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2011年全国高考文科数学试题及答案湖北


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学试题(文史类)
本试题卷共 4 页,三大题 21 小题。全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答:用 0.5 毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。 答在试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。

? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , A ? 1 , 3 , 5 , 7 , B ? 2 , 4 , 5 , ? B 1.已知 U 则? ? ? ? ? ? ? ?? U ?A
A.

? 6 , 8?
? 4

B. ? 5 , 7 ?

C. ? 4, 6, 7 ?

1 ,3,5,6,8 D. ? ?

? 1 , 2 , b ? 1 , ? 1 2.若向量 a ,则 2a+b 与 a ? b 的夹角等于 ? ? ? ?
A. ? B.

?
6

C.

?
4
x

D.

3? 4

3.若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 和奇函数 g ( x ) 满足 f( x )?gx ( )? e ,则 g ( x ) = A. e ? e
x
?x

B.
2

?x 1 x (e ? e ) 2

C.

1 ?x (e ? e x ) 2

D.

?x 1 x (e ? e ) 2

4.将两个顶点在抛物线 y ?2 p x (p?0 )上,另一个顶点是 此抛物线焦点的正三角形个数记为 n ,则 A. n ? 0 B. n ? 1 C. n ? 2 D. n ? 3 5.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示, 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间

? ?1 0,1 2 ? 内的频数为
A.18 B.36 C.54 D.72 6.已知函数 f ,若 f ( x ) ? 1 ,则 x 的取值范围为 () x?3 s i n x ? c o s, x x ? R A. ? x |2 k ? ?? x ? 2 k ? ? ? , k ? Z ?

? ?

?

3

? ? ? ?

B. ? xk |? ? ? x ? k ? ? ? , k ? Z ?

? ?

?

3

? ? ? ?

C. ? x |2 k ? ? ?? x2 k ? ? , k ? Z xk |? ? ? x ? k ? ? , k ? Z ? D. ? ?

? ?

?
6

5 ? 6

? ?

?

6

5 ? 6

7.设球的体积为 V 1 ,它的内接正方体的体积为 V A. V 1 比 V C. V 1 比 V
2

2

,下列说法中最合适的是

大约多一半B. V 1 比 V 大约多一倍 D. V 1 比 V

2

大约多两倍半 大约多一倍半

2

2

? ? ? 8.直线 2 与不等式组 ? x ? y ? 1 0 ? 0 ? ? ?

x ? 0 y ? 0 表示的平面区域的公共点有 x ? y ? ?2 4x ? 3y ? 20

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数个 9. 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 A.1 升 B.

6 7 升 6 6

C.

4 7 升 4 4

D.

3 7 升 3 3
2 2

10.若实数 a,b 满足 a ?0 ( a , b )? a? b? a ? b ,那 ,b?0,且 ab ? 0 ,则称 a 与 b 互补,记 ? 么 ?(a,b) ?0是 a 与 b 互补的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上, 一题两空的题,其答案按先后次序填写,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 11.某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家。为掌握各类超市的营业情况, 现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市__________家。

1 ? ? 15 12. ? x ? (结果用数值表示) ? 的展开式中含 x 的项的系数为__________。 3 x? ?
13.在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过保 质期饮料的概率为__________。 (结果用最简分数表示) 14.过点(—1,—2)的直线 l 被圆 x? 截得的弦长为 2 ,则直线 l 的斜率为 y? 2 x ? 2 y ?? 10
2 2

18

__________。 15.里氏震级 M 的计算公式为:M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,

A0 是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1000,此时标
准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为 级;9 级地震的最大振幅是 5 级 地震最大振幅的 倍。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)

1 ,b?2 ,c o sC? 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a?

1 4

(I) 求 ?ABC 的周长; (II)求 cos(A?C ) 的值。

17. (本小题满分 12 分) 成等差数列的三个正数的和等于 15, 并且这三个数分别加上 2、 5、 13 后成为等比数列 ? b n ? 中 的b 3 、b 4 、b 5 。 (I) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S ,求证:数列 ? S n ?

n

? ?

