当前位置:首页 >> 高三数学 >>

2013-2017高考分类汇编第9章直线与圆的方程全国通用


第九章 直线与圆的方程
第1节 直线的方程与两条直线的位置关系

1.(2017 浙江 11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值 计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世 界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S6 , S6 ? 1.解析 正六边形的面积为 6 个正三角形的面积和,所以 S6 =6创
题型 102 倾斜角与斜率的计算——暂无

.

1 3 3 . 1创 1 sin 60o = 2 2

1.(2013 江西理 9)过点 ( 2, 0) 引直线与曲线 y ? 1 ? x 2 相交于 A , B 两点, O 为坐标 原点,当 △ AOB 的面积取最大值时,直线的斜率等于( ). A.

3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D. ? 3
2 2

? 3? 射出,经 y 轴反射后与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 1 2. (2015 山东理 9)一条光线从点 ? ?2 ,
相切,则反射光线所在直线的斜率为( A. ? 或 ? ). C. ?

5 3

3 5

B. ?

3 2 或? 2 3

5 4 或? 4 5

D. ?

4 3 或? 3 4

2.解析 由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点 ? 2, ?3? . 设反射光线所在直线的斜率为 k ,则反射光线所在直线的方程为 y ? 3 ? k ? x ? 2? , 即 kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 .由题意,圆心 ? ?3, 2? 到此直线的距离等于圆的半径 1, 即

?3k ? 2 ? 2k ? 3 k 2 ?1

4 3 ? 1 ,所以 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 ,解得 k ? ? 或 k ? ? .故选 D. 3 4

题型 103 直线的方程——暂无
2 1.(2013 山东理 9)过点 ? 3,1? 作圆 ? x ? 1? ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B ,则 2

直线 AB 的方程为( A. 2 x ? y ? 3 ? 0

). B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0

2.(2013 江苏 17) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A(0,3) , 直线 l : y ? 2 x ? 4 .设圆 C 的半径为, 圆心在上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;
O x y A

l

1

(2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

3. (2015 广东理 5)平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x2 ? y 2 ? 5 相切的直线的方程是( A. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 B. 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0

).

3.解析 设所求切线方程为 2 x ? y ? c ? 0 ,依题意有

0?0?c 22 ? 12

? 5 ,解得 c ? ?5 ,

所以所求切线的方程为 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 .故选 A.
题型 104 两直线位置关系的判定——暂无

1. (2015 广东理 5)平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x2 ? y 2 ? 5 相切的直线的方程是( A. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 B. 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0

).

1.解析 设所求切线方程为 2 x ? y ? c ? 0 ,依题意有

0?0?c 22 ? 12

? 5 ,解得 c ? ?5 ,

所以所求切线的方程为 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 .故选 A.
题型 105 有关距离的计算

1. ( 2014 重庆理 13 )已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆心为 C 的圆 ? x ? 1? ? ? y ? a ? ? 4 相交于
2 2

A, B 两点,且 △ ABC 为等边三角形,则实数 a ? _________.
2.(2014 新课标 2 理 16)设点 M ? x0 ,1? ,若在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上存在点 N , 使得 ?OMN ? 45? ,则 x0 的取值范围是 .
P x O M A

3.(2014 新课标 1 理 6)如图,圆 O 的半径为, A 是圆上的定点, P 是圆上的 动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂 足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ? x ? , 则 y ? f ? x ? 在 ? 0, ?? 上的图像大致为( ).

2

y
1

y
1

y
1

y
1

O
A.

?

x O
B.

?

x O
C.

?

x O
D.

?

x

4.(2014 福建理 6)直线 l : y ? kx ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,则 " k ? 1" 是 “ △OAB 的面积为

1 ”的( 2

). B. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 ).

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

5. (2015 广东理 5)平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x2 ? y 2 ? 5 相切的直线的方程是( A. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 B. 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0

5.解析

设所求切线方程为 2 x ? y ? c ? 0 ,依题意有

0?0?c 22 ? 12

? 5 ,解得 c ? ?5 ,所以所

求切线的方程为 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 .故选 A. 6. (2015 江苏理 10)在平面直角坐标系 xOy 中,以点 ?1,0? 为圆心且与直线

mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 ? m ? R ? 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为
6.解析 解法一(几何意义) :动直线 mx ?



y ? 2m ? 1 ? 0 整理得 m ? x ? 2? ? ? y ? 1? ? 0 ,

则经过定点 M ? 2, ?1? ,故满足题意的圆与切于 M 时,半径最大, 从而 r ?

? 2 ?1? ? ? ?1 ? 0?
2

2

2 ? 2 ,故标准方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 . 2

解法二(代数法——基本不等式) :由题意 r ? d ?

?m ? 1 m2 ? 1

?

m 2 ? 2m ? 1 ? m2 ? 1

2 2 ? 1? ? 2 2m ? 1 ? ,当且仅当 m ? 1 时,取“ ? ”. 1 1? 2 1 m? 2 m m ?1 m m
2 故标准方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 . 2

解法三(代数法—— ? 判别式) :由题意 r ? d ?

?m ? 1

m 2 ? 2m ? 1 , ? m2 ? 1 m2 ? 1

3

m 2 ? 2m ? 1 2 设t ? ,则 ? t ? 1? m ? 2m ? t ? 1 ? 0 , 2 m ?1
因为 m ? R ,所以 ? ?

? ?2 ?

2

? 4 ? t ? 1? …0 ,解得 0剟t 2 ,即 d 的最大值为 2 .
2

7. (2015 湖北理 14)如图,圆 C 与轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A, B (B 在 A 的上方) ,且 AB ? 2 . (1)圆 C 的标准 方程为 .. ;

(2)过点 A 任作一条直线与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 M , N 两点,下列三个结论: ①
NA NB ? MA MB

; ②

NB NA

?

MA MB

?2;



NB NA

?

MA MB

?2 2.

其中正确结论的序号是

. (写出所有正确结论的序号)

2 2 7.解析(1)由条件可设圆 C 的标准 方程为 (x - 1) + (y - r ) ..

