的类比、分析、归纳能力,严谨的思维品质以及在学习过程中培 养学生探究的意识。 五、教学重点与难点 (1)对数的概念; (2)对数式与指数式的相互转化。 重点 : (1)对数概念的理解; (2)对数性质的理解。 难点 : 六、教学过程设计

教 学 环 节

教学程序及设计 引例( 分钟) 引例(3 分钟) 1、一尺之棰,日取其半,万世不竭。 (1)取 5 次,还有多长? (2)取多少次,还有 0.125 尺? 分析: (1) 为 同 学 们 熟 悉 的 指 数 函 数 的 模 型 , 易 得

设计意图

创 设 情 境 引 入 新 课

? 1 ? ? ? ? 2 ?

5

=
x

1 32

?1? (2)可设取 x 次,则有 ? ? = 0.125 ? 2?

?1? 抽象出: ? ? = 0.125 ?x = ? ? 2?
2、2002 年我国 GPD 为 a 亿元,如果每年平均增 长 8%,那么经过多少年 GPD 是 2002 年的 2 倍? 分析:设经过 x 年,则有 (1 + 8%) 抽象出:
x

x

=2

让学生根据 题意,设未 知数,列出 方程。这两 个例子都出 现指数是未 知数 x 的情 况,让学生 思考如何表 示 x,激发 其对对数的 兴趣,培养 学生的探究 意识。说明 对数的引入 是必要的。

(1 + 8%)x = 2 ?x =?
正确理解对 数定义中底 数的限制, 为以后对数 函数定义域 的确定作准 备。同时注 意对数的书 写,避免因 书写不规范 而产生的错 误。

一、对数的概念(3 分钟) 对数的概念( 分钟) 一般地, 如果 a(a>0 且 a≠1)的 b 次幂等于 N, 就 是a
b

=N 那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数,记作

log a N = b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
注意:①底数的限制:a>0 且 a≠1 ②对数的书写格式

loga N

(5 二、对数式与指数式的互化: 5 分钟) 对数式与指数式的互化: 分钟) (

讲 授 新 课

a b =N log a N=b ↓↓↓ ↓↓ ↓ 底数
指数 幂
幂底数 指数 幂 ← a → 对数底数 ← b → 对数 ← N → 真数 思考: ①为什么对数的定义中要求底数 a>0 且 a≠1? ②是否是所有的实数都有对数呢? 负数和零没有对数

底数 真数 对数

让学生了解 对数与指数 的关系,明 确对数式与 指数式只是 形式的区 别,本质是 相同的。体 现了等价转 化的数学思 想。

三、两个重要对数(2 分钟) 两个重要对数( 分钟) ①常用对数: 以 10 为底的对数 log10 N ,简记为: lgN ②自然对数: 以无理数 e=2.71828…为底的对数的对数 log e N 简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以 e 为底的 对数) 注意:两个重要对数的书写 课堂练习( 分钟) 课堂练习(7 分钟) 1 将下列指数式写成对数式: (1) 2
4

这两个重要 对数一定要 掌握,为以 后的解题以 及换底公式 做准备。

= 16
= 20

(2) 3 ? 3 =
b

1 27

(3) 5

a

?1? (4) ? ? = 0.45 ?2?
(2) log
1 3

2 将下列对数式写成指数式: (1) log 5 125 = 3 (3) log 10 (1) log 2

3 = ?2

a = ?1.069

3 求下列各式的值:

64

(2) log 9 27

本练习让学 生独立阅读 课本例 1 和 例 2 后思考 完成,从而 熟悉对数式 与指数式的 相互转化, 加深对对数 的概念的理 解。并要求 学生指出对 数式与指数 式互化时应 注意哪些问 题。培养学 生严谨的思 维品质。

讲 授 新 课

(1) log 3 1 = 0 (2) lg 1 = 0 (3) log 0.5 1 = 0 (4) 0 思考:你发现了什么? “ 1 ” 的 对 数 等 于 零 , 即 loga 1 = 0 类 比 :

四、对数的性质(12 分钟) 对数的性质( 分钟) 探究活动 1 求下列各式的值:

ln 1 =

a0 = 1

(1) log 3 3 = 1 (2) lg 10 = 1 (3) log 0 .5 0 . 5 = 1 (4) ln e = 1 思考:你发现了什么? 类比: 底数的对数等于 “ 1 ” 即 log a a = 1 类比 : ,

探究活动 2 求下列各式的值:

a1 = a

探究活动 3 求下列各式的值: log2 3 log7 0.6 = 3 (1) 2 (2) 7 log0.4 89 = 89 (3) 0.4 讲 授 新 课 思考:你发现了什么? log a N 对数恒等式: 对数恒等式: a 探究活动 4 求下列各式的值:
4

=

0.6

=N
5

探究活动由 学生独立完 成后,通过 思考,然后 分小组进行 讨论,最后 得出结论。 通过练习与 讨论的方 式,让学生 自己得出结 论,从而更 能好地理解 和掌握对数 的性质。培 养学生类 比、分析、 归纳的能 力。最后, 将学生归纳 的结论进行 小结,从而 得到对数的 基本性质。

讲 授 新 课

(1) log 3 3 = 4 (2) log0.9 0.9 8 (3) ln e = 8 思考:你发现了什么? n 对数恒等式: 对数恒等式: log a a = n

=

5

小 结

①负数和零没有对数 ②“1”的对数等于零,即 log a 1 = 0 ③底数的对数等于“1” ,即 log a a = 1 loga N =N ④ 对数恒等式: a 对数恒等式: log a a = n
n

将学生归纳 的结论进行 小结,从而 得到对数的 基本性质。

讲 授 新 课

巩 固 练 习

分钟) (10 分钟) 1、课本练习 2、提高训练 (1)已知 x 满足等式 log 5 [log 3 (log 2 x ) ] = 0 ,求 log x 16 值 (2)求值: log
2 .5

巩固指数式 与对数式的 互化,巩固 对数的基本 性质及其应 用。

6 . 25 + lg

1 + ln 100

e

分钟) (3 分钟) 1、 引入对数的必要性----对数的概念 一般地,如果 a(a>0 且 a≠1)的 b 次幂等于 N,就是

a b =N,那么数 b 叫做以 a 为底,N 的对数。记作
归 纳 小 结 强 化 思 想

log a N = b
2 、指数与对数的关系

a b =N log a N=b ↓↓↓ ↓↓ ↓ 底数
指数 幂
3、对数的基本性质 负 数 和 零 没 有 对 数
log
a

底数 真数 对数

总结是一堂 课内容的概 括,有利于 学生系统地 掌握所学内 容。同时, 将本节内容 纳入已有的 知识系统 中,发挥承 上启下的作 用。为下一 课时对数的 运算打下扎 实的基础。

log

a

1 = 0

a = 1











:

aloga N = N
作业是学生 信息的反 馈,教师可 以在作业中 发现学生在 学习中存在 的问题,弥 补教学中的 不足。

log a a n = n
一、课本 P82 习题 2.2 A 组 第 1、2 题 作 业 布 置 二、已知 loga

2 = x, loga 3 = y ,求 a3x+2 y 的值

三、求下列各式的值:

2 2 log 2 5 3 2 log 9 5

2 ? log2 3 31?2 log3 4

板 书 设 计

§2.2.1 对数与对数运算(一)

引例 1 引例 2 一、对数 的定义

二、对数式与指数 式的互化 练习

三、 对数的基本 性质 四、小结 五、作业布置


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