5? ? 是等比数列。 4?

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 的底面边长为 2 ,侧棱长为

3 2 ,点 E 在侧棱 A A1 上,点 F 在侧棱 B B1 上,且
AE ? 2 2 , BF ? 2 .
(I) 求证: CF ? C 1E ;

F?C (II) 求二面角 E?C 1 的大小。

19. (本小题满分 12 分) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速 度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆 /千米)的函数,当桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 /千米时,车流速 0 ? x ? 2 0 0 度为 60 千米/小时,研究表明:当 2 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。

(I)当 0 时,求函数 v(x)的表达式; ? x? 2 0 0 (II)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f( (精确到 1 辆/小时) 。 x )?x ?vx ( )可以达到最大,并求出最大值。

20. (本小题满分 13 分) 设函数 f , gx ,其中 x ? R ,a、b 为常数,已知曲 () x? x? 2 a x? b x ? a ( )? x? 3 x ? 2
3 2 2

线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l。 (I) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (II)若方程 f( 有三个互不相同的实根 0、 x 1 、 x 2 ,其中 x 1 ? x 2 ,且对任意的 x ) ? gx ( )? m x

x??x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 () x ? g () x ? m ( x ? 1 ) 1, x 2 ?, f

21. (本小题满分 14 分) 平面内与两定点 A 1 ? ?a,0? 、 A2 ? a , 0 ? ( a ? 0 )连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨 迹 A2 , 加 上

A

1



A
两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆或双曲线。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (?1,0) ? (0,??) ,对应的曲线为 C2 , 设 F1 、 F2 是 C2 的两个焦点。试问:在 C1 上,是否存在点 N ,使得△ F1 N F2 的面积

S ?| m | a2 。若存在,求 tan F1 N F2 的值;若不存在,请说明理由。

参考答案
一、选择题:本题主要考查基础知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。

A 卷:1—5ACDCB 6—10ADBBC B 卷:1—5DCABC 6—10ADBBC 二、填空题:本题主要考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 25 分。 11.20 12.17 13.

28 145

14.1 或

17 7

15.6,10000

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识,同时考查基本运算能力。 (满 分 12 分) 解: (Ⅰ)

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?

1 ?4 4

? c ? 2. ? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5.
(Ⅱ)

1 1 15 cos C ? ,? sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) 2 ? . 4 4 4

15 a sin C 15 ? sin A ? ? 4 ? c 2 8
a ? c,? A ? C ,故 A 为锐角,

? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? . 8 8
7 1 15 15 11 ? ? ? ? . 8 4 8 8 16

? cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C ?

17.本小题主要考查等差数列,等比数列及其求和公式等基础知识,同时考查基本运算能力。 (满 分 12 分) 解: (Ⅰ)设成等差数列的三个正数分别为 a ? d , a, a ? d 依题意,得 a ? d ? a ? a ? d ? 15, 解得a ? 5. 所以 {bn } 中的 b3 , b4 , b5 依次为 7 ? d ,10,18 ? d . 依题意,有 (7 ? d )(18 ? d ) ? 100, 解得d ? 2或d ? ?13 (舍去) 故 {bn } 的第 3 项为 5,公比为 2。 由 b3 ? b1 ? 2 , 即5 ? b1 ? 2 , 解得b1 ?
2 2

5 4

.

所以 {bn } 是以

5 5 n ?1 n ?3 为首项,2 为以比的等比数列,其通项公式为 bn ? ? 2 ? 5 ? 2 4 4

5 (1 ? 2n ) 5 5 (Ⅱ)数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? 4 ? 5 ? 2n?2 ? ,即 S n ? ? 5 ? 2 n ? 2 4 1? 2 4 5 Sn ?1 ? n ?1 5 5 4 ? 5 ? 2 ? 2. 所以 S1 ? ? , 5 4 2 5 ? 2n ? 2 Sn ? 4 5 5 因此 {S n ? }是以 为首项,公比为 2 的等比数列。 4 2
18.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法,同时考查空间想象能力和推理 论证能力。 (满分 12 分) 解法 1: (Ⅰ)由已知可得 CC1 ? 3 2, CE ? C1 F ?

