当前位置:首页 >> 教学案例/设计 >>

2017_2018学年高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法(2)课件新人教A版必修5_图文

第二章 数列 §2.1 数列的概念与简单表示法(二) 学习目标 1.理解数列的几种表示方法,能从函数的观点研究数列. 2.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 递推公式 思考1 (1) 已 知 数 列 {an} 的 首 项 a1 = 1 , 且 有 an = 3an - 1 + 2(n>1 , 53 n∈N*),则a4=____. (2) 已知数列{an}中,a1=a2=1,且有an+2=an+an+1(n∈N*), 则a4=___. 3 梳理 如果数列{an}的第1项或前几项已知,并且数列{an}的任一项an与它的 前一项 an -1( 或前几项 ) 间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式 子就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是数列的一种表示方法. 思考2 我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列,那么通项 公式和递推公式有什么不同呢? 答案 通项公式和递推公式都是表示数列的方法.已知数列的通项公 式,可以直接求出任意一项;已知递推公式,要求某一项,则 必须依次求出该项前面所有的项. 知识点二 数列的表示方法 思考 答案 梳理 数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法. 题型探究 类型一 数列的函数特性 例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形,在四个三角形图案中, 着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的 一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象. 解答 反思与感悟 数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x换成n,且n∈N*,所以善 于利用我们熟知的一些基本函数,通过合理的联想、转化,从而达到 解决问题的目的. 跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数 学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子 摆成如图所示的三角形点阵,就将其所对应石子的个数称为三角形数, 55 . 则第10个三角形数是_____ 答案 解析 类型二 数列的递推公式 命题角度1 由递推公式求前若干项 例2 解答 ?a1=1, ? 1 设数列{an}满足? * a = 1 + ? n >1 , n ∈ N ?. 写出这个数列的前5项. ? n an-1 ? 1 1 3 1 5 由题意可知 a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ = ,a4=1+ = ,a5=1 a1 a2 2 a3 3 1 3 8 + =1+ = . a4 5 5 引申探究 1+an 数列{an}满足 a1=2,an+1= ,求 a2 016. 1-an 解答 1+a1 1+2 1+a2 1-3 1 a2= = =-3,a3= = =- , 2 1-a1 1-2 1-a2 1+3 1 1 1+a3 1-2 1 1+a4 1+3 a4= = = ,a5= = =2=a1. 1 3 1 1-a3 1-a4 1+2 1-3 故{an}是周期为4的数列. 1 ∴a2 016=a4×503+4=a4= . 3 反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n 的值即可得到相应的项;而递推公式则要已知首项(或前几项),才可依 次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否有规律性. 跟踪训练2 在 数 列 {an} 中 , 已 知 a1 = 2 , a2 = 3 , an + 2 = 3an + 1 - 2an(n≥1),写出此数列的前6项.解答 a1=2,a2=3, a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5, a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9, a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17, a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33. 命题角度2 由递推公式求通项 例3 (1)对于任意数列{an},等式:a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an- an-1)=an(n≥2,n∈N*)都成立.试根据这一结论,完成问题:已知数 列{an}满足:a1=1,an+1-an=2,求通项an; 解答 n≥2时, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+ 2+2+…+2=2(n-1)+1=2n-1. (n-1)个2 a1=1也适合上式, 所以数列{an}的通项公式是an=2n-1. a2 a3 an * (2)若数列{an}中各项均不为零,则有 a1· · · … · = a ( n ≥ 2 , n ∈ N ) n a1 a2 an-1 an 成立.试根据这一结论,完成问题:已知数列{an}满足:a1=1, = an-1 n-1 * 解答 ( n ≥ 2 , n ∈ N ) ,求通项 a n. n n-1 1 a2 a3 an 12 n≥2 时,an=a1· …· =1· · · …· n =n. a1· a2· 2 3 an-1 a1=1也适合上式, 1 所以数列{an}的通项公式是 an=n. 反思与感悟 形如 an+1-an=f(n)的递推公式, 可以利用 a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an an+1 -an-1)=an(n≥2,n∈N )求通项公式;形如 =f(n)的递推公式,可以 an a2 a3 an 利用 a1· · · …· =an(n≥2,n∈N*)求通项公式. a1 a2 an-1 * 跟踪训练3 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,试写出 a3,a4,a5,a6,a7,a8,你发现数列{an}具有怎样的规律?你能否求出 该数列中的第2 016项? 解答 a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2, a6=-1,a7=1,a8=2,…. 发现:an+6=an,数列{an}具有周期性,周期T=6, 证明如下:∵an+2=an+1-an,