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高二数学选修2-1第二章《圆锥曲线》测试题


圆锥曲线
一.选择题:本大题共 8 题,每小题 5 分,共 40 分。请将答案写在括号里。 1、已知方程
x2 y2 ? ? 1 的图象是双曲线,那么 k 的取值范围是( 2 ? k k ?1



A.k<1

B.k>2

C.k<1或 k>2

D.1<k<2

2、已知方程 ax2 ? by2 ? ab和ax ? by ? c ? 0(其中ab ? 0, a ? b, c ? 0 ) ,它们所表示的曲线可能 是( )

A 3、设椭圆







x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F (c, 0) ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两 2 2 a b

个实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) (



A.必在圆 x2 ? y2 ? 2 内B.必在圆 x2 ? y2 ? 2 上C.必在圆 x2 ? y2 ? 2 外D.以上三种情形 都有可能 4、椭圆 ( ) A.15
2

x2 y2 ? ? 1 上的点 100 36

P 到它的左准线的距离是 10,那么 P 点到椭圆的右焦点的距离是

B.10
3

C.12

D.8 ) D.75°

5、双曲线 x ? y 2 ? 1 的两条渐近线所成的锐角是 ( A.30° B.45° C.60°

6、已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ,y1 ),P2 ( x2,y2 ) , P ,y3 ) 在抛物线上, 1 ( x1 3 ( x3 且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3 7、双曲线 A. )
? FP3 B. FP 1 ? FP 2 · FP3 D. FP2 ? FP 1
2 2 2 2

x2 y2 =1 的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( a2 b2

)

2

B. 3

C. 2
1

D.

3 2

8、过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 1 ?x1 , y1 ?, P 2 ?x2 , y 2 ? 两点,若 y1 ? y 2 ? 6 ,则

P1 P2 的值为 (
A.5

) B.6 C.8 D.10

二、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9、设中心在原点的椭圆与双曲线 2 x2-2y2=1 有公共的焦点,且它们的离心互为倒数,则该椭圆 的方程是 。 .

x2 y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,则 AB ? 10、直线 y ? x ? 1 与椭圆 ? 4 2

11、已知 P(4,?1), F 为抛物线 y 2 ? 8x 的焦点, M 为此抛物线上的点,且使 MP ? MF 的值最 小,则 M 点的坐标为 .
y2 x2 ? ? 1 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围 3 4

12 、过原点的直线 l ,如果它与双曲线 是 .

13、抛物线 y 2 ? 4x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的 部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是 .

14 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 有 一 定 点 A(2,1) , 若 线 段 OA 的 垂 直 平 分 线 过 抛 物 线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,则该抛物线的准线方程是



三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
x2 y 2 15、 (14 分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点,而且与 x 轴垂 a b
3 直.又抛物线与此双曲线交于点 (? , 6) ,求抛物线和双曲线的方程. 2

2

16、 (12 分)过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点 F 作倾斜角为 45? 的直线,交抛物线于 A,B 两点. (1)求 ?? 的中点 C 到抛物线准线的距离; (2)求 AB 的长.

x2 y 2 17、 (14 分)双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0) a b 4 到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c.求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5

18、 (14 分)直线 y=kx+b 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1交于 A、B 两点,记△AOB 的面积为 S. 4

(I)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (Ⅱ)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程.

y

A

O B

x

3

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 19、 (本小题满分 12 分)设 F1 、 F2 分别是椭圆 4

???? ???? ? (Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为 坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围

20、 (12 分)如题(21)图,倾斜角为 a 的直线经过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F,且与抛物线交于

A、B 两点。
(Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ)若 a 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明|FP|-|FP|cos2a 为定值, 并求此定值。

题(20)图

4

高二数学选修 2-1 第二章《圆锥曲线》答案 一.选择题:CBACC CAC
x2 ? y2 ? 1 2

二.填空题:9.

4 5 1 10. 3 11. ( , ?1) 8
14、 x ? ?

3 3 或k ? 2 2 三、解答题

12. k ? ?

13. 4 3

5 4

2 15 解:由题意可设抛物线方程为 y ? ?2 px( p ? 0)

3 3 (? , 6 ) 6 ? ?2 p ? ( ? ) 2 ,解得 p ? 2 因为抛物线图像过点 2 ,所以有
2 所以抛物线方程为 y ? ?4x ,其准线方程为 x ? 1

所以双曲线的右焦点坐标为(1,0)即 c ? 1
3 (? , 6 ) 又因为双曲线图像过点 2 ,

9 1 3 4 ? 6 ?1 a2 ? ,b2 ? 2 2 2 2 2 2 4 4 或 a ? 9, b ? ?8 (舍去) b 所以有 a 且 a ? b ? 1 ,解得
x2 y2 ? ?1 1 3 4 所以双曲线方程为 4

16 16 (1) 4 (2) 8 17. 解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的

b(a ? 1)
距 离 d1 =

b(a ? 1) a 2 ? b 2 .s= d1

a 2 ? b 2 . 同 理 得 到 点 (-1,0) 到 直 线 l 的 距 离 d2 =
2

4 4 2ab 2ab 2 2 2 +d2= a ? b = c .由 s≥ 5 c,得 c ≥ 5 c,即 5a c ? a ≥2c2.于是得 5 e ? 1 ≥2e2.即
2

ab

5 5 ?e? 5 4e2-25e+25≤0.解不等式,得 4 ≤e2≤5.由于 e>1>0,所以 e 的取值范围是 2

18、(I)解:设点 A 的坐标为( ( x1 , b) ,点 B 的坐标为 ( x2 , b) , 由
x2 ? y 2 ? 1,解得 x1,2 ? ?2 1 ? b 2 4

5

1 所以 S ? b | x1 ? x2 |? 2b 1 ? b 2 ? b 2 ? 1 ? b 2 ? 1 2

当且仅当 b ?