22 ? (2 2) 2 ? 2 3

EF 2 ? AB 2 ? ( AE ? BF ) 2 , EF ? C1 E ? 22 ? ( 2) 2 ? 6
于是有 EF 2 ? C1 E 2 ? C1 F 2 , CE 2 ? C1 E 2 ? CC12 所以 C1 E ? EF , C1 E ? CE 又 EF ? CE ? E, 所以C1 E ? 平面CEF . 由 CF ? 平面CEF , 故CF ? C1 E. (Ⅱ)在 ?CEF 中,由(Ⅰ)可得 EF ? CF ? 于是有 EF2+CF2=CE2,所以 CF ? EF . 又由(Ⅰ)知 CF ? C1E,且 EF ? C1 E ? E ,所以 CF ? 平面 C1EF, 又 C1 F ? 平面 C1EF,故 CF ? C1F。 于是 ?EFC1 即为二面角 E—CF—C1 的平面角。 由(Ⅰ)知 ?C1 EF 是等腰直角三角形,所以 ?BFC1 ? 45? ,即所求二面角 E—CF—C1 的大 小为 45 ? 。 解法 2:建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得

6, CE ? 2 3

A(0,0,0), B( 3,1,0), C(0,2,0), C1 (0,2,3 2), E(0,0,2 2), F ( 3,1, 2)
(Ⅰ) C1 E ? (0, ?2, ? 2), CF ? ( 3, ?1, 2)

C1 E ? CF ? 0 ? 2 ? 2 ? 0
?CF ? C1 E.

(Ⅱ) CE ? (0, ?2, 2 2) ,设平面 CEF 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) 由 m ? CE , m ? CF , 得 ?

? ?m ? CE ? 0, ? ?m ? CF ? 0,

即?

? ??2 y ? 2 2 z ? 0, ? ? 3x ? y ? 2 z ? 0

可取m ? (0, 2,1)

设侧面 BC1 的一个法向量为 n,由n ? BC, n ? CC1 , 及CB ? ( 3, ?1,0)

CC1 ? (0,0,3 2 ),可取n ? (1, 3,0)
设二面角 E—CF—C1 的大小为θ ,于是由θ 为锐角可得

cos ? ?

| m?n | 6 2 ,所以 ? ? 45? ? ? | m|?| n| 2 3?2

即所求二面角 E—CF—C1 的大小为 45 ? 。 19.本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。 (满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 ;当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b

1 ? a?? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 解得 ? 再由已知得 ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ?

0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v( x) 的表达式为 v( x) ? ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3 0 ? x ? 20, ?60 x, ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ( x) ? ? 1 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3
当 0 ? x ? 20时, f ( x) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60×20=1200;

1 1 x ? (200 ? x) 2 10000 x(200 ? x) ? [ ] ? 3 3 2 3 当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立。 10000 . 所以,当 x ? 100时, f ( x) 在区间[20,200]上取得最大值 3 10000 ? 3333 。 综上,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[0,200]上取得最大值 3
当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时。

20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的 能力,以及函数与方程和特殊与一般的思想, (满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 4ax ? b, g ?( x) ? 2 x ? 3. 由于曲线 y ? f ( x)与y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线, 故有 f (2) ? g (2) ? 0, f ?(2) ? g ?(2) ? 1.

由此得 ?

?8 ? 8a ? 2b ? a ? 0, ?a ? ?2, 解得 ? ?12 ? 8a ? b ? 1, ?b ? 5.

