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苏北四市2009-2010学年度第一学期期末高三数学试卷

绝密★启用前

苏北四市高三年级教学质量检测





必做题部分
注意事项: 1.考试时间 120 分钟,试卷满分 160 分.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号填写 在答题卡上规定的地方. 2.答题时,请使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字迹工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答 案无效.请保持卡面清洁,不折叠,不破损. 一、填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 请把答案直接填写在答题 卡 相 .. . . 应位置上 . ....
2 1.已知集合 A ? ??1, 0 ,1, 2? , B ? x x ? x ? 0 ,则 A

?

?

B?






2.复数 z ? (1 ? i ) (1 ? 2 i ) ( i 为虚数单位)的实部是 ▲ 3.运行如图的算法,则输出的结果是 ▲ .

x←0 While x<20 x ← x+1 x ← x2 End While Print x
第 3 题图 第 4 题图

4.某工厂对一批产品进行抽样检测,根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制 的频率分布直方图如图所示,已知产品净重的范围是[96,106],若样本中净重在

[96 ,100) 的产品个数是 24,则样本中净重在 [98 ,104) 的产品个数是 ▲



5.已知函数 f ( x) ? log 2 x , x ? ? , 2? ,若在区间 ? , 2 ? 上随机取一点 x0 ,则使得 2 2

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

f ( x0 ) ? 0 的概率为 ▲


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6.已知 a ,b 是非零向量,且 a ,b 的夹角为 7.已知曲线 f ( x) ? x sin x ? 1 在点 ( 数a ? ▲ .
2

? a b ,若向量 p ? ,则 p ? ▲ ? 3 | a | | b|



?
2

, 1) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 互相垂直,则实

8.由命题“存在 x ? R ,使 x ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,求得 m 的取值范围是 (a , ? ?) , 则实数 a 的值是 ▲ .

9.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ) ( ? ? 0) ,若 f ( ) ? f ( ) ,且 f ( x ) 在区间 ( , ) 内 有最大值,无最小值,则 ? ? ▲ . 10.连续两次掷一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正 方体玩具) ,记出现向上的点数分别为 m , n ,设向量 a ? ? m , n ? , b ? ? 3 , ? 3? ,则 a 与 b 的夹角为锐角的概率是 ▲ .

? 3

? 6

? 2

? ? 6 2

11.在数列 {an } 中,已知 a1 ? 2 , a2 ? 3 ,当 n ? 2 时, an ?1 是 an ? an?1 的个位数, 则 a2010 ? ▲ . .

2 x ??a , b? 的值域为 ? ?1, 3? ,则 b ? a 的取值范围是 ▲ 12.已知函数 f ( x) ? x ? 2x ,

13.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , 0) ,F2 (c , 0) ,若 a 2 b2

椭圆上存在点 P (异于长轴的端点) ,使得 c sin ?PF 1F 2 ? a sin ?PF 2F 1 ,则该椭圆 离心率的取值范围是 ▲ .
3

14.已知 t 为常数,函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? t ? 1 在区间 ? ?2 ,1? 上的最大值为 2,则实数

t? ▲ .
二、解答题: 本大题共 6 小题, 15-17 每题 14 分,18-20 每题 16 分,共计 90 分. 请在答 . 题卡 指定的区域内作答 , 解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. .......... 15.设△ABC 的三个内角 A,B,C 对边分别是 a,b,c,已知 (1)求角 B ; (2)若 A 是△ABC 的最大内角,求 cos(B ? C) ? 3 sin A 的取值范围.

a b , ? sinA 3 cos B

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16.如图①, E , F 分别是直角三角形 ABC 边 AB 和 AC 的中点, ?B ? 90 ,沿 EF 将 M 为线段 AC 三角形 ABC 折成如图②所示的锐二面角 A 中点.求证: 1 1 ? EF ? B ,若 (1)直线 FM // 平面 A1 EB ; (2)平面 A 1 FC ? 平面 A 1BC .



