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函数零点综合难题


函数零点综合难题
?a ? 3 x , x ? 0 ? 1.已知函数 f ( x) ? ? 1 , 若关于 x 的方程 f ? f ( x)? ? 0 有且仅有一解, 则实数 a 的取值范围是 ( ) ? ? x, x ? 0 ?x
A、 (- ?, 0) 2.已知函数 f ( x) ? ? B、 (0, 1) D、 (- ?, 0) ? (0, 1 ) C、 (0, 1 ) ? ( 1, ? ?)

?2 x ? 1( x ? 0) ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 的零点按从小到大的顺序排列成一 ? f ( x ? 1) ? 1( x ? 0)

个数列,记该数列的前 n 项和为 S n ,则 S10 =( A ) A.45 B.55 C. 2 ? 1
9

D. 2
2

10

?1
2

3.设 0 ? b ? 1 ? a.. 若关于 x 的不等式 ? x ? b ? ? ? ax ? 的解集中的整数恰有 3 个,则 A, ?1 ? a ? 0 B. 0 ? a ? 1 C. 1 ? a ? 3 D. 3 ? a ? 6

( C )

2 2 类似题目: (1) 若关于 x 的不等式 (2 x ? 1) ≤ax 的解集中的整数恰有 2 个, 则实数 a 的取值范围是


1

y ?| 2x ?1| 与y2 ? a | x | 满 足 由 题 意 易 得 a ? 0 , 已 知 条 件 可 等 价 化 为 | 2x ? 1 |? a | x | , 转 化 为 1
3 5 ? a? y1 ? y2的x 恰有 2 个整数解,运用数形结合思想,利用绝对值函数的图像可得 2 3 ,解得 9 25 ?a? 4 9 ,所以实数 a 的取值范围
9 25 [ , )

是 4 9 。 .

(2)设 m∈N,若函数 f ( x) ? 2x ? m 10 ? x ? m ? 10 存在整数零点,则 m 的取值集合为 解 当 x∈Z,且 x≤10 时, m 10 ? x ∈Z.若 m=0,则 x= -5 为函数 f(x)的整数零点.
2 x ? 10 10 ? x ? 1

若 m≠0,则令 f(x)=0,得 m= 此时 m∈{3,

∈N.注意到-5≤x≤10,且 10 ? x ∈N,得 x∈{1,6,9,10},

22 ,14,30}.故 m 的取值集合为{0,3,14,30}. 3 20 , ??) 上是单调递增函数,则使方程 f(x)=1000 有整数解的实数 a 的 3

(3)若函数 f(x)=x3-ax2(a>0)在区间 ( 个数是 解 .

令由 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3x( x ?

2a 2a 2a 得 x=0 或 x ? . 于是, f(x)的单调增区间为 (??,0) 和 ( , ??) . ) ?0 , 3 3 3

所以 0 ?

2a 20 2a ,即 0<a≤10.因 f(x)的极大值为 f(0)=0,故 f(x)=1000 的整数解只能在 ( , ??) 上取得. ? 3 3 3 1000 1000 2000 2a .令 g(x)= x ? 2 ,则 g ?( x) ? 1 ? 3 >0,故 g(x)在 ( , ??) 为增函数. 2 x x x 3

令 x3-ax2=1000,则 a= x ? 因 g(10)=0,g(15)= 10 ?

5 ? 10 ,故方程 f(x)=1000 的整数解集为{11,12,13,14}. 9

从而对应的实数 a 亦有 4 个不同的值.

? x, 0 ? x ? 1, ? 4. 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 R , f ( x) ? ? 1 x 且 对 于 任 意 的 x?R 都 有 ( ) ? 1, ? 1 ? x ? 0, ? ? 2
f ( x? 1 )? f ( x? ,若在区间 1) [?1,3] 上函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 恰有四个不同零点,则实数 m 的取值
范围为( D )

1 A. [0, ] 2

1 B. [0, ) 4

1 C. (0, ] 2
2 x

1 D. ( 0 , ] 4

5.已知 a>0 且 a ? 1,当 x ? (-1,1)时,不等式 x -a <

1 ?1 ? 恒成立,则 a 的取值范围 ? ,1?? ?1,2? 2 ?2 ?

