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2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学及答案-宁夏卷


2007 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)

文科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 II 卷第 22 题为选考题, 其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准 考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案使用 2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂基他答案标号, 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的 标号涂黑. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , ? , xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xm ? x)2 ] n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为标本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4πR2 , V ?
其中 R 为球的半径

4 3 πR 3

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A ? ?x | x ? ?1 ,B ? ?x | ?2 ? x ? 2? ,则 A ? B ? ( ? A. ?x | x ? ?2? C. ?x | ?2 ? x ? ?1 ? B. x| x ? ?1 )

?

?

D. ?x | ?1 ? x ? 2? )

2.已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则(

A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 3.函数 y ? sin ? 2 x ?

B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

? ?

π? ?π ? ? 在区间 ? ,π ? 的简图是( 3? ?2 ?
1



y
? ? 3

y

1
? 6

? ? 2

O
?1

?

x

?

? ?? O 3 2

?1

? 6

? x

A.

B.

y

y
?
? 3

1
? ? 2 ? O ? 6

?

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O
?1
D.

? x

C.

1 3 ,, , 4. 已知平面向量 a ? (11) b ? (1 ? 1) , 则向量 a ? b ?( 2 2



开始

? A. (?2, 1)

1) B. (?2,

k ?1

, C. (?1 0)

, D. (1 2)


5.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.2450 B.2500 C.2550 D.2652

S ?0


k ≤ 50?

是 6.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x ? 2x ? 3 的顶点
2

S ? S ? 2k

输 出

S
k ? k ?1

是 (b,c) ,则 ad 等于( A.3 B.2
2

) C.1 D. ?2

结束

7.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P (x1,y1 ), 2 (x2 , 2 ) , P ( x3,y3 ) 在抛 P y 1 3 物线上,且 2x2 ? x1 ? x3 ,则有( A. FP ? FP ? FP 1 2 3 C. 2 FP ? FP ? FP 2 1 3 )
2 2

B. FP ? FP2 1 D. FP2
2

? FP3

2

? FP· FP3 1

8. 已知某个几何体的三视图如下, 根据图中标出的尺 寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( )

4000 3 cm 3 8000 3 cm B. 3
A. C. 2000cm D. 4000cm
3

20

20 正视图

20 侧视图

3

10

9.若

cos 2? 2 ,则 cos? ? sin? 的值为 ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?


10 20 俯视图

( A. ?

7 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

7 2


10.曲线 y ? e x 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

A.

9 2 e 4

B. 2e

2

C. e

2

D.

e2 2

11.已知三棱锥 S ? ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 AB 上,SO ? 底 面 ABC , AC ?

2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是(



A. π B. 2π C. 3π D. 4π 12.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 乙的成绩 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数 丙的成绩 7 4 8 6 9 6 10 4

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(
A. s3 ? s1 ? s2 C. s1 ? s2 ? s3 B. s2 ? s1 ? s3 D. s2 ? s1 ? s3



第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考 生都必须做答.第 22 题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心 率为 . 14.设函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) 为偶函数,则 a ? 15.i 是虚数单位,i ? 2i ? 3i ? ? ? 8i ?
2 3 8

. . a ? bi 的形式表示,a,b ? R ) (用 .

16.已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? a6 ? 6 ,其前 5 项和 S5 ? 10 ,则其公差 d ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D .现 测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

18. (本小题满分 12 分) , 如 图 , A B,C,D 为 空 间 四 点 . 在 △ ABC 中 , 等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动. AB ? 2,AC ? BC ? 2 . (Ⅰ)当平面 ADB ? 平面 ABC 时,求 CD ; D (Ⅱ) △ AB 转动时, 当 是否总有 AB ? CD ?证明你的结论. 19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x
2

D

A B

C

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4

? 3 1? ? ?

20. (本小题满分 12 分) 设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .
2 2

1 3 , 1 , (Ⅰ)若 a 是从 0,2,四个数中任取的一个数, b 是从 0,2 三个数中任取的一个数,求上
述方程有实根的概率. (Ⅱ)若 a 是从区间 [0, 任取的一个数, b 是从区间 [0, 任取的一个数,求上述方程有实 3] 2] 根的概率. 21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2 ? y 2 ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q ,过点 P(0, 且斜率 2) 为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B . (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由. 22.请考生在A、B两题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. P 22.A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AP 是 ? O 的切线, P 为切点, AC 是 ? O 的 割线,与 ? O 交于 B,C 两点,圆心 O 在 ?PAC 的内部, A O 点 M 是 BC 的中点. M , (Ⅰ)证明 A P,O,M 四点共圆; B (Ⅱ)求 ?OAM ? ?APM 的大小.

??? ??? ? ?

??? ?

C

22.B(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? O1 和 ? O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? .
(Ⅰ)把 ? O1 和 ? O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过 ? O1 , ? O2 交点的直线的直角坐标方程.