A1
E F M E B B
图①

F C



图②

17.已知数列 {an } 是等比数列, S n 为其前 n 项和. (1)若 S 4 , S10 , S 7 成等差数列,证明 a1 , a7 , a4 也成等差数列; (2)设 S 3 ?

3 21 , S6 ? , bn ? ? an ? n2 ,若数列 {bn } 是单调递减数列,求实数 ? 的取 2 16

值范围.

18.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采 用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可近似 的表示为: y ?

1 2 x ? 200 x ? 80000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值 2

为 100 元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补 贴多少元才能使该单位不亏损?

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19.在矩形 ABCD 中,已知 AD ? 6 , AB ? 2 ,E、F 为 AD 的两个三等分点, AC 和 BF 交于点 G , ?BEG 的外接圆为⊙ H .以 DA 所在直线为 x 轴,以 DA 中点 O 为坐标原点, 建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求以 F、E 为焦点, DC 和 AB 所在直线为准线的椭圆的方程; (2)求⊙ H 的方程; (3)设点 P(0 , b) ,过点 P 作直线与⊙ H 交于 M,N 两点,若点 M 恰好是线段 PN 的中 点,求实数 b 的取值范围. y C G D F O E A x B

20.已知正方形 ABCD 的中心在原点,四个顶点都在函数 f ( x) ? ax ? bx ? a ? 0? 图象
3

上. (1)若正方形的一个顶点为 (2 ,1) ,求 a , b 的值,并求出此时函数的单调增区间; (2)若正方形 ABCD 唯一确定,试求出 b 的值.

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数学附加题
(考试时间 30 分钟,试卷满分 40 分)
21. 【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在 答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使得 CD=AC, 连结 AD 交⊙O 于点 E,连结 BE 与 AC 交于点 F,求证 BE 平分∠ABC. A E O B F C 第 21(A)题 B.选修 4-2:矩阵与变换 已知圆 C : x ? y ? 1 在矩阵 A= ?
2 2

D

?a 0? ? (a ? 0 , b ? 0) 对应的变换下变为椭圆 ?0 b?

x2 ?

y2 ? 1 ,求 a , b 的值. 4

C.选修 4-4:坐标系与参数方程

π 2 cos(? ? ) ,以极点为原点,极轴为 x 轴 4 4 ? x ? 1? t , ? ? 5 的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,求直线 l 3 ? y ? ?1 ? t , ? 5 ? 被圆 C 所截得的弦长.
在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ?

D.选修 4-5:不等式选讲 若正数 a,b,c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求

1 1 1 ? ? 的最小值. 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2
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22. 【必做题】如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? 2 ,

AF ? 1 .
(1) 求直线 DF 与平面 ACEF 所成角的正弦值; (2) 在线段 AC 上找一点 P,使 PF 与 DA 所成的角为 60 ,试确定点 P 的位置. E F C B A 第 22 题图

D

23. 【必做题】已知 f ( n) ? 1 ?

1 1 1 ? ? 23 33 43

?

1 3 1 * , g ( n) ? ? 2 , n ? N . 3 n 2 2n

(1)当 n ? 1, 2 , 3 时,试比较 f ( n) 与 g (n) 的大小关系; (2)猜想 f ( n) 与 g (n) 的大小关系,并给出证明.

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苏北四市高三年级教学质量检测 数学参考答案与评分标准
一、填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. ?0 ,1? ; 8.1; 9. 2. ?1 ; 3.25; 4.60; 5.

2 ; 3

6. 3 ;

7.1 ; 14. 1.

1 ; 2

10.

