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电学之一 电场 电路 自主招生解析


大学自主招生物理电学试题选析选练(一)
大学自主招生中考察的电学内容包括电场、电路、磁场和电磁感应等知识,比较丰富。 我们分两次对其进行分析。 第一次我们分析电场和电路部分。 高中教材学过的知识点不再赘 述,而主要补充一下之外的常用知识。 电场部分主要涉及以下内容。

一.几种典型带电体的场强
1.均匀带电球面的场强(带电量为 Q )

E=0(r<R) , 式中 R 为球面半径, r 表示空间任一点与球心的距离。 2.均匀带电球体的场强(电荷体密度为σ )



二.点电荷的电势及其叠加原理
若场源电荷为点电荷 Q , Q 所在之处为 O ,P 为其电场中任意一点, O 、P 之间 的距离为 r ,场点 P 的电势为:

此即点电荷 Q 的电势公式,同样 Q 、 φ 都有正负。 若场源是由若干个点电荷所组成的电荷体系, 则它们的合电势为各个点电荷单独存在时 电势的代数和,此即电势叠加原理。 【例 1】 (清华 2009)静电学的理论中指出,对于一个真空区域,只要知道该区域的电 荷分布及区域边界的电势分布, 就能唯一确定该区域内电场的 分布。请根据这一结论讨论下列情景的解。在一接地的无穷大 的导体平板上方与导体板相距 h 处固定一电荷量为 Q 的点电 荷,若选取图示的坐标系,试根据导体静电平衡的性质,写出 导体板所在平面上方 xy 平面内任意一点(点电荷所在点除外) 处的电势表达式,并讨论表达式的合理性。 解析: (1)本题中求解的区域为无穷大接地导体板上方的 区域(y>0) ,此区域内点电荷所在位置及电荷量是确定的;区 域的边界(y=0 平面)的电势分布是确定的(为电势为零的等势面) 。 (2)如果设想把导体板上表面的感应电荷用一电荷量为 Q'的点电荷替代。设点电荷 Q 所 在位置为 A,将点电荷 Q'放置在 B 点,B 点的选择满足,AB 两点的连线是导体上表面的 垂线,且 AB=2h。 (3)替换后在 xy 平面内,y>0 区域除A点外任意一点 P(x,y)处电势表达式为

??

kQ x 2 ? ( y ? h)2

?

kQ ' x 2 ? ( y ? h)2



? 在 y=0 平面(区域的边界)为零的条件为 Q ' ? ?Q 。故 kQ kQ ?? ? ( y ? 0,当x ? 0, y ? h) 2 2 2 x ? ( y ? h) x ? ( y ? h) 2



这样的替换没有改变求解区域的电荷分布, 又满足了导体板上表面所在位置电势为零 的条件。因此,②式是合理的解。

三、电容器
1. 电容器的连接 (1)串联:一个未充电的电容器串联时的总电容的倒数等于各个串联电容器电容的倒 数之和。即

串联电容器的总电压等于各个电容器上电压之和,电容器各极板上的电量相等 (2)并联: n 个未充电的电容器并联时的总电容等于各个电 容器电容之和。即 C=C1+C2+…Cn 并联电容器的电压相等, 总电量等于各电容器极板上的电量之 和。 2.电容器的储能 用电池对电容器充电,实质上是通过电池做功,将电荷从电容 器的一个极板上搬到另一个极板上。 在此过程中, 有一部分电池的化学能转化成了电容器的 电能 (另一部分转换成内能) 。 对于一个给定的电容器, 其 U-Q 图线是一条过原点的斜直线, 如图所示。因为 △ W = U △ Q ,所以在图中,直线和 Q 轴所包围的面积就是电池克服 电场力做的功,它转化成了电容器储存的电能 E。即 【例 2】(清华 2010)如图,三个面积均为 S 的金属板 A 、 B 、 C 水平放置,A 、B 相距 d1 , B、C 相距 d2, A 、C 接地, 构成两个平行板电容器。 上板 A 中央有小孔 D。 B 板开始不带电。 质量为 m、电荷量为 q ( q > 0)的液滴从小孔 D 上方高度为 h 处 的 P 点由静止一滴一滴落下。假设液滴接触 B 板可立即将电荷全 部传给 B 板。油滴间的静电相互作用可忽略,重力加速度取 g。 (1)若某带电液滴在 A 、B 板之间做匀速直线运动,此液滴是从小孔 D 上方落下的 第几滴? (2)若发现第 N 滴带电液滴在 B 板上方某点转为向上运动,求此点与 A 板的距离 H 。 (以空气为介质的平行板电容器电容 C = S / ( 4π kd),式中 S 为极板面积, d 为极板 间距, k 为静电力常量。 ) 解析:(1)根据题意, A 、 B 板与 B 、C 板构成的两个平行板电容器的电容分别为