2007 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案(宁夏)
一、选择题 1.A 2.C 7.C 8.B 二、填空题 13. 3 三、解答题 17.解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得 所以 BC ? 14.1

3.A 9.C 15. 4 ? 4i

4.D 10.D

5.C 11.D

6.B 12.B

16.

1 2

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD

CD sin ?BDC s sin ? · ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s tan ? sin ? · . sin(? ? ? )
D

在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ?

18.解: (Ⅰ)取 AB 的中点 E ,连结 DE,CE ,因为 ADB 是等 边三角形,所以 DE ? AB . 当平面 ADB ? 平面 ABC 时, 因为平面 ADB ? 平面 ABC ? AB , 所以 DE ? 平面 ABC , 可知 DE ? CE 由 已 知 可 得 DE ? 3 EC ? 1 , 在 Rt△DEC 中 , ,

E B

A

C

CD ? DE2 ? EC2 ? 2 .
(Ⅱ)当 △ ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB ? CD . 证明: (ⅰ)当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC= BC,AD ? BD ,所以 C,D 都在线段 AB 的垂 直平分线上,即 AB ? CD . (ⅱ)当 D 不在平面 ABC 内时,由(Ⅰ)知 AB ?DE .又因 AC ? BC ,所以 AB ? CE . 又 DE,CE 为相交直线,所以 AB ? 平面 CDE ,由 CD ? 平面 CDE ,得 AB ? CD . 综上所述,总有 AB ? CD . 19.解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ∞? . ?

? 3 ? 2

? ?

(Ⅰ) f ?( x) ? 当?

2 4 x 2 ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? ? . 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3

3 1 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1? x? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , 1? , ? ? , ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 ? ? ? ,

? 3 ? 2

? ?

? 1 ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 4 2 4 又 f ? ? ? ? f ? ? ? ln

? 3 1? ? ?

? 1? ? ?

1

? 3? ? 4?

?1? ?4?

3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ?1? 1 7

所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? ? ln . 2 ? 4 ? 16 ? 4 4? 20.解: 设事件 A 为“方程 a ? 2ax ? b ? 0 有实根” .
2 2 2 2 当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的充要条件为 a ≥ b .

? 3 1?

(Ⅰ)基本事件共 12 个:

(0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, .其中第一个数表示 a 的 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2)
取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P( A) ?

9 3 ? . 12 4

0 (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 ( a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,≤ b ≤ 2 . 0 构成事件 A 的区域为 (a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,≤ b ≤ 2,a ≥ b .

?

?

?

?

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以所求的概率为 ? ? . 3? 2 3
21.解:

0) 2) (Ⅰ)圆的方程可写成 ( x ? 6) ? y ? 4 ,所以圆心为 Q(6, ,过 P(0, 且斜率为 k 的直
2 2

线方程为 y ? kx ? 2 . 代入圆方程得 x ? (kx ? 2) ?12x ? 32 ? 0 ,
2 2

整理得 (1 ? k ) x ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 .
2 2



直线与圆交于两个不同的点 A, B 等价于

? ? [4(k ? 3)2 ] ? 4 ? 36(1 ? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 ,
解得 ?

3 ? 3 ? ? k ? 0 ,即 k 的取值范围为 ? ? ,? . 0 4 ? 4 ?

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 OA ? OB ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , 由方程①,

??? ??? ? ?

x1 ? x2 ? ?

4(k ? 3) 1? k 2

② ③

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 而 P(0 2) Q(6 0) PQ ? (6 ? 2) . ,, ,, ,

??? ?

所以 OA ? OB 与 PQ 共线等价于 ( x1 ? x2 ) ? 6( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

3 . 4

由(Ⅰ)知 k ? ? ,? ,故没有符合题意的常数 k . 0 22.A (Ⅰ)证明:连结 OP,OM . 因为 AP 与 ? O 相切于点 P ,所以 OP ? AP . 因为 M 是 ? O 的弦 BC 的中点,所以 OM ? BC . 于是 ?OPA ? ?OMA ? 180° . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部, 可知四边形 APOM 的对角 A P,O,M 四点共圆. , 互补,所以 , (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A P,O,M 四点共圆,所以

?3 ?4

? ?

P

A B

O
M

?OAM ? ?OPM . 由(Ⅰ)得 OP ? AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知 ?OPM ? ?APM ? 90° . 所以 ?OAM ? ?APM ? 90° .

C

22.B 解:以有点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单 位.
2 (Ⅰ) x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4cos ? 得 ? ? 4? cos? .

所以 x ? y ? 4 x .
2 2

即 x ? y ? 4 x ? 0 为 ? O1 的直角坐标方程.
2 2

同理 x ? y ? 4 y ? 0 为 ? O2 的直角坐标方程.
2 2

(Ⅱ)由 ?

? x2 ? y 2 ? 4x ? 0 ? 2 2 ?x ? y ? 4 y ? 0 ?

解得 ?

? x1 ? 0,? x2 ? 2 . ? ? y1 ? 0, y2 ? ?2 ?

即 ? O1 , ? O2 交于点 (0, 和 (2, 2) .过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ? x . 0) ?


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