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数学上学期期中试题-铜仁思南中学2016届高三上学期期中考试数学试题及答案(文)

思南中学 2016 届高三上学期期中考试

数学试卷(文科)

第 I 卷 (选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.)

1.已知 i 为虚数单位,则 (1? i)2 的模为

()

A. 1

B. 2

C. 2

D. 4

? ? 2.若集合 A ? x | x2 ? 2x ? 0 , B ? ?x | x ? 1? ,则 A? B 为

()

A.?x | 0 ? x ? 2} B.?x |1 ? x ? 2? C.?x | x ? 2? D.?x | x ? 1?

3.已知等比数列?an? 中, a1 ? 2 ,且有 a4a6 ? 4a72 ,则 a3 ?

A. 1 2

B. 1

C. 2

D. 1 4

()

4.已知 A是三角形 ABC 的内角,则“ cos A ? 1 ”是“ sin A ? 3 ”的

2

2

()

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知 m , n ,l 为三条不同的直线,? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )

A.? // ?,m ? ?,n ? ? ? m// n

B. l ? ?,? ? ? ? l ∥?

C. m ??,m ? n ? n //?

D.? ∥ ?,l ? ? ? l ? ?

6.某同学设计如图所示的程序框图用以计算和式12 ? 22 ? 32 ? ? 202 的值,则在判断框中 应填写( )

A. i ?19 C. i ? 20

B. i ?19 D. i ? 21

?x ? y ?3? 0 7.若变量 x,y 满足约束条件 ??x ? y ?1 ? 0 ,则 z ? 2x ? y 的最大值为 ( )
?? y ? 1

A. ?1

B. 0

C. 3

D. 4

8.已知函数

f

?

x?

?

2

cos

? ??

2

x

?

? 6

? ??

,下面四个结论中正确的是

(

)

A.函数 f ? x? 的最小正周期为 2? B.函数 f ? x? 的图象关于直线 x ? ? 对称
6
C.函数 f ? x? 的图象是由 y ? 2cos 2x 的图象向左平移 ? 个单位得到
6

D.函数

f

? ??

x

?

? 6

? ??

是奇函数

9.双曲线 mx2 ? y2 ? 1(m>0) 的右顶点为 A ,若该双曲线右支上存在两点 B,C 使得 ?ABC 为

等腰直角三角形,则实数 m 的值可能为

()

A. 1 2

B. 1

C. 2

D. 3

10.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3 ,且 x ? (? 3 ,0) 时, 2

f (x) ? log1 ?1? x?,则 f (2010) ? f (2011) ?
2

A.1

B. 2

C. ?1

D. ? 2

()

11.已知二面角? ? l ? ? 的平面角为? ,点 P 在二面角内, PA ? ? , PB ? ? , A, B 为

垂足,且 PA ? 4, PB ? 5, 设 A, B 到棱 l 的距离分别为 x, y ,当? 变化时,点 (x, y) 的

轨迹是

()

A. x 2 ? y 2 ? 9(x ? 0)

B. x 2 ? y 2 ? 9(x ? 0, y ? 0)

C. y 2 ? x 2 ? 9( y ? 0)

D. y 2 ? x2 ? 9(x ? 0, y ? 0)

? y?x

12.设不等式组

? ?

y

?

?x

表示的平面区域为

A ,不等式

y

?

ax 2

?

b(b

?

0, b

为常数)表

?? y ? 1

示的平面区域为 B ,P(x, y) 为平面上任意一点,p :点 P(x, y) 在区域 A 内,q :点 P(x, y)

在区域 B 内,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( ) A. 0 ? a ? 1? b B. 0 ? a ? 1? b C. 0 ? a ? 1? b D. a ? 1? b

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题后的横线上.)
13. 某市有三类医院,甲类医院有 4000 病人,乙类医院有 2000 病人,丙类医院有 3000 人, 为调查三类医院的服务态度,利用分层抽样的方法抽取 900人进行调查,则从乙类医
院抽取的人数为 _____________人.
14. 如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视图是一个圆, 那么这个几何体的侧.面.积.为___

15. 已知不等式 x 2 ? 6x ? a(6 ? a) ? 0 的解集中恰有三个整数,则实数 a 的取值范围为
___________ .
16. 椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,A、B 是顶点,F 是左焦点,当 BF⊥AB 时,

此类椭圆称为“黄金椭圆”,其离心率为 5 ?1 ,类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离 2

心率 e =

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? 3 sin x cos x ? 3 sin 2 x ? 3 .