所以 a ? ?2, b ? 5 ,切线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x3 ? 4 x2 ? 5x ? 2 ,所以 f ( x) ? g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 x. 依题意,方程 x( x ? 3x ? 2 ? m) ? 0 有三个互不相同的实数 0, x1 , x2 ,
2

故 x1 , x2 是方程 x ? 3x ? 2 ? m ? 0 的两相异的实根。
2

所以 ? ? 9 ? 4(2 ? m) ? 0, 即m ? ? . 又对任意的 x ? [ x1 , x2 ], f ( x) ? g ( x) ? m( x ? 1) 成立, 特别地,取 x ? x1 时, f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? ?m 成立,得 m ? 0. 由韦达定理,可得 x1 ? x2 ? 3 ? 0, x1 x2 ? 2 ? m ? 0, 故0 ? x1 ? x2 . 对任意的 x ? [ x1 , x2 ], 有x-x2 ? 0, x ? x1 ? 0, x ? 0 则 f ( x) ? g ( x) ? mx ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0, 又f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? 0 所以函数 f ( x) ? g ( x) ? mx在x ? [ x1 , x2 ] 的最大值为 0。 于是当 m ? 0 时,对任意的 x ? [ x1 , x2 ], f ( x) ? g ( x) ? m( x ? 1) 恒成立, 综上, m 的取值范围是 ( ?

1 4

1 , 0). 4

20.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与 整合和数形结合的思想。 (满分 14 分) 解: (I)设动点为 M,其坐标为 ( x, y ) , 当 x ? ? a 时,由条件可得 kMA1 ? kMA2 ?

y y y2 ? ? 2 ? m, x ? a x ? a x ? a2

即 mx2 ? y 2 ? ma2 ( x ? ?a) ,
2 2 2 又A 1 (?a,0), A 2 ( A,0) 的坐标满足 mx ? y ? ma ,

故依题意,曲线 C 的方程为 mx 2 ? y 2 ? ma 2 . 当 m ? ?1 时, 曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1, C 是焦点在 y 轴上的椭圆; a 2 ?ma 2

当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? a2 ,C 是圆心在原点的圆; 当 ?1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1,C 是焦点在 x 轴上的椭圆; a 2 ? ma 2

当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1, C 是焦点在 x 轴上的双曲线。 a 2 ma 2

(II)由(I)知,当 m=-1 时,C1 的方程为 x2 ? y 2 ? a2 ; 当 m ? (?1,0)

(0, ??) 时,

C2 的两个焦点分别为 F 1 (?a 1 ? m,0), F 2 (a 1 ? m,0). 对于给定的 m ? (?1,0)

(0, ??) ,
2

C1 上存在点 N ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 使得 S ?| m | a 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , y0 ? 0, ? ?1 2 ? ? 2a 1 ? m | y0 |?| m | a . ?2

① ②

由①得 0 ?| y0 |? a, 由②得 | y0 |?

|m|a . 1? m

当0 ?

| m| a 1? 5 ? a,即 ? m ? 0, 2 1? m
1? 5 时, 2

或0 ? m ?

存在点 N,使 S=|m|a2; 当

|m| a 1? 5 ? a,即-1<m< , 2 1? m

或m ?

1? 5 时, 2
?1 ? 5 ? ,0? ? ? 2 ? ? 1? 5 ? ? ? 0, 2 ? 时, ? ?

不存在满足条件的点 N, 当 m??

由 NF 1 ? (?a 1 ? m ? x0 ? y0 ), NF 2 ? (a 1 ? m ? x0 , ? y0 ) ,
2 2 2 2 可得 NF 1 ? NF 2 ? x0 ? (1 ? m)a ? y0 ? ?ma ,

令 | NF 1 |? r 1 ,| NF 2 |? r 2 , ?F 1 NF 2 ?? , 则由 NF1 ? NF2 ? r1r2 cos ? ? ?ma , 可得r1r2 ? ?
2

ma 2 , cos ?

从而 S ?

1 ma 2 sin ? 1 r1r2 sin ? ? ? ? ? ma 2 tan ? , 2 2cos ? 2

于是由 S ?| m | a 2 , 可得 ?

1 2|m| ma 2 tan ? ?| m | a 2 , 即 tan ? ? ? . 2 m

综上可得: 当m??

?1 ? 5 ? ,0? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a2 , 且 tan F 1 NF 2 ? 2; ? ? 2 ?

当 m ? ? 0,

? 1? 5 ? 2 ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a , 且 tan F1NF2 ? ?2; ? 2 ? ?

当 m(?1,

1? 5 1? 5 ) ( , ??) 时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N。 2 2


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