设第 n 滴带电液滴可在 A 、 B 板之间做匀速直线运动。 当第 n 滴带电液滴处于 A 、

B 板之间时, B 板所带电荷量为

式中 Q1 和 Q2 分别为金属板 B 上下两个表面上的电荷量。设 B 板电势为 u ,则

A 、 B 板之间的电场强度为 由于第 n 滴带电液滴在 A 、 B 板之间做匀速直线运动,有 qE1 = mg ⑦ 联立以上各式得

(2) 当第 N 一 1 滴带电液滴在 B 板上时,(1) 中 ① 至 ⑤ 仍有效, 相应的 B 板 电势以及其上下表面所带电荷量分别记为 U’、 Q1’ 和 Q2 ’。 B 板所带电荷量为

按题意,第 N 滴带电液滴会在下落到离 A 板距离为 H ( H < d 1 )时速度为零,此时 液滴所在位置的电势为

由能量守恒得

由 ① ② ④ ⑤ ⑨ ⑩ 式得

注:本题相当于两个电容器并联。电容器介质为空气时,近似有ε r=1。 【例 3】(上海交大 2007)有一个孤立的平行板电容器,平板面积为 S,平板间的距离 为 d,设该电容器极板带电 Q 时,平板间的电势差为 U。若再在两平行板间平行插入厚度为 t,且具有与电容器极板面积相同的金属平板,外界要做的功为_____________。 (任意一种 结果均可得分) 解析:插入金属平板后,电量不变,电荷面密度不变,所以电场强度不变,推知

C' U Ed d ? ' ? ? C U E (d ? t ) d ? t ?S 原来电容器的电容为 C ? , 4?kd ?S 所以后来变为 C' ? 4?k (d ? t )
电容器与电源断开后电荷量不变,故此过程中外界要做的功为

Q2 Q2 Q 2t W? ? ?? 2Cd 2C ' 2C

若用 Q=CU 代入得 W ? ?

QUt 2d

电路部分主要包括以下内容。

四. 含源电路的欧姆定律
如图是一段含有电源的电路,简称含源电路。

在如图所示的 A 、 E 之间的含源电路中,电流 I1 从 A 流向 C ,电流 I2 从 E 流向 C ,两节干电池的内阻分别为 r1 和 r2,要计算从 A 经 C 到 E 的这段含源电路中,两端 点 A 、 E 间的电势差 UAE ,可顺着从 A 到 E 的方向进行如下计算: UAE=UAE+ UBC+ UCD+ UDE =I1R1+(-ε 1+ I1r1)+(ε 2-I2r2)-I2R2 =(I1R1+ I1r1- I2r2- I2R2)+(-ε 1+ε 2) 一段含源电路的欧姆定律,一般地可概括为

其中符号规定如下:以从 A 到 E 为计算方向,与此方向相同的电流取正,反之取负 号;与此方向相同的电动势取负号,与此方向相反的电动势取正号(电动势的方向指从负极 到正极的方向) 。

五. 基尔霍夫定律
基尔霍夫方程组由两部分组成: 1. 基尔霍夫节点电流方程组。 它指出,汇合于任一节点处的各电流的代数和等于零,即

式中, I 入和 I 出分别为流入和流出考察节点的电流强度。假设一个复杂回路有 n 个节 点,便可写成 n-1 个独立的节点方程。 2. 基尔霍夫回路电压方程组。 它指出,对于电路中任一闭合回路,电势降落的代数和等于零,即

正负号取法如下:先任意规定所考察回路的绕行方向,然后根据绕行方向来决定ε 和 I 前面的符号:当回路绕行方向经电源内部由正极指向负极时,ε 前取正号,反之取负号;当 回路绕行方向与 I 的流向一致时,I 前取正号,反之取负号。若电流 I 是待求的,I 方向可 以设定,最后求出结果 I>0,则与设定的 I 方向一致,求出结果 I < 0 ,则 I 的方向与设定 方向相反。 电路的内容经常在综合问题中进行考察,如与电磁感应相结合的问题。