5 ; 12

11. 4;

12. [2 , 4] ;

13. ( 2 ? 1 ,) 1;

二、解答题: 本大题共 6 小题, 15-17 每题 14 分,18-20 每题 16 分,共计 90 分. 15. (1)在△ABC 中,由正弦定理,得 又因为

a b ? , sin A sin B

?????2 分 ?????4 分 ?????6 分

a b ,所以 sin B ? 3 cos B , ? sinA 3 cos B
π . 3

所以 tan B ? 3 , 又因为 0 ? B ? π , 所以 B ? (2)在△ABC 中, B ? C ? π ? A ,

所以 cos(B ? C) ? 3sin A ? 3sin A ? cos A = 2sin( A ? ) ,

π 6

??? 10 分

π 2π π π π ≤ A< , ≤ A? < , 6 3 3 6 2 1 π π 所以 sin( A ? ) ? [ ,1) ,即 2sin( A ? ) ? [1 , 2) , 6 6 2
由题意,得 所以 cos(B ? C) ? 3 sin A 的取值范围 [1 , 2) . 16.(1)取 A 1B 中点 N ,连接 NE , NM , ∥1 BC , EF ∥ 1 BC ,所以 MN ∥FE , 则 MN = = = 2 2 又因为 FM ? 平面A 1EB, ??????14 分

A1
M E F C

所以四边形 MNEF 为平行四边形,所以 FM ∥ EN ,??4 分



EN ? 平面A1EB ,



所以直线 FM // 平面 A1 EB . ?????????????????7 分 (2)因为 E , F 分别 AB 和 AC 的中点,所以 A1F ? FC ,所以 FM ? AC 1 ?9 分 同理, EN ? A1B , 由(1)知, FM ∥ EN ,所以 FM ? A1B
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又因为 AC 1

A1B ? A1 , 所以 FM ? 平面A1BC , ???????????12 分

又因为 FM ? 平面A 1 FC 所以平面 A 1FC ? 平面 A 1BC . 17(1)设数列 {an } 的公比为 q , 因为 S 4 , S10 , S 7 成等差数列,所以 q ? 1 ,且 2S10 ? S 4 ? S 7 . 所以 ???????????????14 分

2a1 1 ? q10 a 1 ? q 4 a1 1 ? q 7 , ? 1 ? 1? q 1? q 1? q

?

?

?

?

?

?

因为 q ? 0 ,所以 1 ? q 3 ? 2q 6 . ????????????????4 分 所以 a1 ? a1q3 ? 2a1q6 ,即 a1 ? a4 ? 2a7 . 所以 a1 , a7 , a4 也成等差数列. ??????????????????6 分 (2)因为 S 3 ? 所以

3 21 , S6 ? , 2 16

a1 1 ? q 3 3 ? ,????????① 1? q 2

?

?

a1 1 ? q 6 21 ,????????② ? 1? q 16
由② ? ①,得 1 ? q ?
3

?

?

7 1 ,所以 q ? ? ,代入①,得 a1 ? 2 . 8 2
, ?????????????????????8 分

? 1? 所以 an ? 2 ? ? ? ? ? 2?

n ?1

又因为 bn ? ?an ? n 2 ,所以 bn ? 2? ? ?
*

? 1? ? ? 2?

n ?1

? n2 ,

由题意可知对任意 n ? N ,数列 {bn } 单调递减,

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所以 bn?1

? 1? ? 1? 2 ? bn ,即 2? ? ? ? ? ?n ? 1? ? 2? ? ? ? ? 2? ? 2?
n
*

n

n ?1

? n2 ,

即 6? ? ? ? ? 2n ? 1 对任意 n ? N 恒成立, ????????????10 分

? 1? ? 2?

当 n 是奇数时,? ? ? 所以 ? ? ?1 ;

(2n ? 1)2n (2n ? 1)2n ,当 n ? 1时 ,? 取得最大值-1, 6 6

????????????????????????12 分

10 (2n ? 1)2n (2n ? 1)2n 当 n 是偶数时, ? ? ,当 n ? 2时 , 取得最小值 , 3 6 6
所以 ? ?

10 . 3 10 10 ,即实数 ? 的取值范围是 (?1, ) .????14 分 3 3

综上可知, ?1 ? ? ?