2

2

4

(Ⅰ) 求函数 f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)已知 ?ABC中,角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c ,若 f (A) ? 0 , a ? 3, b ? 2 ,求 ?ABC的面积 S .

18.(本小题满分 12 分)
在数列?an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n

(1)设 bn

?

an 2 n ?1

, 证明?bn ?是等差数列;

(2)求数列?an ?的前 n 项和 Sn 。

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知多面体 ABC-DEFG 中,AB、AC、AD 两两互相垂直,平面 ABC∥平面 DEFG,
平面 BEF∥平面 ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,

(1)试判断 CF 是否与平面 ABED 平行?并说明理由; (2)求多面体 ABC-DEFG 的体积。
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? mx ? m , g(x) ? 2ln x . x
(Ⅰ)当 m ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程;
(Ⅱ)若 x ? ?1, e? 时,不等式 f (x) ? g(x) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

C



x a

2 2

?

y2 b2

?

1



F1

,

F2

分别为左,右焦点,离心率为

1 2

,点 A 在椭圆 C

上且满足: AF1 ? 2 , AF2 F1 A ? ?2 AF2 ? F1 A , 过右焦点 F2 与坐标轴不垂直的直

线 l 交椭圆于 P,Q 两点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)在线段 OF2 上是否存在点 M (m,0) 使得以线段 MP, MQ 为邻边的四边形是菱形? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)
如图,直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OA ? OB,CA ? CB, ⊙ O 交直线 OB 于 E , D ,连接 EC,CD .
(Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线;

(Ⅱ)若 tan ?CED ? 1 , ⊙ O 的半径为 3 ,求 OA的长. 2

23.(本小题满分 10 分)

已知在直角坐标系

xOy

中,圆锥曲线

C

的参数方程为

? ? ?

x? y?

2 c os? 3 sin?

(?

为参数),定

点 A(0,? 3) , F1, F2 是圆锥曲线 C 的左,右焦点.

(Ⅰ)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过点 F1 且平行于直线 AF2 的直线 l 的极坐标方程;
(Ⅱ)在(I)的条件下,设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E, F 两点,求弦 EF 的长.

24.(本小题满分 10 分)
设函数 f (x) ? 2x ?1 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f (x) ? 2的解集; (Ⅱ) ?x ? R ,使 f (x) ? t 2 ? 11t ,求实数 t 的取值范围.
2

参考答案

一、选择题:(每小题 5 分,共计 60 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 C B B A D C C B A A B D

二、填空题:(每小题 5 分,共计 20 分)

13. 200

?
14.
2

三、解答题:

17.(本小题满分 12 分)

15. [1,2) ? (4,5]

5 ?1
16.
2

(Ⅰ) f (x) ? 3 sin 2x ? 3 cos 2x

4

4

? 3 sin(2x ? ? ) …2 分

2

3

则 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ……………………………………4 分

2

3

2

则函数

f

(x)

的单调递增区间为 ???k?

?

5? 12

, k?

?

? 12

???, k

?

Z

………………6



(Ⅱ) 因为 f (A) ? 0 ,所以 3 sin(2 A ? ? ) ? 0 ,

2

3

解得 A ? ? 或 A ? 5 ? ,

3

6

又故 A ? ? ……………8 分 3

由 a ? b ,得 sin B ? 1,则 B ? ? , C ? ? ,……10 分

sin A sin B

26

S ? 1 ab sin C ? 3 …………12 分

2

2

18.(本小题满分 12 分)

(1)由已知 an?1 ? 2an ? 2n 得

bn?1 ?

an?1 2n

?