【例 4】 (上海交大 2009)如图所示,一磁感应强度为 B 的均匀磁场,分布在半径为 R 的无限长圆柱体内,设 B= B0t ( B0> 0 ) 。现有一半径也为 R ,电阻均匀分布且总电阻 为 r 的金属圆环,放在垂直于磁场的平面内,金属圆环中心在均匀磁场的对称轴上。长为 R 、电阻为 r’的直导线的两个端点 a 、 b 与金属圆环良好连接,求此直导线中感应电流 的电流(设感应电流所产生的磁场可以忽略) 。

解析:扇形 Oab 面积 S1=π R2/6,三角形 Oab 面积 S2= 流如图(b)所示,则 I1(5r/6)+I2(r/6)=π B0R2,

/4。设金属圆环各部分电

I1(5r/6)+I3r’=B0(5π R2/6+ 且 可解得 I1=I2 +I3 I3=9 B0R2/(5r+36r’)

),

注:本题可在三个回路中任选两个进行求解。 【例 5】 (北大 2009)7 个电阻均为 R 的网络如图( a)所示。试求 A 、B 间的等效电 阻 RAB

解析:设电流 I 从 A 端流入, B 端流出。网络中分布电流为 I1 、I2 、I3、I4 和 I5, 根据对称性有:I4=I2,I1=I5。利用串联等效电阻公式,可将电路转化为( b )图,应用 分流思想,由于 I2=I-I1,I3=I2-I1=I-2I1, 根据两点间不同路径等电压的思想,可得图 ( b )中 A 、 D 间的电压 UAD=I1·2R=(I-I1)R+(I-2I1)R 解得 I1=2I/5 取路径 ADB ,可算出:UAB=I1·2R+(I-I1)R=4RI/5+3RI/5=7RI/5 得 RAB=UAB/I=7R/5

【真题选练】
1 . (复旦 2008)对于电场强度和电势的关系,下列说法中正确的是( A.具有不规则表面的导体带有电荷时,表面处处等势 B . 场强大的地方,电势一定高 C. 场强为零的地方,电势一定为零 D. 带正电荷物体的电势一定为正 ) 。

2. (同济 2009) 如图所示, 半径为 R 的圆环均匀带电, 电荷线密度为λ , 圆心在 O 点, 过圆心与环面垂直的轴线上有 P 点, PO= r 。以无穷远为电势零点,则 P 点的电势 φp 为( ) 。 A. B.

C.

D. 3 (同济 2009)由对称性可知,均匀带电球面产生的电场分布具有对称性,该电场强度 在空间不同区域有不同的值: 在球面内其电场强度为零, 球面外其电场强度与电荷集中在球 心处时的分布相同。现有一个球形的橡皮膜气球,电荷 q 均匀地分布在球面上。在此气球 被吹大的过程中,被气球表面掠过的点(该点与球中心距离为 r) 其电场强度的大小将由 __________变为______________ 4 . (清华 2010)如图所示,用等长绝缘线分别悬挂两个质量、电量都相同的带电小球 A 和 B , 两线上端固定于 O 点, B 球固定在 O 点正下方。当 A 球静止时,两悬线夹角 为 θ .能保持夹角θ 不变的方法是( ) A .同时使两悬线长度减半 B .同时使 A 球的质量和电量都减半 C .同时使两球的质量和电量都减半 D .同时使两悬线长度和两球的电量都减半 5.(清华 2009)如图所示,光滑的水平桌面上放有一由铰链在 B 点连接起来的两轻杆, 两杆的长度均为 l。质量均为 m 的小球 1、2 和 3 分别 固定在杆的 A、B 和 C 三个端点上,小球 1 和 3 分别带 有电荷量-q 和+q,小球 2 不带电。整个装置处于场 强为 E、方向平行于桌面向右的匀强电场中。用外力使 该 装 置 处 于 静 止 状 态 , 且 AC 平 行 于 电 场 , ?ABC ? 120 ? 。突然撤去外力,小球开始运动。不计 小球 1、 3 之间的静电引力, 小球 2 的最大速度为 ( ) A. C.

