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逻辑判断推理中常用的逻辑公式


逻辑命题与推理
必然性推理(演绎推理) :对当关系推理、三段论、复合命题推理、关系推理和模态推理 可能性推理:归纳推理(枚举归纳、科学归纳) 、类比推理

命题
直言命题的种类: (AEIOae) ⑴全称肯定命题:所有 S 是 P(SAP) ⑵全称否定命题:所有 S 不是 P(SEP) ⑶特称肯定命题:有的 S 是 P(SIP) ⑷特称否定命题:有的 S 不是 P(SOP) ⑸单称肯定命题:某个 S 是 P(SaP) ⑹单称否定命题:某个 S 不是 P(SeP) 直言命题间的真假对当关系: 矛盾关系、 (上)反对关系、 (下)反对关系、从属关系 矛盾关系:具有矛盾关系的两个命题之间不能同真同假。主要有三组: SAP 与 SOP 之间。 “所有同学考试都及格了”与“有些同学考试不及格” SEP 与 SIP 之间。 “所有同学考试不及格”与“有些同学考试及格” SaP 与 SeP 之间。 “张三考试及格”与“张三考试不及格” 上反对关系:具有上反对关系的两个命题不能同真(必有一假) ,但是可以同假。即要么一个是假的,要么都是假的。 存在于 SAP 与 SEP、SAP 与 SeP、SEP 与 SaP 之间。 下反对关系:具有下反对关系的两个命题不能同假(必有一真) ,但是可以同真。即要么一个是真的,要么两个都是真 的。存在于 SIP 与 SOP、SeP 与 SIP、SaP 与 SOP 之间。 从属关系(可推出关系) :存在于 SAP 与 SIP、SEP 与 SOP、SAP 与 SaP、SEP 与 SeP、SaP 与 SIP、SeP 与 SOP 六种直言命题之间存在的对当关系可以用一个六角图形来表示, “逻辑方阵图”

SAP

SEP

SaP

SeP

SIP

SOP

直言命题的真假包含关系

全同关系、真包含于关系、真包含关系、交叉关系、全异关系 合同关系 SAP SEP SIP SOP 真 假 真 假 真包含于关系 真 假 真 假 真包含关系 假 假 真 真 交叉关系 假 真 真 真 全异关系 假 真 假 真

复合命题:负命题、联言命题、选言命题、假言命题 负命题的一般公式:并非 P 联言命题公式:p 并且 q “并且、?和?、既?又?、不但?而且、虽然?但是?” 选言命题:相容的选言命题、不相容的选言命题 相容的选言命题公式:p 或者 q“或、或者?或者?、也许?也许?、可能?可能?” 【一个相容的选言命题是真的,只有一个选言支是真的即可。只有当全部选言支都假时,相容的选言命题才是假的】 不相容选言命题公式:要么 p 要么 q “要么?要么?、不是?就是?、或者?或者?二者必居其一、或者?或者?二者不可兼得” 【一个不相容的选言命题是真的,有且只有一个选言支是真的。当选言支全真或全假时,此命题为假】 假言命题:充分条件假言命题、必要条件假言命题、充要条件假言命题 充分条件假言命题公式:如果 p,那么 q“如果?就?、有?就有?、倘若?就?、哪里有?哪里有?、一旦?就?、 假若?、只要?就?” 【有前件必然有后件。如果有前件却没有后件,这个充分条件假言命题就是假的。因此,对于一个充分条件的假言命 题来说,只有当其前件真而后件假时,命题才假。 】 必要条件假言命题公式:只有 p,才 q “没有?就没有?、不?不?、除非?不?、除非?才?” 【没有前件必然没有后件。如果没有前件也有后件,这个必要假言命题为假。对于一个必要条件的假言命题来说,只 有当其前件假而后件真时,命题才假。 】 充要条件假言命题公式:当且仅当 p,才 q 【有前件必然有后件,没有前件必然没有后件。充要条件假言命题在前件与后件等值即前件真并且后件真,或者前件 假并且后件假时,命题为真,在前件与后件不等值即前真后假,或前假后真时,命题为假】 充分条件与必要条件之间可以相互转化: 如果 p,那么 q===只有 q,才 p 只有 p,才 q,===如果 q,那么 p 模态命题:反映事物存在或发展的必然性或可能性的命题。模态命题包含“必然” 、 “可能”等模态词。 必然肯定命题:必然 P 必然否定命题:必然非 P