1 x 2 1 可化为 a > x 2 2 1 x 2 1 画出 y1= a ,y2= x - 的图像。由图可看出 ? a<1 或 1<a ? 2 2 2
解析:不等式 x -a <
2 x

2

6.关于 x 的方程 x ? a x ? a ? 9 ? 0 ( a ? R )有唯一的实数根,
2 2

1

则a ?

3


2

7.若函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2(a ? 0) 没有零点, 则 a 的取值范围 。a>2 或 0<a<1

8.若方程 8 x ? x ? b 有两个不相等的实数根,求 b 的取值范围. 解析:因为 x ≥ 0 ,所以,方程 8 x ? x ? b 有两个 不相等的实数解,就是函数 y ? x ? 8 x ? b 在[0,+∞) 上有两个不同的零点,函数 y ? x ? 8 x ? b 可视为关于 x 的 一元二次函数,令

x ? t ,可得 y ? f (t ) ? t 2 ? 8t ? b ,作出它
? f (0) ≥ 0, ,解得 0 ≤ b ? 16 ,即 b 的取值范围是 [0, 16) . ? f (4) ? 0,

的图象,如图 3,通过观察图象应有 ?

类似题目(1)若关于 x 的方程 ex ? 3x ? kx 有四个实数根,则实数 k 的取值范围是_______. ? 0,3 ? e ?

(2)若关于 x 的方程 x4+ax3+ax2+ax+1=0 有实数根,则实数 a 的取值范围为
1 1 解法 1 因 x≠0,故将方程两边同除以 x3,并变形得 ( x ? )2 ? a( x ? ) ? a ? 2 =0. x x



3

令 g(t)= t 2 ? at ? a ? 2 ,t= x ?

1 ∈ (??, ?2] ? [2, ??) .原方程有实数根,等价于函数 g(t)有零点. x

因 g(-1)= -1,故函数 g(t)有零点,只须 g(-2)≤0 或 g(2)≤0.
2 2 解 g(-2)≤0,得 a≥2;解 g(2)≤0,得 a≤ ? .所以,实数 a 的取值范围为 (??, ? ] ? [2, ??) . 3 3

x4 ? 1 1 3 解法 2 易知 x=0 不是方程的根,故 x3+x2+x= x(( x ? )2 ? ) ≠0.所以,a= ? 3 2 4 x ? x2 ? x
1 1 2 ? ( x ? )2 2 x x = 1 ? t ? 2 ∈ (??, ? 2 ] ? [2, ??) ,其中 t= x ? 1 ? 1 ∈ (??, ?1] ? [3, ??) . =? = 1 1 t 3 x x ?1? x ? ?1 x x x2 ?
解法 3 接解法 2,a= ?
(1 ? x 2 )( x 4 ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 2 x ? 1) x4 ? 1 ? a ? ,于是 . ( x3 ? x 2 ? x)2 x3 ? x2 ? x

因 x4 ? 2 x3 ? 4 x2 ? 2 x ? 1 =x2(x+1)2+(x+1)2+2x2>0,故由 a ? ? 0 可解得 x=1 或-1.
2 2 当 x>0 时,a<0,且当 x=1 时,a 取极大值 ? ,故此时 a≤ ? ; 3 3 2 当 x<0 时, a>0, 且当 x= -1 时, a 取极小值 2, 故此时 a≥2. 综上, 实数 a 的取值范围为 (??, ? ] ? [2, ??) . 3