2an ? 2n

2n

?

an 2 n ?1

? 1 ? bn

? 1,

又 b1 ? a1 ? 1
? ?bn ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列;

(2)由(1)知

an 2n?1

? n,?an

? n ? 2n?1

Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 2Sn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ? ? n ? 2n 两式相减得 ? Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?2n?1 ? n ? 2n ? Sn ? (n ? 1) ? 2n ? 1
19.(本小题满分 12 分) 解(1)CF∥平面 ABED.--------------------------------------------------------------1 分
∵平面 ABC∥平面 DEFG,面 ABC 面 ADGC =AC, 面 ADGC 面 GDEF =DG ∴ AC // DG ,同理 AC // EF ---------------------------------------3 分 ∴ AC // EF ∵AC=EF, ∴AEFC 为平行四边形
∴平面 BEF∥平面 ADGC,
∴ CF // AE ,∵ AE ? 面 ABCD , CF ? 面 ABCD
∴CF∥平面 ABED--------------------------------------------------------------------6 分
(2)连结 BG,BD, ∵ AB ? AC, AB ? AD 且 AC AD ? A ∴ AB ?平面 ADGC

同理可得 BE ? 面 DEFG-----------------------------------------------------------------8 分 V ∵ ABC-DEFG ? VB? ADGC ? VB?EFGD

1

1

VB?ADGC ? 3 SADGC AB ? 2 ,VB?EFGD ? 3 SEFGD BE ? 2

?VABC-DEFG ? 4 .-------------------------------------------------------------------------12 分
20.(本小题满分 12 分)

(Ⅰ)

m

?

2 时,

f

?x?

?

2x

?

2 x



f

'?x?

?

2

?

2 x2

,

f

'?1?

?

4

,切点坐标为

?1,0? ,

? 切线方程为 y ? 4x ? 4

? ? (2) mx ? m ? 2ln x ? 2 恒成立, 即 m x2 ?1 ? 2x ? 2x ln x 恒成立, x

又 x2 ?1 ? 0 ,则当 x ? ?1, e? 时, m ? 2x ? 2x ln x 恒成立,
x2 ?1

令 G?x?

?

2x

? 2x ln x2 ?1

x

,只需

m

小于 G?x?

的最小值,

? ? G'?x? ? ? 2(x2 ln x ? ln x ? 2) , x2 ?1 2

?1 ? x ? e ,?ln x ? 0 ,? 当 x ? ?1,e?时 G'?x? ? 0 ,

?G?x?在 ?1, e?上单调递减,?G?x?在 ?1, e?的最小值为 G?e? ? 4e ,
e2 ?1



m

的取值范围是

?? ?

?

?,

e

4e 2?

1

?? ?



21.(本小题满分 12 分)

… 12 分

解:(1)由已知 e ?

1 ,所以 2c ? a , 2

AF1

? 2,

AF 2

? 2a ? 2

又因为

AF2

F1 A

? ?2 AF2 ? F1 A ,所以 cos?F1 AF2

?

1 ,--------------------------------2 分 2

由余弦定理 a2 ? 4 ? (2a ? 2)2 ? 2 ? 2(2a ? 2) ? 1 ? a2 ? 4a ? 4 ? 0 ? a ? 2 ,----4 分 2

所以 c ? 1 , b2 ? a2 ? c2 ? 3 ,所以椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1 -------------------------------5 分 43

(2)假设存在点 M (m,0) 满足条件,设 P(x1, y1 ) ,Q(x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 y ? k(x ?1) ,

联立:

?y ??3x 2

? k(x ?1) ? 4y 2 ? 12

?

(3

?

4k

2 )x2

? 8k

2x

?

4k 2

? 12

?

0 ,则

8k 2

x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 ,----------------------------------------------------------------------------7 分

x1 x2

?

4k 2 3?