(2 ? 3)qEl 3m
(2 ? 3)qEl 5m

B. 2 D.2

(2 ? 3 )qEl 3m

(2 ? 3)qEl 5m

6、 (清华 2008)如图所示有限网络电路中,除最后一只电阻为 Rx 外,其余电阻阻值都 是 R ,那么要使 A 、 B 两点间的等效电阻与网络级数 n 无关, Rx=_______R

7 . (北大 2008) 由 6 个未必相同的电阻和电压 U= 10V 的直流电源构成的电路如图 (a) 所 示 , 其 中 电 源 输 出 电 流 I0 = 3A .若如图( b )所示,在电源右侧 并联一个电阻 ( 电阻值记为 Rx ) , 则电源输出电流 I =5A。今将此电源 与电阻 Rx 串联后.改接在 C 、 D 两 点右侧,如图(c)所示,试求电源输 出电流 I’。

8、 (清华 2011 年样卷)静电学理论指出,对于真空区域,只要不改变该区域内的电荷 分布及区域边界的电势分布, 此区域内的电场分布就不会发生改变。 试由上述结论及导体静 电平衡的性质论证: 在一接地的无穷大导体平板上方与导体板相距 h 处放置一电荷量为 Q 的点电荷,则导

体板对该点电荷作用力的大小为

(k 为静电力常数) 。

9.(清华 08)N 个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶,它们沿轴线排列成一串,如图所 示(图中只画出了四个圆筒,作为示意).各筒和靶相间地连接到频率为 f、最大电压值为 U 的正弦交流电源的两端.整个装置放在高真空容器中.圆筒的两底面中心开有小孔.现有一 电量为 q、 质量为 m 的正离子沿轴线射入圆筒, 并将在圆筒间及圆筒及靶间的缝隙处受到电 场力的作用而加速(设圆筒内部没有电场). 缝隙的宽度很小, 离子穿过缝隙的时间可以不计. 已知离子进入第一个圆筒左端的速度为 v1,且此时第一、二两个圆筒间电势差 U1-U2= -U . 为使打到靶上的离子获得最大能量, 各个圆筒的长度应满足什么条件?并求出在这种情 况下打到靶上的离子的能量. 10.(清华 09)在一直线上的 A、B 和 C 点各有一带电质点,它们的质量和电荷量如 图所示。开始时,三质点被固定住,且有 AB=BC/2=r,然后同时释放三质点。求当这 三个质点彼此相距很远时的速度。已知两个 电荷量分别为 q1 和 q2、 相距为 r 的电荷的电 势能为 U ? k

q1 q 2 。 (提示: 在任意很短的时间间隔内, 三质点的运动均可视为匀加速运动。 ) r

【参考答案】 1. A 注:零电势的选择是任意的,并且场强和电势两者之间 无任何关联。

2. B 解析:将圆环分成很多个点电荷 △Q ,其中任一点电荷在 P 点的电势 故 3. kq/r2,0 4. BD 解析:设两球距离为 d ,分析 A 球的受力如图示,图中 由平衡条件得 T = mg ,

同时使两悬线长度减半,则 d 减半,不能满足上式,A 错; 同时使 A 球的质量和电量都减半,上式仍然能满足,B 正确; 同时使两球的质量和电量都减半,不能满足上式,C 错; 同时使两悬线长度和两球的电量都减半,则 d、q1、q2 减半,上式仍然能满足,D 正确。 5. B 解析:ABC 组成的系统所受合外力为零,总动量始终为零。撤去外力后,1 和 3 斜向上 运动,2 向下运动,在垂直电场的方向上动量守恒,推知 1 和 3 在这个方向上分速度越大, 2 的速度就越大。另一方面,1 和 3 电势能越小,1、2、3 的动能就越大,综合起来说明当 1、 2、3 在与电场平行的直线上时,2 的速度最大。此时 1、3 速度也恰好与电场(杆)方向垂 直,没有平行电场方向的分量。 根据能量守恒,电势能的减少量等于动能增加量,设 2 的最大速度为 v。 0=mv-2mv13

1 2 1 3 2 m v ? ? 2m v13 ? 2Eq(1 ? )l 2 2 2
解得: v ? 2

(2 ? 3 )qEl ,选项为 B. 3m

6. 满足题意的条件对应最后 4 个电阻的等效电阻值为 R x,即

得 I0=U/RAB, 得 RAB=(10/3)Ω 对图(b) ,由 I=U/RAB+U/Rx 得 Rx=5Ω 因接在 AB 两点和接在 CD 两点不影响等效电阻 RAB, 故 RAB=RCD=(10/3)Ω 由 I’=U/(RAB+Rx) 得 I’=1.2A 8. (1) 本问题中求解的区域为无穷大接地导体平面的上方区域, 此区域内点电荷所在位置及所带的电荷量是确定的:区域的边界(导 体平面的上表面) 的电势分布是电势为零的等势面。电场 E 的分布大 致如图 1 所示。图中的电场线和导体面处处垂直。并且 E = E1 + E 2 , 7. 对图(a) ,由

