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任意角_图文

1.1.1任意角

【回忆往事】
初中角是如何定义的?
定义:有公共端点的两射线组成的几何图形叫角
角的范围:[0 ,360 )
o o

顶 点





生活中很多实例会不在该范围:
跳水运动员向内、向外转体两周半; 经过1小时,秒针、分针各转了多少度 这些例子不仅不在范围[0? ,360? ) 而且有方向,有必要将角的概念 推广到任意角, 想想用什么办法才能推广到任意角? 关键是用运动的观点来看待角的变化。

1、角的概念的推广
定义:平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转到另一个位置所成的图形叫做角
射线的端点O叫做角α的顶点.
B

旋转开始的射线OA叫做角α的始边
O A

旋转终止的射线OB叫做角α的终边

怎么旋转? 顶 点
O

B 终边

逆时针
A 始边

顺时针
任 意 角
正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角:射线不作旋转时形成的角

B

记法:角 ?或

??
O

可简记为

?

?
A

注意: 1:角的正负由旋转方向决定 2:角可以任意大小,绝对值大小 由旋转次数及终边位置决定 3:角的终边重合时角不一定相等

思考下面的角度如何表示?
(1)你的手表慢了5分钟,想将它校准, 分针应该旋转多少度? -30° (2)假如你的手表快了2.5小时,想将它校准, 分针应该旋转多少度? 900°

2、象限角:
在直角坐标系下讨论角 1)角的顶点与坐标原点重合 2)始边与X的非负半轴重合 终边落在第几象限就称角是第几象限角

思考:终边落在坐标轴上怎么办? 坐标轴上的角:(轴线角)
如果角的终边落在了坐标轴上,

这个角不属于任何象限。

例如:角的终边落在X轴或Y轴上。

练习: 1、锐角是第几象限的角? 答:锐角是第一象限的角。 2、第一象限的角是否都是锐角?
举例说明 答:第一象限的角并不都是锐角 370
o

3、小于90°的角都是锐角吗? 答:小于90°的角并不都是锐角, 它也有可能是零角或负角。 0° ~ 90°的角:[0°, 90°)

4、判断下列角所在的象限?
终边 y o
终边

终边 x 始边

? ?Ⅰ ? ? Ⅱ ? ?Ⅲ ? ? Ⅳ

终边

练习:教材P5 1、2、3

在坐标轴上画出角-32 ,328 , o -392 并找出它们的共同点?

o

o

y

它们的终边都相同. 3.终边相同的角的表示
探究(一):

o

x

与α终边(射线)相同的角都可以表示成集合:
{β |β =α+K· 0,K ∈ Z} 360

与α终边在同一直线上的角都可以表示成:
{β |β =α+K· 0,K ∈ Z} 180

-3300
3900

y
300

o

x

300 =300+0x3600 3900=300+3600 =300+1x3600 -3300=300-3600 =300 -1x3600
0, 0终边相同的角的一般形式为300+K· 与30 360 K∈Z

终边在坐标轴上角的表示
900+K· 0 360

y

1800 +K· 0 360 o 2700 +K· 0 360 或-900+K· 0 360

x 00 +K· 0 360
或3600+K· 0 360

思考:写出终边落在y轴上的角的集合。 ? 解:终边落在y轴正半轴上的角的集合为

S1={β| β=900+K?3600,K∈Z} ={β| β=900+2K?1800,K∈Z} ={β| β=900+1800 的偶数倍}
终边落在y轴负半轴上的角的集合为

S2={β| β=2700+K?3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K?1800,K∈Z} ={β| β=900+(2K+1)1800 ,K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}

所以

终边落在y轴上的角的集合为 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍}

S=S1∪S2

={β| β=900+K?1800 ,K∈Z} 变式练习: 1、写出终边落在 x 轴上的角的集合 2、写出终边在直线y=x上的角的集合s。

探究(二): 终边(射线)落在象限内表示成集合: {α| 360 360 第一象限: k· <α< 900+k· 0 ,k∈Z}
0

第二象限:
{α|90 +k· 360 <α<1800+k· 0 ,k∈Z} 360
0 0

第三象限:
{α|180 +k· 360 <α< 2700+k· 0 ,k∈Z} 360
0 0

第四象限:
{α|270 +k· 360 <α< 3600+k· 0 ,k∈Z} 360
0 0

注意以下四点:

① k∈Z;
② ?是任意角;

③ k· 与?之间是“+”号,如k· -30? 360? 360? ,应
看成k· +(-30? 360? );

④ 终边相同的角不一定相等,但相等的角,终
边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们

相差360? 的整数倍.

