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2014年高考理科数学试题分类汇编


2014 年高考数学试题汇编 参数方程与极坐标 一.选择题
1. (2014 北京)曲线 ?

? x ? ?1 ? cos ? ( ? 为参数)的对称中心( ? y ? 2 ? sin ?
B. 在直线 y ? ?2 x 上 D. 在直线 y ? x ? 1 上



A. 在直线 y ? 2 x 上 C. 在直线 y ? x ? 1 上

2(2014 安徽)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种 坐标系中取相同的长度单位。已知直线 l 的参数方程是 ? 标方程是 ? ? 4 cos? ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 (A) 14 (C) 2 D (B)2 14 (D)2 2

? x ? t ? 1, ( t 为参数),圆 C 的极坐 ?y ? t ? 3

3(2014 江西) (2).(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系,则线段 y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? 的极坐标为( ) A. ? ?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 2

B. ? ?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 4

C. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ? 【答案】A

?
2

D. ? ? cos ? ? sin ? ,0 ? ? ?

?
4

【解析】 Q y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1?

? ? sin ? ? 1 ? ? cos ? ? 0 ? ? cos? ? 1?
?? ?
所以选 A。 二.填空题 1. (2014 湖北)(选修 4-4:坐标系与参数方程)

1 ?? ? ?0 ?? ? ? sin ? ? cos ? ? 2?

?x ? t ? 已知曲线 C1 的参数方程是 ? 3t ?t为参数? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴 ?y ? 3 ?
建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为_______.

2. (2014 湖南)直角坐标系中,倾斜角为

? x ? 2 ? cos ? ? 的直线 l 与曲线 C: , ( ? 为参数) ? 4 ? y ? 1 ? sin ?

交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 则直线 l 的极坐标方程是________.

?x ? 2 ? t ? 3 (2014 重庆)已知直线 l 的参数方程为 ? y ? 3 ? t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 正半轴
为极轴线 l 与曲线 C 的公共点的极经 ? ? ________. 【答案】 5 【解析】

? x = 2 + t , y = 3+ t , y - x = 1? ρ sin 2 θ - 4 cosθ = 0 ∴ρ 2 sin 2 θ = 4ρ cosθ ? y 2 = 4x. 联立y 2 = 4x与y - x = 1得y 2 - 4 y + 4 = 0 ? y = 2 ∴交点(1,2),ρ = 1+ 4 = 5. 所以, ρ = 5.
4 (2014 上海)已知曲线 C 的极坐标方程为 p(3 cos? ? 4 sin ? ) ? 1, 则 C 与极轴的交点到极
点的距离是 。

【答案】 【解析】

1 3

1 1 ? ρ(3 cosθ - 4 sin θ) = 1∴ 3x - 4 y = 1交于点( ,0).所以,是 3 3
C. (2014 陕西( ) 坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 点 (2, ) 到直线 ? sin(? ? ) ? 1 6 6
的距离是 C

?

?

π π 3 1 ? 极坐标点(2, )对应直角坐标点 ( 3,1 ) , 直线ρ sin(θ - ) = ρ sin θ ? - ρcosθ ? = 1即对应 6 6 2 2 3 - 3+ 2 3 y - x = 2,∴点( 3,1 )到直线x - 3 y + 2 = 0的距离d =| |= 1 3+ 1

5

(2014 天津)在以 O 为极点的极坐标系中, 圆 r = 4sin q 和直线 r sin q = a 相交于 A, B 两

点.若 D AOB 是等边三角形,则 a 的值为___________. 解:3
2 圆的方程为 x + ( y - 2) = 4 ,直线为 y = a . 2

因为 D AOB 是等边三角形,所以其中一个交点坐标为 ? ?

骣 a ÷ , a÷,代入圆的方程可得 a = 3 . ? 桫3 ÷

6. (2014 广东 ) (坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为

? sin2 ? ? cos? 和 ? sin ? =1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,
建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为__

答案 : (1,1) 提示 : C1即( ? sin ? ) 2 ? ? cos ? , 故其直角坐标方程为:y 2 ? x, C2的直角坐标方程为 : y ? 1,? C1与C2的交点的直角坐标为(1,1) .
三.解答题 1. (2014 新课标 I)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小 值. 【解析】 :.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为
o

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

………5 分

d?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5 d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 0 sin 30 5
,其中 ? 为锐角.且 tan ? ?

则 | PA |?

4 . 3

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5

当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

…………10 分

2. (2014 新课标 II)(本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程 为 ? ? 2cos ? ,

? ?. ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的 参数方程,确定 D 的坐标.

3. (2014 辽宁) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
2 2

(1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐 标建立极坐标系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 【答案】 (1) x = cosθ, y = 2 sin θ,θ ∈[0, π (2) 2ρ cosθ - 4ρ sin θ + 3 = 0 【解析】 (1)

曲线C的参数方程: x = cosθ, y = 2 sin θ,θ ∈[0,π]
(2)

设曲线C上的点P(cosθ,2 sin θ)在直线上,则 2 cosθ + 2 sin θ - 2 = 0, π π 1 解得 2 sin(θ + ) = 1.即θ = 0,或 .所以,A(1,0), B(0,2), AB中点( ,1). 4 2 2 1 1 ∴ 垂直AB的中垂线方程是 y - 1 = ( x - )即4 y - 3 = 2 x 2 2 所以, 所求直线的极坐标方程 是2ρ cosθ - 4ρ sin θ + 3 = 0

4(2014 福建) (本小题满分 7 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? a ? 2t , ( t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? y ? ?4t

? x ? 4 cos? , ( ? 为常数). ? ? y ? 4 sin ?
(I)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (II)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x2+y2=16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= 解得-2 5≤a≤2 5.

? 2a 5

≤4,


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