18(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:

y 1 80000 ? x? ? 200 ???????????????????4 分 x 2 x

?2

1 80000 x? ? 200 ? 200 , 2 x
1 80000 x? ,即 x ? 400 时, 2 x

当且仅当

才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元.???????8 分 (2)设该单位每月获利为 S , 则 S ? 100 x ? y ?????????????????????????10 分

1 1 ? 100 x ? ( x 2 ? 200 x ? 80000) ? ? x 2 ? 300 x ? 80000 2 2 1 ? ? ( x ? 300) 2 ? 35000 2 因为 400 ? x ? 600 ,所以当 x ? 400 时, S 有最大值 ?40000 . 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元,才能不亏损.????16 分
19. (1)由已知,设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

由于焦点 E 的坐标为 (1, 0) , 它对应的准线方程为 x ? 3 , ??????????
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2分 所以 c ? 1 , 所 以

a2 ? 3 ,于是 a 2 ? 3 , b2 ? 2 , c
所 求 的 椭 圆 方 程 为 :

x2 y 2 ? ? 1. 3 2

?????????????????4 分

(2) 由题意可知 A (3 , 0) , B (3 , 2) , C (?3 , 2) , F (?1, 0) . 所以直线 AC 和直线 BF 的方程分别为: x ? 3 y ? 3 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 ,

3 ? x? , ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 , 3 4 ? 5 由? 解得 ? 所以 G 点的坐标为 ( , ) .??????6 5 5 ?x ? 2 y ?1 ? 0 , ?y ? 4 , ? 5 ?
分 所以 kEG ? ?2 , k BF ?

1 , 2

因为 kEG ? kBF ? ?1 ,所以 EG ? BF ,????????????????8 分 所以⊙ H 的圆心为 BE 中点 H (2,1) ,半径为 BH ? 2 , 所以⊙ H 方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 2 .???????????????10 分 (3) 设 M 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 N 点的坐标为 (2 x0 , 2 y0 ? b) , 因为点 M , N 均在⊙ H 上,所以 ?
2 2 ? ?( x0 ? 2) ? ( y0 ? 1) ? 2 , 2 2 ? ?(2 x0 ? 2) ? (2 y0 ? b ? 1) ? 2 ,

① ②



由②-①×4,得 8x0 ? 4(1 ? b) y0 ? b ? 2b ? 9 ? 0 ,
2

所以点 M ( x0 , y0 ) 在直线 8x ? 4(1 ? b) y ? b ? 2b ? 9 ? 0 ,??????12 分
2

又因为点 M ( x0 , y0 ) 在⊙ H 上,

(2 , 1) 所以圆心 H 到直线 8x ? 4(1 ? b) y ? b ? 2b ? 9 ? 0 的距离
2

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16 ? 4(1 ? b) ? b 2 ? 2b ? 9 64 ? 16(1 ? b) 2
) ? 10 ? 4 即 (b ? 1
2

? 2

,????????????14 分

8 ? 2(b ? 1)2 ,

整理,得 (b ?1)4 ?12(b ?1)2 ? 28 ? 0 ,即 [(b ?1)2 ? 2][(b ?1)2 ?14] ? 0 , 所以 1 ? 14 ? b ? 1 ? 14 ,故 b 的取值范围为 [1 ? 14,1 ? 14] .???16 分 解法二:过 H 作 HK ? MN 交 MN 于 K , 设 H 到直线 PM 的距离 HK ? d ,则 y P Q M K H x N

PK ? 3MK ? 3 MH ? d ,
2 2

PH ? PK ? d ? 9MH ? 8d ? 18 ? 8d ,
2 2 2 2 2

O

又因为 PH ?

PQ 2 ? QH 2 ? (b ? 1) 2 ? 4

所以 18 ? 8d 2 ?

(b ? 1) 2 ? 4 , 8d 2 ? 14 ? (b ? 1)2 ,因为 0 ? 8d 2 ? 16 ,

所以 0 ? 14 ? (b ? 1)2 ? 16 ,所以 (b ? 1)2 ? 14 , 1 ? 14 ? b ? 1 ? 14 ; 解法三:因为 PH ? PM ? MH , PM ? 2MK ? 2MH ,所以 PH ? 3MH ? 3 2 所 以

P H ?