? r 2 (为半径),

因为 AB ? 2 ,所以 r ?

方程为 (x ?1)2 + (y ? 2)2 ? 2 . 12 ? 12 ? 2 ,故圆 C 的标准 ..

(2)在 (x ?1) 2 +(y ?

2) 2 ? 2 中令 x ? 0 得 A(0, 2 ?1), B(0, 2 ?1) ,

因为 N 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上,所以由三角函数的定义可设 N (cos ? ,sin ? ),

从而

NA NB

?

cos2 ? ? (sin ? ? 2 ? 1)2 cos2 ? ? (sin ? ? 2 ? 1)2

?

4 ? 2 2 ? 2( 2 ? 1)sin ? 2( 2 ? 1) ? ? 2 ?1. 4 ? 2 2 ? 2( 2 ? 1)sin ? 2( 2 ? 1)
MA MB 1 2 ?1

同理

MA MB

? 2 ? 1 ,故

NA NB

?

MA MB



NB NA

?

?

? ( 2 ? 1) ? 2 ,

NB NA

?

MA MB

?

1 2 ?1

? ( 2 ? 1) ? 2 2

8. (2015 全国 II 理 7)过三点 A ?1,3? , B ? 4, 2? , C ?1, ?7 ? 的圆交于 y 轴于 M , N 两点, 则 MN ? ( A.2 6 ) . B. C. 4 6 D. 10

8. 解析 由题意得 k AB ?

3? 2 1 2?7 ? ? , kCB ? ? ?3 ,所以 k AB kCB ? ?1 , 1? 4 3 4 ?1

所以 AB ? CB ,即 △ ABC 为直角三角形,则外接圆的圆心为 AC 的中点 (1, ?2) ,

4

半径为,所以外接圆方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 ,令 x ? 0 ,则有 y ? ?2 6 ? 2 , 所以 MN ? 4 6 ,故选 C.
2 2 9. (2015 广东理 20)已知过原点的动直线与圆 C1 : x ? y ? 6x ? 5 ? 0 相交于不同的两点

A,B .
(1) 求圆 C1 的圆心坐标; (2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3) 是否存在实数 k ,使得直线 l : y ? k ( x ? 4) 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取 值范围;若不存在,说明理由. 9. 解析 (1)由 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 ,所以圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ;
2

k AB ? ?1 , (2)设 M ? x, y ? .因为点 M 为弦 AB 中点,即 C1M ? AB ,所以 kC1M ?

y y 3? 9?5 ? ? ? ?1 ,所以线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? 即 x ? ? ? y2 ? ? ? x ? 3? ; ? x ?3 x 2? 4?3 ? ?
(3)由(2)知点 M 的轨迹是以 C ?

2

3 ?3 ? , 0 ? 为圆心, r ? 为半径的部分圆弧 EF (不包括 2 ?2 ?

两端点) ,且 E ? ? ,

?5 2 5 ? ?5 2 5? ,F? ? ? 3,? 3 ? ? .又直线 l : y ? k ? x ? 4? 过定点 D ? 4,0? , ? ? ? ?3 3 ?

?3 ? k ? ? 4? ? 0 当直线与圆 C 相切时,由 ? 2 ? k 2 ? 12

3 3 得k ? ? . ? 4 2

又k

DE

? ?k DF

? 2 5? 0??? ? ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? 3 ? 2 5 ? , ,所以当 k ? ?? , ? ? ? ? ? 时, ?? ? 4 4 7 7 ? ? 5 ? ? 7 4? 3

直线 l : y ? k ? x ? 4? 与曲线 C 只有一个交点. 10. (2015 四川理 10)设直线与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A, B 两点,与圆 C :

? x ? 5?

2

? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 相切于点 M ,且 M 为线段 AB 中点,若这样的直线恰有
). C.

4 条,则的取值范围是(
A. ?1,3? 10. 解析 B. ?1, 4 ?

? 2,3?

D.

? 2, 4 ?

设直线的方程为 x ? ty ? m ,代入抛物线方程得 y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 ,

5

则 ? ? 16t 2 ? 16m ? 0 .又中点 M

? 2t

2

? m, 2t ? ,则 kMC ? kl ? ?1 ,即 m ? 3 ? 2t 2 .

代入 ? ? 16t 2 ? 16m ,可得 3 ? t 2 ? 0 ,即 0 ? t 2 ? 3 . 又由圆心到直线的距离等于半径,可得 d ? r ? 由 0 ? t 2 ? 3 ,可得 r ? ? 2, 4 ? .故选 D. 11.(2015 重庆理 8)已知直线 l:x ? ay ?1 ? 0? a ? R ? 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的 对称轴.过点 A? ?4, a ? 作圆 C 的一条切线,切点为 B ,则 AB ? ( A. 2 11. 解析 B. 4 2
2

5?m 1? t
2

?

2 ? 2t 2 1? t
2

? 2 1? t 2 .

).

C.6
2

D. 2 10

易知圆的标准方程 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4 ,圆心 O 为 ? 2,1? .

又因为直线 l : x ? ay ? 1 ? 0 是圆的对称轴,则该直线一定经过圆心, 得知 a ? ?1 , A(?4, ?1) .又因为 AB 直线与圆相切,则 △OAB 为直角三角形,

OA ?

? 2 ? 4? ? ?1 ? 1?
2

2

2 2 ? 2 10 , OB ? 2 , AB ? OA ? OB ? 6 .

12. (2016 全国甲理 4) 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1, 则a ? ( A. ?
4 3

). B. ?
3 4

C. 3

D.2
2 2

12.A 解析

将圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 13 ? 0 化为标准方程为: ? x ? 1? ? ? y ? 4? ? 4 ,故圆心为

?1,4? ,所以 d ?

a ? 4 ?1
2

4 ? 1 ,解得 a ? ? .故选 A. 3 a ?1


13.(2016 上海理 3) l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 , l2 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则,的距离为 13.