? 12 4k 2

MP ? (x1 ? m, y1), MQ ? (x2 ? m, y2 ), PQ ? (x2 ? x1, y2 ? y1),

MP ? MQ ? (x2 ? x1 ? 2m, y2 ? y1),

由题知 (MP ? MQ) ? PQ ? (x2 ? x1 ? 2m)(x2 ? x1) ? (y2 ? y1)(y2 ? y1) ? 0 , 因为 x2 ? x1 ? 0 ,

所以 x2 ? x1 ? 2m ? k( y2 ? y1) ? 0 ,即 x2 ? x1 ? 2m ? k 2 (x2 ? x1 ? 2) ? 0 ,

则 8k 2 ? 2m ? k 2 ( 8k 2 ? 2) ? 0 ,

3 ? 4k 2

3 ? 4k 2

所以

m

?

3

k2 ? 4k

2

,---------------------------------------------------------------------10 分

k 2 ? 3m ? 0 ? 0 ? m ? 1

1? 4m

4

,又 M (m,0) 在线段 OF2 上,则 0 ? m ? 1,

故存在 m ? (0, 1 ) 满足题意.-----------------12 分 4
22.(本小题满分 10 分)
证明:(1)如图,连接 OC,?OA ? OB,CA ? CB,?OC ? AB ?OC 是圆的半径, ? AB 是圆的切线.-------------------------------3 分
(2) ED是直径,??ECD ? 90 ? ,??E ? ?EDC ? 90 ?

又 ?BCD ? ?OCD ? 90 ? , ?OCD ? ?ODC ,??BCD ? ?E,又?CBD ? ?EBC ,

??BCD∽ ?BEC,? BC ? BD ? BC2 ? BD ? BE ,-----------5 分 BE BC

tan ?CED ? CD ? 1 , EC 2

?BCD∽ ?BEC, BD ? CD ? 1 -----------------------7 分 BC EC 2

设 BD ? x,则BC ? 2x, ? BC 2 ? BD ? BE ?(2x)2 ? x(x ? 6) ? BD ? 2 --------9 分

?OA ? OB ? BD ? OD ? 2 ? 3 ? 5------------------------10 分
23.(本小题满分 10 分)

解:(1)圆锥曲线 C 的参数方程为

? x?

? ?

y

?

2 c os? 3 sin?

(?

为参数),

所以普通方程为 C : x 2 ? y 2 ? 1 ----------------------------------------------2 分 43

A(0,? 3), F2 (1,0), F1(?1,0) ? k ? 3,l : y ? 3(x ? 1)

? 直线 l 极坐标方程为: ? sin? ? 3? cos? ? 3 ? 2? sin(? ? ? ) ? 3 ---5 分 3

(2)

? ?

x2 4

?

y2 3

?1

? 5x2

? 8x ? 0 ,

? y ? 3(x ? 1)

MN ?

1? k2

(x1 ? x2 )2

? 4x1x2

? 16 -------------------------------------------------10 分 5

24.(本小题满分 10 分)

解:(1)

f

(x)

?

? ?

?

???3x

?

?

x ? 3, x ? ? 1 2
?1,? 1 ? x ? 2
x ? 3, x ? 2

2

,----------------------------------------------------------2



??

当 x ? ? 1 ,?x ? 3 ? 2, x ? ?5,? x ? ?5 2

当 ? 1 ? x ? 2,3x ?1 ? 2, x ? 1,?1 ? x ? 2 2
当 x ? 2, x ? 3 ? 2, x ? ?1,? x ? 2
综上所述 ?x | x ? 1或x ? ?5? ----------------------5 分

(2)易得

f

( x) m in

?

?

5 2

,若 ?x ?

R



f

(x)

?

t2

? 11t 2

恒成立,

则只需

f

( x) m in

?

?

5 2

?

t2

? 11t 2

?

2t 2

? 11t

?

5

?

0

?

1 2

?

t

?

5,

综上所述 1 ? t ? 5 ------------------------------10 分 2


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