9. f ( x) ? x3 ? 2ex2 ? mx ? ln x , 记 g ( x) ?
1 ______. (??, e2 ? ] e

f ( x) , 若函数 g ( x) 至少存在一个零点 , 则实数 m 的取值范围是 x

类似题目(1)已知函数 f ( x) ? kx, g ( x) ? 数解,那么实数 k 的取值范围是

ln x 1 ,如果关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 [ , e ] 内有两个实 x e 1 1 . [ 2, ) e 2e

4

10.已知函数 f(x)=| |x﹣1|﹣1|,若关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有四个互不相等的实数根 x1,x2,x3,x4,则

x1x2x3x4 的取值范围是__________.(﹣3,0)

?1? 类似题目(1)已知函数 f ( x) ? lg x ? ? ? 有两个零点 x1、x2 ,则有( D ) ?2?
A. x1 x2 ? 0 B. x1 x2 ? 1 C. x1 x2 ? 1 D. 0 ? x1 x2 ? 1

x

5

(2)设函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? ax 2 ? bx(a, b ? R, a ? 0) ,若两函数图像仅有两个不同的公共点 x

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是( ) A.当a ? 0时,x1 +x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 C.当a ? 0时,x1 +x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 B.当a ? 0时,x1 +x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 D.当a ? 0时,x1 +x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

解析:令

,则

,设





,则

,要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点 只



,整理得

,于是可取

来研究,当

时,

,解得

,此时

,此时

;当 ,此时

时, .答案应选 B。

,解得

,此时

2 ? ?a -ab,a≤b, (3)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b=? 2 设 f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于 x 的方程 f(x) ?b -ab,a>b. ?

=m(m∈R) 恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是________.? 解析 f(x)=(2x-1)*(x-1)
2 ? ??2x-1? -?2x-1??x-1?,x≤0, =? 2 ??x-1? -?2x-1??x-1?,x>0, ?

? 1- 3 ? ? ? 16 ,0?

6

?2x2-x,x≤0, ? 即 f(x)=? 2 ?-x +x,x>0. ?

如图所示,关于 x 的方程 f(x)=m 恰有三个互不相等的实根 x1,x2,x3,即函数 f(x)的图象与直线 y=m 1 有三个不同的交点,则 0<m< .不妨设从左到右的交点的横坐标分别为 x1,x2,x3. 4 当 x>0 时,-x2+x=m,即 x2-x+m=0,∴x2+x3=1, ∴0<x2x3<? x2+x3?2 1 ? 2 ? ,即 0<x2x3<4;

1 ? ?2x2-x=4, 1- 3 当 x<0 时,由? 得 x= , 4 ?x<0, ? ∴ 1- 3 3-1 <x1<0,∴0<-x1< . 4 4 3-1 1- 3 ,∴ <x1x2x3<0. 16 16

∴0<-x1x2x3<

11.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ?

x2 x3 x4 x2011 x2 x3 x4 x2011 , g ( x) ? 1 ? x ? ? ? ? ??? ? , ? ? ? ??? ? 2 3 4 2011 2 3 4 2011

?1 ? x 2011 , x ? ?1, ? 0 1 0 ? x =2 ? 当 x≥0 时, f ?( x) ? 0 ;当-1<x<0 时, 1? x ? 2011, x ? ? 1. ?

设 F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 3) ,且函数 F(x)的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,则 b ? a 的最小值为 解
0 0 9 f ?( x)? 1? x ? 2x ? 3x ? 4x ? ? ? ? 2? x

f ?( x) ? 0 ;当 x<-1 时, f ?( x) ? 0 ,故函数 f(x)为 R 上的增函数,于是函数 f(x)在 R 上最多只有一个零点.