1?1 2 5 2 5 2 5 ? 解析 由题意 d ? .故填 . 2 2 5 2 ?1 5 5

14.(2016 全国丙理 16)已知直线 l : mx ? y ? 3m ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 12 交于 A , B 两点, 过 A , B 分别做的垂线与轴交于 C ,D 两点,若 14.4 解析 又

AB ? 2 3 ,则 CD ? __________________.

解法一: 根据直线与圆相交弦长公式有 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 3 , 得

r2 ? d 2 ? 3 ,

r 2 ? 12 ,得 d ? 3 .因此圆心 O ? 0,0? 到直线: mx ? y ? 3m ? 3 ? 0 的距离
3m ? 3 m2 ? 1 ? 3 ,解得 m ? ?

d?

3 . 3
6

因此直线的方程为 y ?

3 x ? 2 3 .所以直线的倾斜角为 30? .如图所示,过点 C 作 CE ? BD 3
? AB cos 30
?

于点 E ,则

CD ?

CE cos 30
?

?

2 3 ?4 . 3 2
y B A C O E D x

解法二:直线: mx ? y ? 3m ?
△OAB 为等边三角形,因为 A

3 ? 0 ,知直线过定点 A ? 3,
?

3 ,又 AB ? 2 3 ? r ,所以
?

?

所以 ?AOC ? 30 , 又知 ?AOB ? 60 ,所以点 B 在 y 轴 ? 3, 3 ? ,

上(直线的斜率存在).所以得直线的倾斜角为 30 ,则

?

CD ?

CE cos 30
?

?

AB cos 30
?

?

2 3 ?4 . 3 2

第2节
题型 106 求圆的方程——暂无

圆的方程

1.(2014 陕西理 12)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点 ?1,0 ? 关于直线 y ? x 对称,则圆 C 的 标准方程为_______. 2. (2015 江苏理 10)在平面直角坐标系 xOy 中,以点 ?1,0? 为圆心且与直线

mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 ? m ? R ? 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为
2.解析 解法一(几何意义) :动直线 mx ?



y ? 2m ? 1 ? 0 整理得 m ? x ? 2? ? ? y ? 1? ? 0 ,

则经过定点 M ? 2, ?1? ,故满足题意的圆与切于 M 时,半径最大, 从而 r ?

? 2 ?1? ? ? ?1 ? 0?
2

2

2 ? 2 ,故标准方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 . 2

解法二(代数法——基本不等式) :由题意 r ? d ?

?m ? 1 m2 ? 1

?

m 2 ? 2m ? 1 ? m2 ? 1

2 2 ? 1? ? 2 2m ? 1 ? ,当且仅当 m ? 1 时,取“ ? ”. 1 1? 2 1 m? 2 m m ?1 m m
2 故标准方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 . 2

7

解法三(代数法—— ? 判别式) :由题意 r ? d ?

?m ? 1 m2 ? 1

?

m 2 ? 2m ? 1 , m2 ? 1

设t

m 2 ? 2m ? 1 2 ,则 ? t ? 1? m ? 2m ? t ? 1 ? 0 ,因为 m ? R , ? 2 m ?1

所以 ? ?

? ?2 ?

2

? 4 ? t ? 1? …0 ,解得 0剟t 2 ,即 d 的最大值为 2 .
2

3. (2015 湖北理 14)如图,圆 C 与轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A, B (B 在 A 的上方) ,且 AB ? 2 . (1)圆 C 的标准 方程为 .. ;

(2)过点 A 任作一条直线与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 M , N 两点,下列三个结论: ①
NA NB ? MA MB

; ②

NB NA

?

MA MB

?2;



NB NA

?

MA MB

?2 2.

其中正确结论的序号是

. (写出所有正确结论的序号)

2 2 3.解析(1)由条件可设圆 C 的标准 方程为 (x - 1) + (y - r ) ..

? r 2 (为半径),

因为 AB ? 2 ,所以 r ?

方程为 (x ?1)2 + (y ? 2)2 ? 2 . 12 ? 12 ? 2 ,故圆 C 的标准 ..

(2)在 (x ?1) 2 +(y ?

2) 2 ? 2 中令 x ? 0 得 A(0, 2 ?1), B(0, 2 ?1) ,

因为 N 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上,所以由三角函数的定义可设 N (cos ? ,sin ? ),

从而

NA NB

?

cos2 ? ? (sin ? ? 2 ? 1)2 cos ? ? (sin ? ? 2 ? 1)
2 2

?

4 ? 2 2 ? 2( 2 ? 1)sin ? 2( 2 ? 1) ? ? 2 ?1. 4 ? 2 2 ? 2( 2 ? 1)sin ? 2( 2 ? 1)
MA MB 1 2 ?1

同理

MA MB

? 2 ? 1 ,故

NA NB

?

MA MB



NB NA

?

?

? ( 2 ? 1) ? 2 ,

NB NA

?

MA MB

?

1 2 ?1

? ( 2 ? 1) ? 2 2

4. (2015 全国 II 理 7)过三点 A ?1,3? , B ? 4, 2? , C ?1, ?7 ? 的圆交于 y 轴于 M , N 两点, 则 MN ? ( A.2 6 ) . B. C. 4 6 D. 10

4. 解析 由题意得 k AB ?

3? 2 1 2?7 ? ? , kCB ? ? ?3 ,所以 k AB kCB ? ?1 , 1? 4 3 4 ?1
8

所以 AB ? CB ,即 △ ABC 为直角三角形,则外接圆的圆心为 AC 的中点 (1, ?2) , 半径为,所以外接圆方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 ,令 x ? 0 ,则有 y ? ?2 6 ? 2 , 所以 MN ? 4 6 ,故选 C.
题型 107 与圆有关的轨迹问题——暂无
2 2 1. (2015 广东理 20)已知过原点的动直线与圆 C1 : x ? y ? 6x ? 5 ? 0 相交于不同的两点

A,B .
(1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 l : y ? k ( x ? 4) 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值 范围;若不存在,说明理由. 1. 解析 (1)由 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 ,所以圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ;
2

k AB ? ?1 , (2)设 M ? x, y ? .因为点 M 为弦 AB 中点,即 C1M ? AB ,所以 kC1M ?


y y 3? 9?5 ? ? ? ?1 ,所以线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ? ? ? y2 ? ? ? x ? 3? ; ? x ?3 x 2? 4?3 ? ?
3 ?3 ? , 0 ? 为圆心, r ? 为半径的部分圆弧 EF (不包括 2 ?2 ?

