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第2讲 空间图形的基本关系与公理_图文

第 2讲

空间图形的基本关系与公理

基础诊断

? 夯基释疑
? 考点一:平面基本性质的应用

概 要

考点突破

? 考点二:空间两条直线的位置关系

? 考点三:异面直线所成的角

课堂小结

? 思想方法 ? 易错防范

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)圆心和圆上两点可以确定一个平面.( ) (2)如果两个不重合的平面 α,β 有一条公共直线 a,就说平面 α,β 相交,并记作 α∩β=a.( ) (3)两个平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于过 A 点 的任意一条直线.( ) (4)已知 a,b,c,d 是四条直线,若 a∥b,b∥c,c∥d,则 a ∥d.( ) (5)两条直线 a,b 没有公共点,则 a 与 b 是异面直线.( )

考点突破 考点一 平面基本性质的应用
【例 1】如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E,C,D1,F 四点共面;(2)CE,D1F,DA 三线共点.

证明 (1)连接EF,CD1,A1B. ∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E,C,D1,F四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE与D1F必相交,设交点为P, 则由P∈CE,CE?平面ABCD, P 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA. ∴CE,D1F,DA三线共点.

考点突破 考点一 平面基本性质的应用 规律方法

公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据; 公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据; 公理3是证明三线共点或三点共线的依据.

要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理.

考点突破 考点一 平面基本性质的应用
【训练 1】 (1)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, P, Q, R 分别是 AB, AD,B1C1 的中点,那么正方体的过 P,Q,R 的截面图形是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 关键是画

解析 (1)如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G, 连接QP并延长与CB延长线交于M, 且QP反向延长线与CD延长线交于N, 连接MR交BB1于E, 连接PE,则PE,RE为截面与正方体的交线, 同理连接NG交DD1于F, N 连接QF,FG, 则QF,FG为截面与正方体的交线, ∴截面为六边形PQFGRE.

截面与几 何体各面 的交线

G
F

E

M

考点突破 考点一 平面基本性质的应用
【训练 1】(2)如图所示是正方体和正四面体,P,Q,R,S 分别是 所在棱的中点,则四个点共面的图形的序号是________.

解析 可证①中的四边形PQRS为梯形; ②中,如图所示,取A1A和BC的中点分别为M,N, 可证明PMQNRS为平面图形,且PMQNRS为正六边形;

③中,可证四边形PQRS为平行四边形; ④中,可证Q点所在棱与面PRS平行, 因此,P,Q,R,S四点不共面. 答案 (1)D (2)①②③

考点突破 考点二 空间两条直线的位置关系
【例 2】(1)在图中,G,N,M,H 分别是正三棱柱(两底面为正三角 形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是异面 直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).

(2)见下页

解析 (1)图①中,直线GH∥MN; 图②中,G,H,N三点共面,但M?面GHN, 因此直线GH与MN异面; 图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面; 图④中,G,M,N共面,但H?面GMN, 因此GH与MN异面.所以图②④中GH与MN异面.

考点突破 考点二 空间两条直线的位置关系
【例 2】(2)(2016· 余姚模拟)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,则下列说法错误的是( ) A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直 C.MN 与 BD 平行 D.MN 与 A1B1 平行

(2)如图,连接C1D,BD,AC, 在△C1DB中,MN∥BD,故C正确; ∵CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD, ∴CC1⊥BD, ∴MN与CC1垂直,故A正确; ∵AC⊥BD,MN∥BD, ∴MN与AC垂直,故B正确; ∵A1B1与BD异面,MN∥BD, ∴MN与A1B1不可能平行,故D错误,选D. 答案 (1)②④ (2)D

考点突破 考点二 空间两条直线的位置关系

规律方法 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和 垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;对 于平行直线,可利用三角形 ( 梯形 ) 中位线的性质、平行公 理及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往

往利用线面垂直的性质来解决.

考点突破 考点二 空间两条直线的位置关系
【训练 2】如图,已知不共面的三条直线 a,b,c 相交于点 P,A∈a, B∈a,C∈b,D∈c,求证:AD 与 BC 是异面直线.

