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高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件人教A版

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 -1- 2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角 M 目标导航 UBIAODAOHANG Z 知识梳理 HISHI SHULI Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会用向量的坐标形式求数量 积、向量的模以及两个向量的夹角. 2.会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系. -2- 2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角 M 目标导航 UBIAODAOHANG Z 知识梳理 HISHI SHULI Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则有下表: 坐标表示 b=x1x 2+y1y 2 数量积 a· |a| = 模 垂直 夹角 2 2 2 1 + 12 或|a|2= 1 + 1 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 |1 2 | = a⊥b? a· b=0?x 1x2+y 1y2= 0 cos θ= · | || | (2 -1 )2 + (2 -1 )2 = 1 2 +1 2 2 + 2 2 + 2 1 1 2 2 -3- 2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角 M 目标导航 UBIAODAOHANG Z 知识梳理 HISHI SHULI Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 名师点拨已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). a∥b?x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0. a⊥b?x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0. 这两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:共线纵横交错 积相等,垂直横横纵纵积相反. -4- 2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角 M 目标导航 UBIAODAOHANG Z 知识梳理 HISHI SHULI Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 【做一做1】 向量m=(1,0),n=(2,-5),则m· n等于 ( A.-2 B.0 C.2 D.7 解析:m· n=1×2+0×(-5)=2. 答案:C ) 【做一做 2】 已知 = (3, ?4), 则||等于 ( A.3 解析: || = B.4 C. 5D. 5 32 + (-4 )2 = 5. ) 答案 :D 【做一做3】 若向量a=(4,2),b=(6,m),且a⊥b,则m的值是( A.12 B.3 C.-3 D.-12 解析:∵a⊥b,∴4×6+2m=0,解得m=-12. 答案:D ) -5- 2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角 M 目标导航 UBIAODAOHANG Z 知识梳理 HISHI SHULI Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 【做一做 4】 已知 a=(3,0),b=(-5,5),则 a 与 b 的夹角 θ= . 解析 :|a|= 9 + 0 = 3, |b|= 25 + 25 = 5 2, a· b=3×(-5)+0×5=-15, · -15 2 则 cos θ= = =? . |||| 3×5 2 2 3π 3π 由 0≤θ≤π,知 θ= , 即 a 与 b 的夹角为 . 4 4 3π 答案: 4 -6- 2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角 M 目标导航 UBIAODAOHANG Z 知识梳理 HISHI SHULI Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 1.投影的坐标表示 剖析 :由于向量 b=(x2,y2)在向量 a=(x1,y1)方向上的投影为 |b|cos θ= ||||cos · = (为a 与 b 的夹角),从而向量 || || 1 2 +1 2 2 2 1 +1 b 在向量 a 方向上的 投影的坐标表示为 . 同理可得,向量 a 在向量 b 方向上的投 = 1 2+1 2 2 2 2 +2 影的坐标表示为 |a|cos θ= ||||cos · = || || . -7- 2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角 M 目标导航 UBIAODAOHANG Z 知识梳理 HISHI SHULI Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 2.向量数量积性质的坐标表示 剖析 :设两个非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),a 与 b 的夹角为 θ. (1)a· b=a1b1+a2b2; (2)a⊥b?a1b1+a2b2=0; (3)a· a=|a| 2?| a| = (4)cos θ= · ? cos θ= |||| 2 2 1 + 2 ; 1 1 +2 2 2 2 2 2 1 +2 1 +2 ; 2 2 2 2 (5)|a· b|≤|a||b| ?|a1b1+a2b2|≤ 1 + 2 · 1 + 2 . -8- 2.4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角 M 目标导航 UBIAODAOHANG Z 知识梳理 HISHI SHULI Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO D典例透析 IANLI TOUXI 名师点拨在解决向量数量积的坐标运算问题时,关键是熟练掌握 数量积的坐标运算公式a· b=a1b1+a2b2以及相关的向量的长度公式 和夹角公式.在这个过程中还要熟练运用方程的思想.值得注意的 是,对于一些向量数量积的坐标运算问题,有时考虑其几何意义可 使问题快速得解. -9

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