2

(3)由(2)知点 M 的轨迹是以 C ?

两端点) ,且 E ? ? ,

?5 2 5 ? ?5 2 5? F , ? ? ? 3,? 3 ? ? .又直线 l : y ? k ? x ? 4? 过定点 D ? 4,0? , ? ? ? ?3 3 ?

?3 ? k ? ? 4? ? 0 当直线与圆 C 相切时,由 ? 2 ? k 2 ? 12

3 3 得k ? ? . ? 4 2

又k

DE

? ?k DF

? 2 5? 0??? ? ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? 3 ? 2 5 ? , ,所以当 k ? ?? , ? ? ? ? ? 时, ?? ? 4 4 7 7 ? ? ? 5 ? 7 4? 3

直线 l : y ? k ? x ? 4? 与曲线 C 只有一个交点.

题型 115 与圆有关的最值或取值范围问题
1. (2015 四川理 10)设直线与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A, B 两点,与圆 C :

? x ? 5?

2

? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 相切于点 M ,且 M 为线段 AB 中点,若这样的直线恰有
9

4 条,则的取值范围是(
A. ?1,3? B. ?1, 4 ?

). C.

? 2,3?

D.

? 2, 4 ?

1. 解析 设直线的方程为 x ? ty ? m ,代入抛物线方程得 y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 , 则 ? ? 16t 2 ? 16m ? 0 .又中点 M

? 2t

2

? m, 2t ? ,则 kMC ? kl ? ?1 ,即 m ? 3 ? 2t 2 .

代入 ? ? 16t 2 ? 16m ,可得 3 ? t 2 ? 0 ,即 0 ? t 2 ? 3 . 又由圆心到直线的距离等于半径,可得 d ? r ? 由 0 ? t 2 ? 3 ,可得 r ? ? 2, 4 ? .故选 D.

5?m 1? t
2

?

2 ? 2t 2 1? t
2

? 2 1? t 2 .

第3节
题型 108 直线与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.(2014 湖北理 12)直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 C : x2 ? y 2 ? 1 分成长度相等 的四段弧,则 a 2 ? b 2 ? ________. 2.(2014 江西理 9)在平面直角坐标系中, A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径 的圆 C 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为( A. ).

4 ? 5

B.

3 ? 4

C. 6 ? 2 5 ?

?

?

D.

5 ? 4

3.(2014 福建理 6)直线 l : y ? kx ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,则 " k ? 1" 是 “ △OAB 的面积为

1 ”的( 2

). B. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

4.(2014 大纲理 15)直线和 l2 是圆 x2 ? y 2 ? 2 的两条切线,若与 l2 的交点为 ?1,3? ,则与 l2 的 夹角的正切值等于 .
2 2

? 3? 射出,经 y 轴反射后与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 1 5. (2015 山东理 9)一条光线从点 ? ?2 ,
相切,则反射光线所在直线的斜率为( A. ? 或 ? ). C. ?

5 3

3 5

B. ?

3 2 或? 2 3

5 4 或? 4 5

D. ?

4 3 或? 3 4

5.解析 由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点 ? 2, ?3? . 设反射光线所在直线的斜率为 k ,则反射光线所在直线的方程为 y ? 3 ? k ? x ? 2? ,

10

即 kx ? y ? 2k ? 3 ? 0 .由题意,圆心 ? ?3, 2? 到此直线的距离等于圆的半径 1, 即

?3k ? 2 ? 2k ? 3 k 2 ?1

4 3 ? 1 ,所以 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 ,解得 k ? ? 或 k ? ? .故选 D. 3 4
).

6. (2015 广东理 5)平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x2 ? y 2 ? 5 相切的直线的方程是( A. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0 B. 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 或 2 x ? y ? 5 ? 0

6.解析 设所求切线方程为 2 x ? y ? c ? 0 ,依题意有

0?0?c 22 ? 12

? 5 ,解得 c ? ?5 ,

所以所求切线的方程为 2x ? y ? 5 ? 0 或 2x ? y ? 5 ? 0 .故选 A. 7. (2015 江苏理 10)在平面直角坐标系 xOy 中,以点 ?1,0? 为圆心且与直线

mx ? y ? 2m ? 1 ? 0 ? m ? R ? 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为
7.解析 解法一(几何意义) :动直线 mx ?



y ? 2m ? 1 ? 0 整理得 m ? x ? 2? ? ? y ? 1? ? 0 ,

则经过定点 M ? 2, ?1? ,故满足题意的圆与切于 M 时,半径最大, 从而 r ?

? 2 ?1? ? ? ?1 ? 0?
2

2

2 ? 2 ,故标准方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 . 2

解法二(代数法——基本不等式) :由题意 r ? d ?

?m ? 1 m2 ? 1

?

m 2 ? 2m ? 1 ? m2 ? 1

2 2 ? 1? ? 2 2m ? 1 ? ,当且仅当 m ? 1 时,取“ ? ”. 1 1? 2 1 m? 2 m m ?1 m m
2 故标准方程为 ? x ? 1? ? y ? 2 . 2

解法三(代数法—— ? 判别式) :由题意 r ? d ?

?m ? 1 m2 ? 1

?

m 2 ? 2m ? 1 , m2 ? 1

设t

?

m 2 ? 2m ? 1 2 ,则 ? t ? 1? m ? 2m ? t ? 1 ? 0 ,因为 m ? R , 2 m ?1

所以 ? ?

? ?2 ?

2

? 4 ? t ? 1? …0 ,解得 0剟t 2 ,即 d 的最大值为 2 .
2

8. (2015 湖北理 14)如图,圆 C 与轴相切于点 T (1, 0) ,与 y 轴正半轴交于两点 A, B (B 在 A 的上方) ,且 AB ? 2 . (1)圆 C 的标准 方程为 .. ;

(2)过点 A 任作一条直线与圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 M , N 两点,下列三个结论: 11



NA NB

?