方法介绍:已知α的象限,求α/n象限
step1:把各象限n等分



step2:从x轴正方向起逆时针依次 标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ step3:标号与α的象限一致的



Ⅳ Ⅰ

y
Ⅲ Ⅱ Ⅰ

即为α/n的象限 例:α在第一象限,n=3时 Ⅱ


x

o
Ⅰ Ⅱ


α/3在第1、2、3象限








因为α在第一象限,即

k· 360 <α< ? o
k ? 120 ?
k ? 0时, k ? 1时, k ? 2时, k ? 3时,

0

0 0+k· 90 360



?
3

3

? 30o ? k ? 120o




方 法

? (0 0 ,300 ) ? 第一象限 ? (1200 ,1500 ) ? 第二象限 ? ( 2400 ,2700 ) ? 第三象限

?
3

?
3

?
3

? ( 3600 ,3900 ) ? 第一象限(重复)

α/3在第1、2、3象限

例题选讲
例1、在0到360度范围内,找出与下列各角

终边相同的角,并判断它是哪个象限的角 (1)-120°(2)640°(3) -950 12'
o

解(1)-120°=-360°+240°
所以与-120°角终边相同的角是240°角,

它是第三象限角。

(2)640°=360°+280° 所以与640°角终边相同的角是280°角, 它是第四象限角。 (3)-950 12’ = -3×360°+129 48‘ 所以与 -950 12’角终边相同的角是129 48 ’ 角,它是第二象限角。
o o o o

例2.

写出与下列各角终边相同的角的集合S,
并把S中在-360?~ 720? 的角写出来: (1) 60? ;(2) -21? ;(3) 363? 14′.

解:(1) S={β| β=k· +60?(k∈Z) }, 360? S中在-360? ~720? 间的角是 -1×360? =-280? +60? ; 0×360? =60? +60? ; 1×360? =420? +60? .

(2) S={β| β=k· -21?(k∈Z) } 360? S中在-360? ~720? 间的角是 0×360? -21? =-21? ; 1×360? -21? =339? ; 2×360? -21? =699? . (3) β| β=k· + 363? (k∈Z) } 360? 14’ S中在-360? ~720? 间的角是 -2×360? +363? 14’=-356? 46’; -1×360? +363? 14’=3? 14’; 0×360? +363? 14’=363? 14’.

练习:教材p5

4、5

例3

写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合
y

50?

60?

o

x

变式练习:把下图中终边落在阴影部分的角 用集合表示出来(包括边界)

动手试一试
1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是否 都是锐角?小于90? 的角是锐角吗?区间

[0? ]内的角是锐角吗? ,90?
答:锐角是第一象限角;第一象限角不一定是锐 角;小于90? 的角可能是零角或负角,故它不一 定是锐角;区间[0? ]内的角不是锐角. ,90?

2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在

x轴的正半轴上,作出下列各角,并指出它们是
哪个象限的角?
(1)410? ,(2) -420? ,(3)500? ,(4) -110? . 答: (1)第一象限角; (2)第四象限角,

(3)第二象限角,
(4)第三象限角.

3、已知α,β角的终边相同,那么α-β的终边 在( A )

x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
A 4、终边与坐标轴重合的角的集合是( C A {β|β=k· 360?(k∈Z) } B {β|β=k· 180?(k∈Z) } C {β|β=k· 90?(k∈Z) } D {β|β=k· +90?(k∈Z) } 180? )

5 、已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是( C) A 第一象限角 B 第一、二象限角 C 第一、三象限角 D 第一、四象限角

6、若α是第四象限角,则180? α是( C ) -

A
C

第一象限角
第三象限角

B
D

第二象限角
第四象限角

7、在直角坐标系中,若α与β终边互相垂直,

那么α与β之间的关系是(
A. β=α+90o

) D

β=α±90o C β=k· o+90o+α,k∈Z 360 D β=k· o±90o+α, k∈Z 360
B
8、若90? β<α<135? < ,则α-β的范围是 (0? ) ,45? (180? ,270? ) __________,α+β的范围是___________;

9、若β的终边与60? 角的终边相同,那么在 ? 的终边相同 [0? ,360? ]范围内,终边与角 的角为______________;
解:β=k· +60? k∈Z. 360? , 所以
?
3

3

=k· +20? k∈Z. 120? ,

当k=0时,得角为20? ,

当k=1时,得角为140? ,
当k=2时,得角为260? .

作业
1、下列命题正确的是
A、终边相同的角一定相等

( C )

B、第一象限角都是锐角
C、锐角都是第一象限角 D、小于90°的角都是锐角 2、A={小于90°的角},B={第一象限角}, 则A∩B=( D )

A、{锐角}

B、{小于90°的角}

C、{第一象限角}D、以上都不对

3、已知角α是第三象限角,则角-α的终边在( ) B A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限

4、已知角α的终边在下图中阴影所表示 的范围内(不包括边界),那么α∈ y
O

θ

x

?? ?180

0

? 2? ? 1800 ? k ? ? ? ? ? 1800 ? k , k ? Z

?

?

5 若?是第二象限的角,则1800-?是(A ) A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限

讨论:若?是第二象限角时,则2?, , 分别 2 3 是第几象限的角?

? ?

? 小结:
1.任意角 的概念

正角:射线按逆时针方向旋转形成的角
负角:射线按顺时针方向旋转形成的角 零角:射线不作旋转形成的角 1)置角的顶点于原点

2.象限角

2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角

3.终边与角a相同的角

?

+K· 0,K∈Z 360

4:判断一个角是第几象限角的方法


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