2 时, .S 取到最大值 1. 2

? y ? kx ? b ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 得 2 ? ? y ?1 ?4

(4k 2 ? 1) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 ? ? 16(4k 2 ? b2 ? 1)
|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2 2



16(4k 2 ? b2 ? 1) ?2 4k 2 ? 1
? 2S ?1 | AB |



又因为 O 到 AB 的距离 d ?

|b| 1? k
2

所以 b2 ? k 2 ? 1



③代入②并整理,得 4k 4 ? 4k 2 ? 1 ? 0 解得, k 2 ?
1 2 3 , b ? ,代入①式检验,△>0 2 2 故直线 AB 的方程是

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 或y? 或y?? 或y?? . x? x? x? x? 2 2 2 2 2 2 2 2

19、解: (Ⅰ)解法一:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 所以 F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

??

x2 1 3 ? x, ? y ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ? ? 3 ? ? 3x 2 ? 8? 4 4
2 2

?

2

???? ???? ? 因为 x ?? ?2, 2? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2
???? ???? ? 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 1
解法二:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

???? 2 ???? ? 2 ???? ?2 ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? cos ?F1 PF2 ? PF1 ? PF2 ? ???? ???? ? 2 PF1 ? PF2

?

2 2 1? x ? 3 ? y 2 ? x ? 3 ? y 2 ? 12? ? x 2 ? y 2 ? 3 (以下同解法一) ? ? ? 2?

?

?

?

?

6

(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A? x1, y2 ? , B ? x2 , y2 ? ,
? y ? kx ? 2 1? ? ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,整理得: ? k 2 ? ? x 2 ? 4kx ? 3 ? 0 2 4? ? ? ? y ?1 ?4

∴ x1 ? x2 ? ?

4k k2 ? 1 4

, x1 ? x2 ?

3 k2 ? 1 4

3 3 1? 2 ? 由 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ? ? ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 0 得: k ? 或k ? ? 2 2 4? ?

??? ? ??? ? 又 00 ? ?A0B ? 900 ? cos ?A0B ? 0 ? OA ? OB ? 0

??? ? ??? ? ∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
又 y1 y2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? k 2 x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ?
3k 2 k2 ? 1 4 ? ?8 k 2 ?k 2 ? 1 ?4 ? 1 1 k2 ? k2 ? 4 4

?k 2 ? 1 ? ? 0 ,即 k 2 ? 4 ∵ 1 1 k2 ? k2 ? 4 4 3

∴ ?2 ? k ? 2

故由①、②得 ?2 ? k ? ?

3 3 或 ?k?2 2 2

20(Ⅰ)解:设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px ,则 2 p ? 8 ,从而 p ? 4. 因此焦点 F ( ,0) 的坐标为(2,0). 又准线方程的一般式为 x ? ?
p 。 2 p 2

从而所求准线 l 的方程为 x ? ?2 。

(Ⅱ)解法一:如图作 AC⊥l,BD⊥l,垂足为 C、D,则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记 A、B 的横坐标分别为 xxxz,则
7

|FA|=|AC|= x x ?

p p p 4 , ?| FA | cos a ? ? ?| FA | cos a ? 4 解得 | FA |? 2 2 2 1 ? cos a 4 。 1 ? cos a

类似地有 | FB |? 4? | FB | cos a ,解得 | FB |? 记直线 m 与 AB 的交点为 E,则
| FE |?| FA | ? | AE |?| FA | ?

| FA | ? | FB | 1 1? 4 4 ? 4 cos a ? (| FA | ? | FB |) ? ? ? ?? 2 2 2 ? 1 ? cos a 1 ? cos a ? sin 2 a





| FP |?

| FE | 4 。 ? cos a sin2 a
4 sin 2 a (1 ? cos 2a) ? 4·2 sin 2 a sin 2 a ?8。

故 | FP | ? | FP | cos 2a ?

解法二:设 A( x A , y A ) , B( x B , y B ) ,直线 AB 的斜率为 k ? tan a ,则直线方程为 y ? k ( x ? 2) 。 将此式代入 y 2 ? 8x ,得 k 2 x 2 ? 4(k 2 ? 2) x ? 4k 2 ? 0 ,故 x A ? x B ? 记直线 m 与 AB 的交点为 E( x E , y E ) ,则
xE ? x A ? x B 2(k 2 ? 2) ? , 2 k2 4 y E ? k ( xE ? 2) ? , k k (k 2 ? 2) k2



故直线 m 的方程为 y ?

4 1? 2k 2 ? 4 ? ?. ?? ? x ? k k? k2 ? ? ?
2k 2 ? 4 k2 ? 4故

令 y=0,得 P 的横坐标 x P ?
| FP |? x P ? 2 ? 4(k 2 ? 1) k
2

?

4 sin 2 a


4·2 sin 2 a sin 2 a ? 8 为定值。

从而 | FP | ? | FP | cos 2a ?

4 sin 2 a

(1 ? cos 2a) ?

8


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