可能肯定命题:可能 p 可能否定命题:可能非 P 四者之间的关系如下:模态方阵 必然 P 必然非 P

可能 P

可能非 P

推理
1、直言命题的变形推理:换质推理、换位推理 ⑴换质推理也就是改变谓项。 “是”或者“不是” 除了改变联项外,同时还需要把结论中的谓项变为前提谓项的矛盾概念。 “所有 S 是 P”可以换质为“所有 S 不是非 P” “所有 S 不是 P”可以换质为“所有 S 是非 P” “有些 S 是 P”可以换质为“有些 S 不是非 P” “有些 S 不是 P”可以换质为“有些 S 是非 P” ⑵换位推理就是改变前提中主项与谓项的位置。 除了交换主项与谓项的位置外,还需要注意的是在前提中不周延的词项在结论中也不能周延。 “所有 S 是 P”换位为“有些 P 是 S” “所有 S 不是 P”换位为“所有 P 不是 S” “有些 S 是 P”换位为“有些 P 是 S” 注意: “有些 S 不是 P”不能换位为“有些 P 不是 S” 2、联言推理:分解式与组合式 分解式就是由前提中一个联言命题为真,推出其任一支命题为真的联言命题。 组合式就是由前提中一些支命题为真推出这些支命题所组成的联言命题为真的联言推理。 3、选言推理:相容的选言推理与不相容的选言推理 相容的选言推理规则: (只有一种有效的推理形式,即否定肯定式) 否定一部分选言支,就要肯定另一部分选言支; 肯定一部分选言支,不能因此而否定另一部分选言支; 不相容的选言推理规则: (否定肯定式、肯定否定式) 否定除了一个选言支以外的其余选言支,就要肯定那个没有被否定的选言支; 肯定一个选言支,就要否定其余的选言支; 4、假言推理

充分条件的假言推理规则: (有效推理:肯定前件式,否定后件式) 肯定前件就要肯定后件,否定后件就要否定前件; 否定前件不能否定后件,肯定后件不能肯定前件; 必要条件的假言推理规则: (有效推理:否定前件式;肯定后件式) 否定前件就要否定后件,肯定后件就要肯定前件; 肯定前件不能肯定后件,否定后件不能否定前件; 充要条件的假言推理规则: 肯定前件就要肯定后件,否定后件就要否定前件; 否定前件就要否定后件,肯定后件就要肯定前件; 假言连锁推理: 要求:前提中的第一个假言命题的后件必须与第二个假言命题的前件相同。 充分条件的假言连锁推理: 如果 p 那么 q 如果 q,那么 r 所以,如果 p,那么 r 必要条件的假言连锁推理: 只有 p,才 q 只有 q,才 r 所以,只有 p 才 r 5、模态推理 “必然 P”与“并非可能非 P”可以互相推出 “必然非 P”与“并非可能 P”可以相互推出 “可能 P”与“并非必然非 P”可以相互推出 “可能非 P”与“并非必然 P”可以相互推出 一个模态命题的负命题等值于与该模态命题具有矛盾关系的命题。 并非必然 P===可能非 P 并非必然非 P===可能 P 并非可能 P===必然非 P 并非可能非 P===必然 P “必然 P”可以推出“可能 P” “必然非 P”可以推出“可能非 P” “并非可能 P”可以推出“并非必然 P” “并非可能非 P”可以推出“并非必然非 P”

可能性推理类型:
削弱型:最能削弱型、最不能削弱型 加强型 前提与预设型 解释型:最能解释、最不能解释 评价型 结论性 词项的周延性 主项的周延性是由量项来决定的,量项是全称的则主项周延,量项是特称的则主项不周延; 谓项的周延性是由联项来决定的,联项是肯定的则谓项不周延,联项是否定的,则谓项周延。 六种直言命题之间存在的对当关系可以用一个六角图形来表示, “逻辑方阵图” SAP SaP SIP SOP SEP SeP

直言命题的真假包含关系 (全同关系、真包含于关系、真包含关系、交叉关系、全异关系) 合同关系 SAP SEP SIP SOP 真 假 真 假 真包含于关系 真 假 真 假 真包含关系 假 假 真 真 交叉关系 假 真 真 真 全异关系 假 真 假 真

四者之间的关系如下:模态方阵 必然 P 必然非 P

可能 P

可能非 P

相容的选言推理规则: (只有一种有效的推理形式,即否定肯定式) 不相容的选言推理规则: (否定肯定式、肯定否定式) 充分条件的假言推理规则: (有效推理:肯定前件式,否定后件式) 必要条件的假言推理规则: (有效推理:否定前件式;肯定后件式)


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