MA MB

; ②

NB NA

?

MA MB

?2;



NB NA

?

MA MB

?2 2.

其中正确结论的序号是

. (写出所有正确结论的序号)

2 2 8.解析(1)由条件可设圆 C 的标准 方程为 (x - 1) + (y - r ) ..

? r 2 (为半径),

因为 AB ? 2 ,所以 r ?

方程为 (x ?1)2 + (y ? 2)2 ? 2 . 12 ? 12 ? 2 ,故圆 C 的标准 ..

(2)在 (x ?1) 2 +(y ?

2) 2 ? 2 中令 x ? 0 得 A(0, 2 ?1), B(0, 2 ?1) ,

因为 N 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上,所以由三角函数的定义可设 N (cos ? ,sin ? ),

从而

NA NB

?

cos2 ? ? (sin ? ? 2 ? 1)2 cos2 ? ? (sin ? ? 2 ? 1)2

?

4 ? 2 2 ? 2( 2 ? 1)sin ? 2( 2 ? 1) ? ? 2 ?1. 4 ? 2 2 ? 2( 2 ? 1)sin ? 2( 2 ? 1)
MA MB 1 2 ?1

同理

MA MB

? 2 ? 1 ,故

NA NB

?

MA MB



NB NA

?

?

? ( 2 ? 1) ? 2 ,

NB NA

?

MA MB

?

1 2 ?1

? ( 2 ? 1) ? 2 2

9. (2015 全国 II 理 7)过三点 A ?1,3? , B ? 4, 2? , C ?1, ?7 ? 的圆交于 y 轴于 M , N 两点, 则 MN ? ( A.2 6 ) . B. C. 4 6 D. 10

9. 解析 由题意得 k AB ?

3? 2 1 2?7 ? ? , kCB ? ? ?3 ,所以 k AB kCB ? ?1 , 1? 4 3 4 ?1

所以 AB ? CB ,即 △ ABC 为直角三角形,则外接圆的圆心为 AC 的中点 (1, ?2) , 半径为,所以外接圆方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 ,令 x ? 0 ,则有 y ? ?2 6 ? 2 , 所以 MN ? 4 6 ,故选 C.
2 2 10. (2015 广东理 20)已知过原点的动直线与圆 C1 : x ? y ? 6x ? 5 ? 0 相交于不同的两点 A ,

B.
(1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3)是否存在实数 k ,使得直线 l : y ? k ( x ? 4) 与曲线 C 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值 12

范围;若不存在,说明理由. 10. 解析
2 (1)由 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y ? 4 ,所以圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ; 2

k AB ? ?1 , (2)设 M ? x, y ? .因为点 M 为弦 AB 中点,即 C1M ? AB ,所以 kC1M ?


y y 3? 9?5 ? 2 ? ? ?1 ,所以线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? ? x ? ? ? y ? ? ? x ? 3? ; x ?3 x 2? 4?3 ? ?
3 ?3 ? , 0 ? 为圆心, r ? 为半径的部分圆弧 EF (不包括 2 ?2 ?

2

(3)由(2)知点 M 的轨迹是以 C ?

两端点) ,且 E ? ? ,

?5 2 5 ? ?5 2 5? F , ? ? ? 3,? 3 ? ? .又直线 l : y ? k ? x ? 4? 过定点 D ? 4,0? , ? 3 3 ? ? ? ?

?3 ? k ? ? 4? ? 0 当直线与圆 C 相切时,由 ? 2 ? k 2 ? 12

3 3 得k ? ? . ? 4 2

又k

DE

? ?k DF

? 2 5? 0??? ? ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? 3 ? 2 5 ? k ? , ,所以当 ?? , ? ? ? ? ? 时, ?? ? 7 ? ? 4 4? ? 7 5 7 4? 3

直线 l : y ? k ? x ? 4? 与曲线 C 只有一个交点. 11. (2015 四川理 10)设直线与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于 A, B 两点,与圆 C :

? x ? 5?

2

? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 相切于点 M ,且 M 为线段 AB 中点,若这样的直线恰有
). C.

4 条,则的取值范围是(
A. ?1,3? 11. 解析 B. ?1, 4 ?

? 2,3?

D.

? 2, 4 ?

设直线的方程为 x ? ty ? m ,代入抛物线方程得 y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 ,

则 ? ? 16t 2 ? 16m ? 0 .又中点 M

? 2t

2

? m, 2t ? ,则 kMC ? kl ? ?1 ,即 m ? 3 ? 2t 2 .

代入 ? ? 16t 2 ? 16m ,可得 3 ? t 2 ? 0 ,即 0 ? t 2 ? 3 . 又由圆心到直线的距离等于半径,可得 d ? r ? 由 0 ? t 2 ? 3 ,可得 r ? ? 2, 4 ? .故选 D. 12.(2015 重庆理 8)已知直线 l:x ? ay ?1 ? 0? a ? R ? 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的 对称轴.过点 A? ?4, a ? 作圆 C 的一条切线,切点为 B ,则 AB ? ( ).

5?m 1? t
2

?

2 ? 2t 2 1? t
2

? 2 1? t 2 .

13

A. 2 12. 解析

B. 4 2
2

C.6
2

D. 2 10

易知圆的标准方程 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4 ,圆心 O 为 ? 2,1? .

又因为直线 l : x ? ay ? 1 ? 0 是圆的对称轴,则该直线一定经过圆心, 得知 a ? ?1 , A(?4, ?1) .又因为 AB 直线与圆相切,则 △OAB 为直角三角形,

OA ?

? 2 ? 4? ? ?1 ? 1?
2

2

2 2 ? 2 10 , OB ? 2 , AB ? OA ? OB ? 6 .