2

P ? Q

2

Q( ?H 1 ? )2 b 4 ?

3 ? 所2 以 ,

(b ? 1)2 ? 14



1 ? 14 ? b ? 1 ? 14 .
20. (1)因为一个顶点为 (2,1) ,所以必有另三个顶点 (?2, ?1) , (1, ?2) , (?1, 2) ,
3 将 (2,1) , (1, ?2) 代入 y ? ax ? bx ,得 a ?

5 17 ,b ? ? . ???????4 分 6 6

所以 f ( x) ? 因为 f ?( x) ?

5 3 17 x ? x. 6 6 1 17 17 (15 x 2 ? 17) ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或x?? , 6 15 15

所以函数 f ( x ) 单调增区间为 (? ?, ?

17 17 )和( , ? ?) .????????6 分 15 15
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(2)设正方形 ABCD 对角线 AC 所在的直线方程为 y ? kx (k ? 0) ,则对角线 BD 所在 的直线方程为 y ? ? 由?

1 x . k
2

? y ? kx, ? y ? ax ? bx,
3

解得 x ?
2

k ?b , a
2 2 2

k ?b , a 1 1 ? ?b ?b 2 1 1 ? k 同理, BO2 ? [1 ? (? )2 ] ? k , ?? 2 ? k k a k a 1 3 2 2 2 又因为 AO ? BO ,所以 k ? k b ? ? b ? 0 .???????????10 分 k 1 1 1 2 1 2 即 k ? 2 ? b(k ? ) ? 0 ,即 (k ? ) ? b(k ? ) ? 2 ? 0 . k k k k 1 2 令 k ? ? t 得 t ? bt ? 2 ? 0 k 1 因为正方形 ABCD 唯一确定, 则对角线 AC 与 BD 唯一确定, 于是 k ? 值唯一确定, k 1 2 所以关于 t 的方程 t ? bt ? 2 ? 0 有且只有一个实数根,又 k ? ? t ? R . k
所以 AO ? x ? y ? (1 ? k ) x ? (1 ? k ) ?
2 2

所以 ? ? b ? 8 ? 0 ,即 b ? ?2 2 .???????????????14 分
2

1 ? ?b k ?b 1 2 k ? 0 , a ? 0 ,所以 b ? k ;又 因为 x ? ? 0 ,所以 b ? ? ,故 b ? 0 . a k a
因此 b ? ?2 2 ;

1 ?? 2, k ? 2? 6 1 ? 2? 6 ? 2? 6 1 ? 2? 6 于是 k ? ,? ? ;或 k ? ,? ? 2 k 2 2 k 2 于是正方形 ABCD 唯一确定.????????????????????16 分
反过来 b ? ?2 2 时, t ? ? 2 , k ?

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数学附加题
参考答案与评分标准 A 因为 CD=AC,所以∠ D=∠ CAD. 因为 AB=AC,所以∠ ABC=∠ ACB. 因为∠ EBC=∠ CAD,所以∠ EBC=∠ D.??????????????5 分 因为∠ ABC=∠ ABE+∠ EBC,∠ ACB=∠ D+∠ CAD. 所以∠ ABE=∠ EBC,即 BE 平分∠ ABC.??????????????10 分 B 设 P( x0 , y0 ) 为圆 C 上的任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P?( x0 ? , y0 ?) ,

? x0? ? ? a 0 ? ? x0 ? ?? ? ? ? y ? ,????????????????? 2 分 ? y 0 b ? ? 0? ? 0? ? ? x0 ? x ? , 0 ? ? x0? ? a x0 , ? a 所以 ?????????????????4 分 ? ? ? y ? y0? ? b y0 , 0 ?y ? , ? b ? 0 2 又因为点 P( x0 , y0 ) 在圆 C: x 2 ? y 2 ? 1 上,所以 x 2 , ????6 分 0 ? y0 ? 1
则 ?

