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椭圆中的焦点三角形及求离心率问题含答案)

椭圆中的焦点三角形及求离心率问题 1、若椭圆方程为x42+y32=1,∠PF1F2=90°,试求△PF1F2 的面积. 【解】 椭圆方程x42+y32=1,知 a=2,c=1,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,且|F1F2|=2,在 △PF1F2 中,∠PF1F2=90°.∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2.从而(4-|PF1|)2=|PF1|2+4,则|PF1|=32, 因此 S△PF1F2=12·|F1F2|·|PF1|=32.故所求△PF1F2 的面积为32. 2、设 F1,F2 是椭圆x92+y42=1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2 的面积等于( B ) A.5 B.4 C.3 D.1 【解】 由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= 5,∴|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1| =4,|PF2|=2,由 22+42=(2 5)2 可知,△F1PF2 是直角三角形,故△F1PF2 的面积为12|PF1|·|PF2|=12 ×4×2=4,故选 B. 3、过椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2 =60°,则椭圆的离心率为________. 【解】由题意,△PF1F2 为直角三角形,且∠F1PF2=60°,所以|PF2|=2|PF1|.设|PF1|=x,则|PF2|=2x, |F1F2|= 3x,又|F1F2|=2c,所以 x= 2c3.即|PF1|= 2c3,|PF2|= 4c3.由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a, 所以 2c + 4c =2a,即 33 e=ac= 3 3. →→ 4、已知椭圆的两焦点为 F1、F2,A 为椭圆上一点,且AF1·AF2=0,∠AF2F1=60°,则该椭圆的 离心率为________. →→ 【解】 ∵AF1·AF2=0,∴AF1⊥AF2,且∠AF2F1=60°.设|F1F2|=2c,∴|AF1|= 3c,|AF2|=c.由椭圆 定义知: 3c+c=2a 即( 3+1)c=2a.∴e=ac= 32+1= 3-1. 5、椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率为(A ) 1 1 1 2 A.2 B.3 C.4 D. 2 6、设椭圆ax22+by22=1(a>b>0)与 x 轴交于点 A,以 OA 为边作等腰三角形 OAP,其顶点 P 在椭圆 上,且∠OPA=120°,求椭圆的离心率. 【解】设 A(a,0),点 P 在第一象限,由题意,点 P 的横坐标是a2,设 P???a2,y???,由点 P 在椭圆上,得???aa2???22 3 +by22=1,y2=34b2,即 P???a2, 23b???,又∠OPA=120°,所以∠POA=30°,故 tan∠POA= 2 a b = 33,所 2 以 a=3b,所以 e=ac= a2a-b2= ?3b3?b2-b2=2 3 2 . 7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于四个不同的点,顺次连结这四个点与两焦点, 恰好组成一个正六边形,求这个椭圆的离心率. 【解】 如图,设椭圆两焦点为 F1,F2,与正六边形 其中两个交点为 A,B,并设正六边形边长为 m,则根据正六边形的性质有:∠FAB=120°,|OF1| =m,根据余弦定理 F1B2=m2+m2-2m·m·cos 120°=3m2,∴F1B= 3m,又 2a=F1B+BF2= 3m+ m, ∴a= 32+1m,又 c=m,∴ac= m 3+1 = 3-1,即椭圆的离心率为 3-1. 2m 8、已知椭圆 C:ax22+by22=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连结 AF, BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=45,则 C 的离心率为( B ) 3546 A.5 B.7 C.5 D.7 【解】 在△ABF 中,|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|·|BF|·cos∠ABF=102+82-2×10×8×45=36,则|AF| =6.由|AB|2=|AF|2+|BF|2 可知,△ABF 是直角三角形,OF 为斜边 AB 的中线,c=|OF|=|A2B|=5.设椭 圆的另一焦点为 F1,因为点 O 平分 AB,且平分 FF1,所以四边形 AFBF1 为平行四边形,所以|BF|= |AF1|=8.由椭圆的性质可知|AF|+|AF1|=14=2a?a=7,则 e=ac=57.