图2

其中 E1 、 E 2 分别为点电荷 Q 和导体板上表面感应电荷激发的电场。 (2)比较上述电场线分布的特点与两个等量异号点电荷电场的电场线分布特点,可以 设想把导体板上表面的感应电荷用一电荷量为 Q’=-Q 的点电荷替代。设点电荷 Q 所在 位置为 A 点,将点电荷 Q’ 放置在 B 点,B 点的选择满足,AB 两点的连线垂直于导体表 面,且 AB = 2h ,此时空间电场的分布如图 2 所示。 这样的替换既没有改变求解区域内的电荷分布, 又满足了导体板上表面所在位置电势为零的 条件。 因此, 在零等势面上方区域内电场分布与题给电场分布相同, 所以对于求解区域而言, 用放在 B 点处电荷量为 Q’=-Q 的点电荷替代导体板上表面的感应电荷是合理的。 (3) 导体板上感应电荷在 A 点产生的场与 B 点的点电荷 -Q 在 A 点产生的场是相同 的。故根据 F = Q E 2 , , 其中, E 2 为放在 B 点的点电荷 -Q 在 A 点产生的场。 联立可得, (或:按库仑定律有 ,式中负号表示作用力为引力。 ,式中负号表示作用力为引力。 )

9.(1)根据动能定理: qU ?

1 2 1 2 mv 2 ? mv1 2 2

v2 ? v12 ?

2qU m

打到靶上共经过 N 次加速,故所求最大动能为:

1 E Kn ? NqU ? mv12 2
(2)设离子穿过第 n 个圆筒(n<N)的速度为 vn,则第 n 个圆筒的长度应为:

Ln ? vn ?

T 1 ? vn 2 2f

离子通过每一个缝隙时都被电压为 U 的电场加速,离子的动能逐级增大,当离子到达第 n 个圆筒时共经(n-1)次加速,由动能定理得:

1 2 m(vn ? v12 ) ? (n ? 1)qU 2

所以

vn ? v12 ?

2(n ? 1)qU m

可见,第 n 个圆筒的长度应满足: Ln ?

vn 1 ? 2f 2f

v12 ?

2(n ? 1)qU m

10.把放在 A、B 和 C 三点处的质点分别命名为 a、b 和 c。设在释放时刻,a、b 和 c 的 加速度为 a1、a2、和 a3,由已知条件可得

k 3q 2 12q 2 13 kq 2 向左 ① a1 ? ( ? )? 2m r 2 6 m r2 9r 2 k 3q 2 q 2 kq 2 向右 ② a2 ? ( 2 ? 2 ) ? 2 2 m r r mr 31k q 2 12q 2 31 31kq 2 向右 ③ a3 ? ( 2 ? ) ? 7m r 3 m r2 9r 2 设质点 c、a 相对于质点 b 的加速度为 ac 和 aa ,由①至③式得

25 kq 2 3 m r2 25 25kq 2 a a ? a1 ? a 2 ? 6 6 m r2 a c ? a3 ? a 2 ?
由以上两式得

向右 向左

④ ac ? 2aa 由于 ac 与 aa 的比等于初始时 1、 2 两球间距与 2、 3 两球间距之比, 在此后的任一时刻, 若用 v1、v2、v3 分别表示此刻小球 1、2、3 速度的大小,由运动学规律、库仑定律及牛顿 定律可知

v1 : v 2 : v3 ? a1 : a 2 : a3 ?

13 31 :2: 6 3



用 u1、u 2、u3 分别表示小球 1、2、3 相距很远时速度的大小,由能量守恒有

1 1 1 7 kq 2 2 2 2 (2m)u1 ? m u2 ? ( m)u 3 ? 9 2 2 2 31 r
联立⑤、⑥式,得



u1 ? ?
u2 ?

13 kq 2 5 3rm

⑦ ⑧ ⑨

12 kq 2 5 3rm

u3 ?

62 kq 2 5 3rm


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