? 2 y0 ?2 x0 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1. ,即 a 2 b2 a2 b2 y2 2 ? 1 ,???????????8 分 由已知条件可知,椭圆方程为 x ? 4 2 所以 a 2 ? 1, b ? 4 ,因为 a ? 0, b ? 0, 所以 a ? 1, b ? 2 。 ????????????????? 10 分 ? C 曲线 C 的极坐标方程 ? ? 2 cos(? ? ), 可化为? ? cos ? ? sin ? , 4 1 2 1 2 1 2 2 化为直角坐标方程为 x ? y ? x ? y ? 0, 即 ( x ? ) ? ( y ? ) ? . ?????3 分 2 2 2
所以

4 ? x ? 1 ? t, ? ? 5 (t 为参数)可化为 3x ? 4 y ? 1 ? 0 ,???????????6 直线 l : ? ? y ? ?1 ? 3 t , ? 5 ?


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1 1 3? ? 4 ? ?1 1 2 2 ? , 圆心到直线的距离 d ? ???????????????8 分 5 10
弦长 L ? 2 R ? d ?
2 2

7 .???????????????????????10 5

分 D. 因为 a ? b ? c ? 1 ,a,b,c 为正数,由柯西不等式, 所以 ( 所以

1 1 1 ? ? )[(3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2)] ? (1 ? 1 ? 1) 2 ???6 分 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

1 1 1 ? ? ? 1,????????????????????8 分 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2
1 时,原式取最小值 1.?????????????????? 3

当且仅当 3a ? 2 ? 3b ? 2 ? 3c ? 2 ,即 a ? b ? c 时“=”成立, 所以当 a ? b ? c ? 10 分 22.(1) 以 CD , CB , CE 为正交基底,建立如图空间直角坐标系, 则 E (0, 0,1) , D( 2, 0, 0) , B 0, 2, 0 ,

?

?

z

A

?

2, 2, 0 , F ( 2, 2,1) ,
C D

?

E F B A
y

因为 AC ? BD , AF ? BD , 所以 BD 是平面 ACEF 法向量,???2 分 又因为 DB ? (? 2, 2,0), DF ? (0, 2,1) , 所以 cos DF , DB ?

x

3 , 3 3 .???????5 分 3

故直线 DF 与平面 ACEF 所成角正弦值为

(2)设 P(a, a,0) 0 ≤ a ≤ 2 ,则PF ? ( 2 ? a, 2 ? a,1), DA ? (0, 2,0) .

?

?

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因为 ? PF , DA ?? 60 ,所以 cos60 ?

2 2?

? 2?

2 ?a

? 2 ? a?

2

? ?1

1 . 2

解得 a ?

2 ,故存在满足条件的点 P 为 AC 的中点.?????10 分 2

23.(1) 当 n ? 1 时, f (1) ? 1 , g (1) ? 1 ,所以 f (1) ? g (1) ;

9 11 , g (2) ? ,所以 f (2) ? g (2) ; 8 8 251 312 当 n ? 3 时, f (3) ? , g (3) ? ,所以 f (3) ? g (3) .???3 分 216 216
当 n ? 2 时, f (2) ? (2) 由(1) ,猜想 f (n) ? g (n) ,下面用数学归纳法给出证明: ①当 n ? 1, 2,3 时,不等式显然成立. ②假设当 n ? k (k ? 3) 时不等式成立,即 1 ?

1 1 1 ? ? 23 33 43

?

1 3 1 ? ? 2, 3 k 2 2k

那么,当 n ? k ? 1 时, f (k ? 1) ? f (k ) ?

1 3 1 1 ? ? 2? , 3 (k ? 1) 2 2k (k ? 1)3

因为

1 1 1 k ?3 1 ?3k ? 1 ?( 2 ? )? ? 2 ? ? 0, 2 3 3 2(k ? 1) 2k (k ? 1) 2(k ? 1) 2k 2(k ? 1)3 k 2 3 1 ? ? g (k ? 1) . 2 2(k ? 1)2
*

所以 f (k ? 1) ?

由①、②可知,对一切 n ? N ,都有 f (n) ? g (n) 成立.??????10 分

高三数学

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