13.(2016 全国甲理 4)圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1,则

a ?(
A. ?
4 3

). B. ?
3 4

C. 3

D.2
2 2

13.A 解析

将圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 13 ? 0 化为标准方程为: ? x ? 1? ? ? y ? 4? ? 4 ,故圆心为

?1,4? ,所以 d ?

a ? 4 ?1
2

4 ? 1 ,解得 a ? ? .故选 A. 3 a ?1

题型 109 直线与圆的相交关系及其应用

1.(2013 江西理 9)过点 ( 2,0) 引直线与曲线 y ? 1 ? x 2 相交于 A , B 两点, O 为坐标原点, 当 △ AOB 的面积取最大值时,直线的斜率等于( ). A.

3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3
2

D. ? 3
2

2. ( 2014 重庆理 13 )已知直线 ax ? y ? 2 ? 0 与圆心为 C 的圆 ? x ? 1? ? ? y ? a ? ? 4 相交于

A, B 两点,且 △ ABC 为等边三角形,则实数 a ? _________.
3.(2014 江苏理 9)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆

? x ? 2?

2

? ? y ? 1? ? 4 截得的弦长为
2



4. (2016 北京理 11) 在极坐标系中, 直线 ? cos? ? 3? sin ? ?1 ? 0 与 圆 ? ? 2cos ? 交于 A, B 两点, 则 AB ? _______. 4. 2 解析 解法一:在平面直角坐标系中,题中的直线圆的方程分别是 x ? 3 y ?1 ? 0 ,

? ?x ?1 ? 3 y 的解, x2 ? y 2 ? 2 x .可得 A, B 两点的坐标 ( x, y ) ,即为方程组 ? 2 2 ? ?( x ? 1) ? y ? 1
用代入法可求得 A, B 两点的坐标分别为 ? ?1 ?

? ?

3 1? ? 3 1? , ? , 1 ? ,? ? ,所以由两点的距离公式 ? ? 2 2? 2 2? ? ? ?

可求得 AB ? 2 .

14

解法二:直线的直角坐标方程为 x ? 3 y ?1 ? 0 ,圆的直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 . 圆心 ?1,0 ? 在直线上,因此 AB 为圆的直径,所以 AB ? 2 . 5.(2016 全国丙理 14)在 [- 1,1] 上随机地取一个数,则事件”直线 y ? kx 与圆

( x ? 5)2 ? y 2 ? 9 相交”发生的概率为
5.

.

3 解析 首先 k 的取值空间的长度为 2,由直线 y = kx 与圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 9 相交,所以 4
3 3 3 ? 3 3? ? 3 ,解得 ? 剟 k ,所以得事件发生时 k 的取值空间为 ? ? , ? ,其长度为 , 2 2 4 4 ? 4 4? k ?1

5k

3 3. 利用几何概型可知,所求概率为 2 = 2 4
6.(2016 全国丙理 16)已知直线 l : mx ? y ? 3m ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 12 交于 A , B 两点, 过 A , B 分别做的垂线与轴交于 C , D 两点,若 6.4 解析 又

AB ? 2 3 ,则 CD ? __________.

解法一:根据直线与圆相交弦长公式有 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 3, 得

r2 ? d 2 ? 3 ,

r 2 ? 12 ,得 d ? 3 .因此圆心 O ? 0,0? 到直线: mx ? y ? 3m ? 3 ? 0 的距离
3m ? 3 m2 ? 1 ? 3 ,解得 m ? ?

d?

3 . 3
y B A C O E D x

3 因此直线的方程为 y ? x ? 2 3 .所以直线的倾斜角为 30? .如 3
图所示,过点 C 作 CE ? BD 于点 E ,



CD ?

CE cos 30
?

?

AB cos 30
?

?

2 3 ?4 . 3 2

解法二:直线: mx ? y ? 3m ?
△OAB 为等边三角形,因为 A

3 ? 0 ,知直线过定点 A ? 3,
?

3 ,又 AB ? 2 3 ? r ,所以
?

?

? 3, 3 ? ,所以 ?AOC ? 30 ,又知 ?AOB ? 60 ,所以点 B 在 y 轴
CD ? CE cos 30
?

上(直线的斜率存在).所以得直线的倾斜角为 30? ,则

?

AB cos 30
?

?

2 3 ?4 . 3 2

题型 110

直线与圆相切、相离关系及其应用——暂无
2

1.

2 (2013 山东理 9)过点 ? 3,1? 作圆 ? x ? 1? ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 A , B ,则

15

直线 AB 的方程为( A. 2 x ? y ? 3 ? 0

). B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0

2.(2013 江苏 17)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 .设圆 C 的 半径为,圆心在上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
O y A

l

x

3.(2014 江西理 9)在平面直角坐标系中, A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径 的圆 C 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为( A. ).

4 ? 5

B.

3 ? 4

C. 6 ? 2 5 ?

?

?

D.

5 ? 4

4.(2014 大纲理 15)直线和 l2 是圆 x2 ? y 2 ? 2 的两条切线,若与 l2 的交点为 ?1,3? ,则与 l2 的 夹角的正切值等于
题型 111 直线与圆的综合

.

1.(2014 新课标 2 理 16)设点 M ? x0 ,1? ,若在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上存在点 N ,使得

?OMN ? 45? ,则 x0 的取值范围是

.

2.(2014 湖北理 12)直线 l1 : y ? x ? a 和 l2 : y ? x ? b 将单位圆 C : x2 ? y 2 ? 1 分成长度相 等的四段弧,则 a 2 ? b 2 ? ________.
3. (2016 江苏 18)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 M 为圆心的圆

M : x2 ? y 2 ? 12 x ? 14 y ? 60 ? 0 及其上一点 A? 2,4? .
? 6 上,求圆 N 的标准方程; (2)设平行于 OA 的直线与圆 M 相交于 B, C 两点,且 BC ? OA ,求直线的方程; ??? ??? ??? ? (3)设点 T ? t ,0? 满足:存在圆 M 上的两点 P 和 Q ,使得 TA ? TP ? TQ ,求实数的取值范围.
(1)设圆 N 与轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x
y

M A

O

x

16

3.解析 (1)因为 N 在直线 x ? 6 上,设 N ? 6, n ? ,因为与 x 轴相切,则圆 N 为

? x ? 6? ? ? y ? n ?
2

2

? n 2 , n ? 0 .又圆 N 与圆 M 外切,圆 M : ? x ? 6 ? ? ? y ? 7 ? ? 25 ,则
2 2

7 ? n ? n ? 5 ,解得 n ? 1 ,
即圆 N 的标准方程为 ? x ? 6 ?
2

? ? y ? 1? ? 1 .
2

(2)由题意得 OA ? 2 5 ,kOA ? 2 ,设 l :

y ? 2 x ? b ,则圆心 M 到直线的距离 d ?

