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高中数学苏教版必修三《2.3.1平均数及估计》课件


2. 3 总 体 特 征 数 的 估 计
黄建忠制作

根据第2 . 2 节开头的数据 还可以求出北京 , 地区近年来7 月25日至 8 月10日的日最高气 温 的样本平均值为 .02 , 我们可将其作为 34 北京地区近 年来 7月25日至 8 月10日的日最 高气温平均值的估计 .

在数学中, 通常把能反映总体某种特征的 量称为总体特征数 .
? 怎样通过抽样的方法用样本的特征数 , 估计总体的特征数呢 ?

2. 3. 1 平均 数 及 其 估 计

某校高一?1?班同学在老师的布置下用单摆进 行 测 , 试,以检验重力加速度全班同学两人一组在相同的 . , 条件下进行测试, 得到下列实验数据单位 : m / s 2

?

?

9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94 9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90

? 怎样利用这些数据对重 力加速度进行估计 ?

1 n 我们常用算术平均数 ? ai (其中ai (i ? 1,2, ? ??, n) 为n n i ?1 个实验数据) 作重力加速度的 最理想"的近似值, 它 " 的依据是什么呢?

n 个实数 a1 , a2 , a3 ,? ? ?, an的和简记为? ai , " ? "
i ?1

n

读作"西格玛".
处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数 据之间的离差最小.设这个近似值为x, 那么它与 n个实验值 ai ( i ? 1 , 2 , ? ? ? , n ) 的离差分别为 x ? a1 , x ? a2 , x ? a3 ,? ? ?, x ? an .由于上述离差有正有负, 故 不宜直接相加.可以考虑离差的平方和, 即

?x ? a1 ?2 ? ?x ? a2 ?2 ? ? ? ? ? ?x ? an ?2 .因为

?x ? a1 ? ? ?x ? a2 ?
2

2

? ? ? ? ? ? x ? an ? ?
2

2 2 2 nx 2 ? 2?a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ?x ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an , a1 ? a2 ? ? ? ? ? an 所以当 x ? 时, 离 差的 平 方 和最小, 故可 n a1 ? a2 ? ? ? ? ? an 用 作 为 表 示 这 个物理量的理想近似值, n 称为这 n 个数据 a1 , a2 ,? ? ?, an 的平均数 (average) 或均值 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an (mean), 一般记为 a ? . a 读作" a 平均". n

这样, 我们可以用计算器求得,由高一?1?班学生的实验数 据估计的重力加速度的最佳近似值为 x ? 9.774 m / s 2 .

?

?

例 2 某校高一级的甲、乙两 个班 级 ?均为50人 ?的语文成绩如 下?总分 : 150分 ?, 试确定这次考试中哪个班的语文成绩更好 . , 些
甲班 : 112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102 93 84 94 94 100 90 84 114 乙班 : 116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87 108 106 103 97 107 106 111 121 97 107 114 122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 110

分析 我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水 平,因此, 分别求出甲、乙两个班级的平均分即可. 解 用计算器分别求出甲班的平均分为101.1,乙班的平均 分为105.4, 故这次考试乙班成绩要好于甲班 .

点击图标, 打开Excel, 计算例1中的平均分 .
思考 某 工厂有 经 理 1 人, 另有6 名管理 人员,5 名高 级 技 工,10 名工人和1 名学徒.现 在需要 增加一名新 工人.小张前来应聘 经理说 :" 我 公司报酬不错, 平均 , 工资1 500 元 ."小张工作几天后找到经 理说 :" 你欺骗 了我, 我问过 其 他 工人, 没 有一个工人的月工资超 过 1 000 元 .平均工资怎 么可能 是 1 500 元呢 ? "经理拿出 如下工资表说:" 你看, 平均工资就是1 500 元 ."
人员 人数 合计 经理 管理人员 技工 工人 学徒 合计 1 250 6 75 000 1 100 5 1000 10 500 1 23 1 11 000

月工资 11 000

5 500 10 000 500 34 500

小张通计算发现表中工 资的总平均数恰为

?11000 ? 1 ? 1250 ? 6 ? 1100 ? 10 ? 500 ? 1? ? 23 ? 1500.
并没有错.

这个问题中总体平均数能 客 观 地反映工人的工 , 资水平吗? 为什么?

在上面的 思考"中, 计算平均数的式子可以 " 写为
1 6 5 10 1 11000 ? ? 1250 ? ? 1100 ? ? 1000 ? ? 500 ? . 23 23 23 23 23

一般地 , 若取值为 x1 , x2 , ? ? ? , xn 的频率为 p1 , p2 , ? ? ? , pn 则其平均数为x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? ? ? xn pn .

例2 下面是某校学生日睡眠 时间的抽样频率分布 表?单位 : h ?, 试估计该校学生的日平 均睡眠时间 .

睡眠时间

人 数 5 17 33 37 6 2 100

频 率 0.05 0.17 0.33 0.37 0.06 0.02 1

?6,6.5 ? ?6.5,7? ?7,7.5 ? ?7.5,8 ? ?8,8.5 ? ?8.5,9?
合 计

分析 要确这100 名学生的平均睡眠时间, 就 必须 计算其总睡眠时间.由于每组中的个体睡眠时间只 是一个范围, 可以用各组区间的组中值近似地表示.

解法1 总睡眠时间约为 6.25 ? 5 ? 6.75 ? 17 ? 7.25 ? 33 ? 7.75 ? 37 ? 8.25 ? 6 ? 8.75 ? 2 ? 739 ?h ?.

故平均睡眠时间约为7.39 h .
解法 2 求组中值与对应频率之积的和 6.25 ? 0.05 ? 6.75 ? 0.17 ? 7.25 ? 0.33 ? 7.75 ? 0.37 ? 8.25 ? 0.06 ? 8.75 ? 0.02 ? 7.39 ?h ?.

答 估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h .

例 3 某单位年收入在 000 到15 000、 000 10 15 到20000、 20000到25000、 25000到30000、 30000 到35000、 35000到40000及 40000到50000 元之 间的职工所占的比例分 别为10% ,15 % ,20 %, 25% ,15% ,10% 和5%试估计该单位职工的平 均年收入. 解 估计该单位职工的平均年收入为 12500? 10 % ? 17500? 15 % ? 22500? 20 % ? 27500? 25 % ? 32500? 15 % ? 37500? 10 % ? 45000? 5 % ? 26125?元 ?.

答 估计该单位人均年收入约为26125元.


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