1 1 1 1 1 1 因 f(0)=1>0,f(-1)= (1 ? 1) ? (? ? ) ? (? ? ) ? ??? ? (? ? ) <0,故 f(0)f(-1)<0,因而 f(x)在 R 上唯 2 3 4 5 2010 2011

一零点在区间(-1,0)上,于是 f(x+3)的唯一零点在区间(-4,-3)上.同理可得,函数 g(x)为 R 上的减函数,
1 1 1 1 1 1 于是函数 f(x)在 R 上最多只有一个零点.又 g(1)= (1 ? 1) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) >0, 2 3 4 5 2010 2011

1 2 1 2 1 2 g(2)= (1 ? 2) ? 22 ( ? ) ? 24 ( ? ) ? ??? ? 22010 ( ? ) <0,于是 g(1)g(2)<0,因而 g(x)在 R 上唯一零点 2 3 4 5 2010 2011

在区间(1,2)上,于是 g(x-3)的唯一零点在区间(4,5)上. 所以,F(x)的两零点落在区间[-4,5]上,b-a 的最小值为 9. 12. 若函数 f(x)=|sinx|(x ≥ 0) 的图象与过原点的直线有且只有三个交点,交点中横坐标的最大值为 α ,则

(1 ? ? 2 ) sin 2 ?

?

=



y

A π α 图8

y=kx 2π

y=sinx
7

O

x



依题意,画出示意图如图 8 所示.于是, ? ? (

3? , 2?) , 2

且 A(α,-sinα)为直线 y=kx 与函数 y= -sinx( x ? ( 在 A 点处的切线斜率为 ? cos ? ? 13.已知函数 f ( x ) ?
? sin ?

3? ,2?) )图象的切点. 2

?

(1 ? ? 2 )sin 2? (1 ? tan 2 ? )sin 2? sin 2? , 故 α=tanα. 所以, = = =2 cos ? sin ? ? tan ?


| x | ?a ,则下列说法中正确的是 |x?a|

A.若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 恒成立 C.若 a ? 0 ,则关于 x 的方程 f ( x ) ? a 有解

B.若 f ( x ) ? 1 恒成立,则 a ? 0 D.若关于 x 的方程 f ( x ) ? a 有解,则 0 ? a ? 1

14.定义在 R 上的函数 f ( x ) ? e

x

? ? ? 上恒成立, 且 f ( x ? t )>f ( x ) 在 x ? ?? 1, 则关于 x 的 ? ln x 2 ? 1 ,
).[来源:Z+xx+k.Com] D.上述情况都有可能

方程 f (2 x ? 1) ? f (t ) ? e 的根的个数叙述正确的是( A.有两个 B.有一个

C.没有

?x 15.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e ( x ? 1), 给出以下命题: x ①当 x ? 0 时, f ( x) ? e ( x ? 1) ;

②函数 f ( x) 有五个零点;[来源:学科网]
8

③若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有解,则实数 m 的取值范围是 f (?2) ? m ? f (2) ; ④对 ?x1, x2 ? R , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 恒成立. 其中,正确命题 的序号是 【答案】①④. .

[来源 由图可知,若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有解,则 ?1 ? m ? 1 ,且对 ?x1, x2 ? R , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 恒成立.
16.设定义域为 R 的函数

x?0 ?| lg x |, f ( x) ? ? 2 , 若关于 x 的方程 2 f 2 ( x) ? 2bf ( x) ? 1 ? 0 有 8 个不同 ? ? x ? 2 x, x ? 0

的实数根,则实数 b 的取值范围是_______.
【答案】 ( ?

3 , ? 2) 2

x 类似题目:已知函数 f ( x ) ? xe ,方程 f 2 ( x) ? tf ( x) ? 1 ? 0(t ? R) 有四个实数根,则 t 的取值范围(B )

A. (

e2 ? 1 , ??) e

B. (??, ?

e2 ? 1 ) e

C. (?

e2 ? 1 , ?2) e

D. (2,

e2 ? 1 ) e

9

17.函数 f ( x) ? 2 sin ?x 与函数 g ( x) ? 3

x ? 1 的图像所有交点的橫坐标之和为



也有 8 个交点,而且关于点 (1, 0) 对称的两个交点横坐标之和为 2,16 个交点横坐标之和就是 16,所 有交点横坐标之和为 17.

10


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