5?b 5



则 BC

?2 5 ?d ?2
2 2

?5 ? b? 25 ?
5

2

? 2 5 ,解得 b ? 5 或 b ? ?15 ,即 l : y ? 2 x ? 5 或

y ? 2 x ? 15 .
(3)解法一:不妨设 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,又因为 A? 2,4? , T ? t,0? , 由 TA ? TP ? TQ ,所以 ?

??? ???

??? ?

? x2 ? x1 ? 2 ? t ,因为点 Q 在圆 M 上,因此满足 ? y2 ? y1 ? 4

? x2 ? 6? ? ? y2 ? 7 ?
2

2

? 25 ,
2

故有 ? x1 ? t ? 4 ?

2

? ? y1 ? 3? ? 25 ,又点 P 在圆 M 上,
2

故点 P 既在圆 ? x ? t ? 4 ?

? ? y ? 3? ? 25 上,也在圆 ? x ? 6 ? ? ? y ? 7 ? ? 25 上,
2 2 2
2

所以只需两圆有公共点即可,所以 5 ? 5剟 ? t ? 2 ? ? 42 5 ? 5 ,

? 解得 2 ? 2 21剟 t 2 ? 2 21 .所以实数的取值范围为 ? ? 2 ? 2 21, 2 ? 2 21 ? .
评注 对于第(3)问,尝试将向量进行组合运算可以得到. 解法二: TA ? TP ? TQ ,即 TA ? TQ ? TP ? PQ .则有必要条件 TA ? PQ . 因为 TA

??? ???

??? ?

?? ?

??? ? ???

??? ?

???

??? ?

???

?

? t ? 2 ? ? 42
2

,又 PQ ? 10 ,即

??? ?

? t ? 2?

2

? 42 ? 10 ,解得

? t?? ? 2 ? 2 21, 2 ? 2 21 ? .
下论证充分性,即存在两点可使 TA ? PQ .

?? ?

??? ?

? 对于任意 t ? ? ? 2 ? 2 21, 2 ? 2 21 ? ,欲使 TA ? PQ ,此时 TA ? 10 ,

?? ?

??? ?

???

17

??? 2 TA 只需要作直线 TA 的平行线,使圆心到直线的距离为 25 ? ,必然与圆交于 P, Q 两点, 4 ??? ??? ? ?? ? ??? ? ? 此时 TA ? PQ ,且有 TA ? PQ ,因此对于任意 t ? ? ? 2 ? 2 21, 2 ? 2 21 ? ,均满足题意,综

? 上实数的取值范围为 ? ? 2 ? 2 21, 2 ? 2 21 ? .

B ?0,6? , 4. (2017 江苏 13) 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A? ?12,0? , 点 P 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 50
上.若 PA ? PB? 20 ,则点 P 的横坐标的取值范围是

??? ? ??? ?



2 2 ? 4.解析 不妨设 P ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? y0 ? 50 ,且易知 x0 ? ? ? ?5 2,5 2 ? .

因为 PA ? PB ? AP ? BP ? ? x0 ? 12, y0 ? ? ? x0 , y0 ? 6? ?
2 2 x0 ? 12x0 ? y0 ? 6 y0 ? 50 ? 12 x0 ? 6 y0? 20 ,故 2 x0 ? y0 ? 5? 0 .

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

所以点 P ? x0 , y0 ? 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 50 上,且在直线 2 x ? y ? 5 ? 0 的左上方(含直线).联立

? x 2 ? y 2 ? 50 ? ,得 x1 ? ?5 , x2 ? 1 ,如图所示,结合图形知 x0 ? ? ? ? ?5 2,1? . 2 x ? y ? 5 ? 0 ?

? 故填 ? ? ?5 2,1? .
y

B(1,7)

O A(-5,-5)

5 2 x

2x-y+5=0

评注 也可以理解为点 P 在圆 x0 ? y0 ? 12 x0 ? 6 y0 ? 20 的内部来解决, 与解析中的方法一致.
2 2

0 ? 的直线交 C 与 A , B 两点, 5.(2107 全国 3 卷理科 20)已知抛物线 C:y 2 ? 2x ,过点 ? 2,
圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. (1)求证:坐标原点 O 在圆 M 上;

? 2? ,求直线与圆 M 的方程. (2)设圆 M 过点 P ? 4,
5.解析 (1)显然当直线斜率为时,直线与抛物线交于一点,不符合题意.
? y2 ? 2x 设 l : x ? my ? 2 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,联立 ? ,得 y 2 ? 2my ? 4 ? 0 , ? x ? my ? 2

? ? 4m2 ? 16 恒大于, y1 ? y2 ? 2m , y1 y2 ? ?4 .

18

uur uu u r 2 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 2)(my2 ? 2) ? y1 y2 ? (m ? 1) y1 y2 ? 2m( y1 ? y2 ) ? 4 ? uur uuu r ?4(m2 ? 1) ? 2m ? 2m ? 4 ? 0 ,所以 OA ? OB ,即点 O 在圆 M 上. uu u r uur (2)若圆 M 过点 P ,则 AP ? BP ? 0 ,即 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0 ,
即 (my1 ? 2)(my2 ? 2) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0 ,即 (m2 ? 1) y1 y2 ? (2m ? 2)( y1 ? y2 ) ? 8 ? 0 ,
1 化简得 2m2 ? m ? 1 ? 0 ,解得 m ? ? 或. 2 1 ①当 m ? ? 时, l : 2 x ? y ? 4 ? 0 ,设圆心为 Q( x0 , y0 ) , 2

则 y0 ?

y1 ? y2 1 1 9 9? ? 1? 85 ? ? , x0 ? ? y0 ? 2 ? ,半径 r ?| OQ |? ? , ? ? ? ?? ? = 2 2 2 4 16 ? 4? ? 2?
2 2

2

2

9? ? 1 ? 85 ? 则圆 M : ? x ? ? ? ? y ? ? ? . 4? ? 2 ? 16 ?