证明

法一

(反证法)

假设AD和BC共面, 所确定的平面为α, 那么点P,A,B,C,D都在平面α内, ∴直线a,b,c都在平面α内, 与已知条件a,b,c不共面矛盾,

假设不成立,
∴AD和BC是异面直线.

考点突破 考点二 空间两条直线的位置关系
【训练 2】如图,已知不共面的三条直线 a,b,c 相交于点 P,A∈a, B∈a,C∈b,D∈c,求证:AD 与 BC 是异面直线.

法二

(直接证法)

∵a∩c=P,
∴它们确定一个平面,设为α, 由已知C?平面α,B∈平面α, BC?平面α,AD?平面α,B?AD, ∴AD和BC是异面直线.

考点突破 考点三 异面直线所成的角 【例3】已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD所成的 角为60°,点M,N分别是BC,AD的中点,则直线AB和MN所成 的角为________.
1 1 则 PM∥AB,且 PM= AB,PN∥CD,且 PN= CD, 2 2

解析

法一

如图,取AC的中点P,连接PM,PN,

所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角. 则∠MPN=60°或∠MPN=120°, 若∠MPN=60°, 因为PM∥AB, 所以∠PMN(或其补角)是AB与MN所成的角. 又因为AB=CD, 所以PM=PN, 则△PMN是等边三角形, 所以∠PMN=60°,即AB与MN所成的角为60°.

考点突破 考点三 异面直线所成的角 【例3】已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD所成的 角为60°,点M,N分别是BC,AD的中点,则直线AB和MN所成 的角为________.

若∠MPN=120°, 则易知△PMN是等腰三角形. 所以∠PMN=30°, 即AB与MN所成的角为30°.

综上直线AB和MN所成的角为60°或30°.

考点突破 考点三 异面直线所成的角 【例3】已知三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD所成的 角为60°,点M,N分别是BC,AD的中点,则直线AB和MN所成 的角为________. 法二 由AB=CD, 可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1-C1CD1D中进行考虑,如图, 由M,N分别是BC,AD的中点, 所以MN∥AA1, 即∠BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角. 连接A1B1交AB于O, 所以A1B1∥CD, 即∠AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角. 所以∠AOA1=60°或120°, 由矩形AA1BB1的性质可得∠BAA1=60°或30°. 所以直线AB和MN所成的角为60°或30°. 答案 60°或30°

考点突破 考点三 异面直线所成的角

规律方法

求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法 一般有三种类型: 利用图中已有的平行线平移;

利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;
补形平移.

考点突破 考点三 异面直线所成的角 【训练3】若例3中的条件“AB与CD成60°的角”改为“AB⊥CD” ,其余条件不变,则直线AB与MN所成的角为__ _. 解析 取AC的中点P,连接PM,PN, 1 则 PM // AB, 2 所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角, 由于AB⊥CD, 所以∠MPN=90°. 又AB=CD, 所以PM=PN,从而∠PMN=45°, 即AB与MN所成的角为45°. 答案 45°

课堂小结 思想方法

1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个 平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这 些点都是这两个平面的公共点,根据公理 3 可知这些点在交 线上或选择某两点确定一条直线,然后证明其他点都在这条 直线上. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1) 判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内 不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共 面,从而可得两线异面.

课堂小结 易错防范

1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义,不要 理解成“不在同一个平面内”. 2.不共线的三点确定一个平面,一定不能丢掉“不共线”条件.
π? ? 3.两条异面直线所成角的范围是?0,2?.

4.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽 视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等 于其补角.

考点突破 考点二 空间两条直线的位置关系 【例2】 如图是正四面体的平面展开图,G,H ,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这 个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为 异面直线;③GH与MN成60°角; ④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题 的序号是________. 解析 把正四面体的平面展开图还原.

关键是平面 展开图还原

如图所示, GH与EF为异面直线, BD与MN为异面直线, GH与MN成60°角,DE⊥MN.

答案

②③④


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