②当 m ? 1 时, l : x ? y ? 2 ? 0 ,设圆心为 Q( x0 , y0 ) ,
y0 ? y1 ? y2 ? 1 , x0 ? y0 ? 2 ? 3 ,半径 r ? OQ ? 32 ? 12 = 10 ,则圆 M : ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 10 . 2

题型 112

圆与圆的位置关系及其应用——暂无
2 2 2 2

1. (2013 重庆理 7)已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 ,圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 ,

M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为
( A. ).

5 2 ?4

B.

17 ?1

C.

6?2 2

D.

17

19


相关文章:
2013-2017高考分类汇编第9章直线与圆的方程全国通用.doc
2013-2017高考分类汇编第9章直线与圆的方程全国通用 - 第九章 直线与圆
2018高考数学(理)复习 2013-2017高考分类汇编 第9章 直....doc
2018高考数学(理)复习 2013-2017高考分类汇编 第9章 直线与圆的方程 全国通用 Word版含解析 - 第九章 直线与圆的方程 第1节 直线的方程与两条直线的位置关系...
2018高考数学(文)复习:2013-2017高考分类汇编 第九章 ....doc
2018高考数学(文)复习:2013-2017高考分类汇编 第九章 直线与圆的方程 全国通用 Word版含解析 - 第九章 直线与圆的方程 第一节 题型 100 倾斜角与斜率的计算 ...
...2017高考汇编 第9章 直线与圆的方程 全国通用 Word....doc
数学高考卷 2013-2017高考汇编 第9章 直线与圆的方程 全国通用 Wor
2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第9章 直线与圆的方程.doc
2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第9章 直线与圆的方程_高考_高中教
2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第9章 直线与圆的方程.doc
2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第9章 直线与圆的方程_高考_高中教
【审核版】2013-2017年高考数学(理)分类汇编:第9章-直....doc
【审核版】2013-2017高考数学(理)分类汇编:第9章-直线与圆的方程(含答案解析) - 第九章 直线与圆的方程 第1节 直线的方程与两条直线的位置关系 1.(2017...
2013-2017年高考数学(理)分类汇编:第9章-直线与圆的方程.doc
2013-2017高考数学(理)分类汇编:第9章-直线与圆的方程_高考_高中教育_教育专区。第九章 直线与圆的方程 第1节 直线的方程与两条直线的位置关系 1.(2017 ...
2013-2017年高考数学(理)分类汇编:第9章-直线与圆的方....doc
2013-2017年高考数学(理)分类汇编:第9章-直线与圆的方程(含答案解析)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。5年高考分类汇编,全部题型分类,含有详细解答,可供18级...
2018高考数学(理)复习-2013-2017高考分类汇编-第9章 直....doc
2018高考数学(理)复习-2013-2017高考分类汇编-第9章 直线与圆的方程 - 第九章 直线与圆的方程 第1节 直线的方程与两条直线的位置关系 1.(2017 浙江 11)我...
2018高考数学(理)复习-2013-2017高考分类汇编-第9章 直....doc
2018高考数学(理)复习-2013-2017高考分类汇编-第9章 直线与圆的方程 - 第九章 直线与圆的方程 第1节 直线的方程与两条直线的位置关系 1.(2017 浙江 11)我...
2018高考数学(文)复习-2013-2017高考分类汇编-第9章 直....doc
2018高考数学(文)复习-2013-2017高考分类汇编-第9章 直线与圆的方程_高考_高中教育_教育专区。高考数学,高考物理,高考英语,高考模拟题,专题复习,各地会考试题,...
2013-2017高考数学真题分类 第9章 直线与圆的方程.doc
2013-2017高考数学真题分类 第9章 直线与圆的方程_高考_高中教育_教育专区。非常实用的高考数学真题汇编 第九章直线与圆的方程第 1 节直线的方程与两条直线的...
...轮复习2017高考试题汇编 第九章 直线与圆的方程.doc
2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第九章 直线与圆的方程_高考_高中教育_教育专区。第九章 直线与圆的方程 第一节 直线的方程与两条直线...
...轮复习2017高考试题汇编 第九章 直线与圆的方程 Wor....doc
2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第九章 直线与圆的方程 Word版含答案解析_初中教育_教育专区。第九章 直线与圆的方程 第一节 直线的方程...
...轮复习2017高考试题汇编 第九章 直线与圆的方程 Wor....doc
2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第九章 直线与圆的方程 Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。第九章 直线与圆的方程 第一节 直线的...
...轮复习2017高考试题汇编 第九章 直线与圆的方程 含....doc
2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第九章 直线与圆的方程 含解析_高考_高中教育_教育专区。第九章 直线与圆的方程 第一节 直线的方程与两...
2017年高考数学理科真题汇编解析:第九章直线与圆的方程.doc
2017高考数学理科真题汇编解析:第九章直线与圆的方程_数学_高中教育_教育专区。第九章 直线与圆的方程第一节 直线的方程与两条直线的位置关系 1.(2017 浙江 ...
2017高考数学(理)试题汇编 第九章 直线与圆的方程.pdf
2017高考数学(理)试题汇编 第九章 直线与圆的方程_从业资格考试_资格考试/
2018高考数学(理)(全国通用) 第九章 直线与圆的方程 Wo....doc
2018高考数学(理)(全国通用) 第九章 直线与圆的方程 Word版含解析_高三数学_...第九章 直线与圆的方程 第一节 直线的方程与两条直线的位置关系 1.(2017 ...
更多相关标签: