2011年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数 学（文 科）
本试卷共 4 页，21 小题， 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? x ax ? 1 ? 0 A． ?1 2011.3

?

? ，且1 ? A ，则实数 a 的值为
B． 0 C． 1 D． 2

2．已知 i 为虚数单位, 若复数 z1 ? 1 ? i， z2 ? 2 ? i，则 z1 ?z2 ? A． 3 ? i B. 2 ? 2 i C. 1 ? i D． 2 ? 2 i

3. 已知向量 p ? ? 2, ?3? , q ? ? x,6? ,且 p // q ，则 p ? q 的值为 A． 5 B.

13

C. 5

D． 13

4. 已知椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点, 则 a 的值为 9 4 3 a2
B.

A． 2

10

C. 4

D． 10

开始 输入 n

5. 各项都为正数的等比数列 ?an ? 中， a1 ? 2, a6 ? a1a2 a3 ，则公比 q 的值为 A． 2
x

B.
?x

3

C. 2

D． 3

6. 函数 f ? x ? ? e ? e (e 为自然对数的底数 ) 在 ? 0,??? 上 A．有极大值 B. 有极小值 C. 是增函数 D．是减函数 k＝k＋1 否 D． 5

k ?0
＝3

n ? 3n ? 1

7. 阅读图 1 的程序框图. 若输入 n ? 5 , 则输出 k 的值为 A． 2 B． 3 C． 4

n ? 150 ?
是 输出 k ,n

8. 已知 l 、 m 是不同的两条直线， ? 、 ? 是不重合的两个平面， 则下列命题中为真命题的是 A．若 l ? ? , ? ? ? ，则 l // ? C．若 l ? m, ? // ? , m ? ? ，则 l ? ? B．若 l // ? , ? ? ? ，则 l // ? D．若 l ? ? , ? // ? , m ? ? ，则 l ? m

结束 图1

1

9. 向等腰直角三角形 ABC 其中AC ? BC 内任意投一点 M , 则 AM 小于 AC 的概率为

?

?

A．

2 2

B． 1 ?

2 2

C．

? 8

D．

? 4

? 2 x ? y ? 5, ? 10. 某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ? 2, ? x ? 6. ?
数最多是 A．6 B．8 C．10
频率 组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

则该校招聘的教师人

D．12

二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. （一）必做题（11～13 题） 11.为了了解某地居民每户月均用电的基本情况, 抽取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图 2 所示, 若月均用电量在 区间 ?110,120? 上共有 150 户, 则月均用电 量在区间 ?120,140? 上的居民共有 户.

12. △ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边的 长分别为 a 、 b 、 c ，已知 c ? 3, C ? 则 b 的值为 .

0

100

110

120

130

140

150

月均用电量(度)

?
3

, a ? 2b ,

图2

13. 已知函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 2, 且对任意 x, y ? R 都有 f ? x ? y ? ?
n 10

f ? x? ， f ? y?
C B O
.

记

? ai ? a1 ?a2 ???an ，则 ? f ? 6 ? i ? ?
i ?1 i ?1

.

D

（二）选做题（14～15 题，考生只能从中选做一题） 14. (几何证明选讲选做题) 如图 3, CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 A 、 B 在圆 O 上， BC ? 1, ?BCD ? 30 ，
?

则圆 O 的面积为

15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点 ?1,0 ? 且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4cos ? 于 A 、 B 两点，则 AB ? .

A
图3

2

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分 12 分） 已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x ( x?R). (1) 求 f ? x ? 的最小正周期和最大值； (2) 若 ? 为锐角，且 f ? ? ? 17. （本小题满分 12 分） 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔 1 小时抽一包产品，称其重 量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量 数据的茎叶图如图 4. (1) 根据样品数据， 计算甲、 乙两个车间产品重量的均值与方 差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定； (2) 若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件， 求所抽取的两件样 品的重量之差不超过 2 克的概率.
4 3 1 2 1 7 12 11 10 4 0 8 2 9 5 甲 乙

? ?

??

2 ，求 tan 2? 的值. ?? 8? 3

图4

18. （本小题满分 14 分） 如图 5,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中，侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的中点,

A1 A ? AB ? 2 , BC ? 3 .
（1）求证： AB1 // 平面 BC1D ； (2) 求四棱锥 B ? AAC1D 的体积. 1
D B1 A1 A

B

C1

C

图5

3

19．（本小题满分 14 分） 动点 P 与点 F (1, 0) 的距离和它到直线 l : x ? ?1 的距离相等，记点 P 的轨迹为曲线 C1 ．圆 C2 的圆心 T 是曲线 C1 上的动点, 圆 C2 与 y 轴交于 M , N 两点，且 | MN |? 4 . （1）求曲线 C1 的方程； （2）设点 A ? a,0? (a ? 2 ) ,若点 A 到点 T 的最短距离为 a ? 1 ,试判断直线 l 与圆 C2 的位置关系, 并说明理由.

20. （本小题满分 14 分） 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知数列 数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式； （2）令 bn ?
n L 1 * ，若不等式 ? bi ? 对任意 n?N 都成立， ? an ?1S2 n ?1 2n ? 1 ? 1 i ?1

? S ? 是首项为1 ,公差为1 的等差
n

an S2n ?1

求实数 L 的取值范围.

21. （本小题满分 14 分） 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 满足 f ? 0? ? 0 ,对于任意 x?R 都有 f ? x ? ? x ,且
2

? 1 ? ? 1 ? f ? ? ? x ? ? f ? ? ? x ? ,令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ?1 ? ? ? 0? . ? 2 ? ? 2 ?
(1) 求函数 f ? x ? 的表达式； (2) 求函数 g ? x ? 的单调区间； (3) 研究函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上的零点个数.

4

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 C 5 C 6 C 7 B 8 D 9 D 10 C

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满 分 20 分．其中 14～15 题是选做题，考生只能选做一题． 11. 300 12.

3

13. 32

14. ?

15. 2 3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16． （本小题满分 12 分） (本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 想方法和运算求解能力) (1) 解: f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x 考查化归与转化的数学思

? sin 2 x ? cos 2 x
?? 3 分 ?

?? 2 分

? 2 ? 2 ? 2? ? 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ? ? ?
∴ f ? x ? 的最小正周期为 (2) 解:∵ f ? ? ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?

?? 4 分

2? ? ? , 最大值为 2 . 2
∴ 2 sin ? 2? ?

?? 6 分

? ?

??

2 , ?? 8? 3
1 . 3

? ?

??

2 . ?? 2? 3

?? 7 分

∴ cos 2? ?

?? 8 分

∵ ? 为锐角，即 0 ? ? ? ∴ tan 2? ?

?
2

,

∴ 0 ? 2? ? ? . ∴ sin 2? ? 1 ? cos 2 2? ? ?? 12 分

2 2 . 3

?? 10 分

sin 2? ?2 2. cos 2?

5

17．（本小题满分 12 分） (本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据 处理能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解： x甲 ?

1 ?107 ? 111 ? 111 ? 113 ? 114 ? 122? ? 113 , 6 1 x乙 ? ?108 ? 109 ? 110 ? 112 ? 115 ? 124 ? ? 113 , 6

?? 1 分 ?? 2 分

2 S甲 ?

1? 2 2 2 2 2 2 107 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?113 ? 113? ? ?114 ? 113 ? ? ?122 ? 113 ? ? ?? ? 6
?? 3 分

=21 ,
2 S乙 ?

1? 2 2 2 2 2 2 ?108 ? 113? ? ?109 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113? ? ?115 ? 113? ? ?124 ? 113? ? ? 6?
?? 4 分 ?? 5 分 ?? 6 分

?

88 , 3

2 2 ∵ x甲 ? x乙 , S甲 ? S乙 ,

∴甲车间的产品的重量相对较稳定.

(2) 解: 从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,共有 15 种不同的取法: ?108，109?， ， ? ， ?108 110

112 ?108 115 ? 124 ?109 110 ? 112 ?109 115 ? 124 ?110 112 ?108， ?， ， ?，108， ?， ， ?，109， ?， ， ?，109， ?， ， ?， 115 ?110 124 ? 115 ?112 124 124 ?110， ?， ， ?，112， ?， ， ? , ?115， ? .
?? 8 分

设 A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克”,则 A 的基本事件有 4 种:

110 ? 112 ?108，109?， ， ? , ?109， ?，110， ? . ?108 110
故所求概率为 P ? A ? ? 18. （本小题满分 14 分）

?? 10 分 ?? 12 分

4 . 15

(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明:连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点， ?? 3 分
B1 B D A1 A

E

∴ OD 为△ AB1C 的中位线,∴ OD // AB1 . ∵ OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D ,

O

∴ AB1 // 平面 BC1D .

?? 6 分
C1 C

6

(2)解法 1: ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AA C1C , 1 ∴ 平面 ABC ? 平面 AA C1C ，且平面 ABC ? 平面 AA C1C ? AC . 1 1 作 BE ? AC ，垂足为 E ，则 BE ? 平面 AA C1C ， 1 ∵ AB ? BB1 ? 2 ， BC ? 3 ， 在 Rt△ ABC 中， AC ? ?? 8 分

AB2 ? BC2 ? 4 ? 9 ? 13 ， BE ?
1 1 ? ? A1C1 ? AD ??AA1 ?BE 3 2

AB?BC 6 ，?? 10 分 ? AC 13
? 12 分

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积 V ? 1

?

1 3 6 ? 3 .∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积为 3 . ? 13 ? 2 ? 1 6 2 13

?? 14 分
A1 A

解法 2: ∵ AA1 ? 平面 ABC , AB ? 平面 ABC , ∴ AA1 ? AB .∵ BB1 // AA ,∴ BB1 ? AB . 1
D

∵ AB ? BC, BC ? BB1 ? B , ∴ AB ? 平面 BB1C1C . ?? 8 分
B1 B

取 BC 的中点 E ,连接 DE ,则 DE // AB, DE ? ∴ DE ? 平面 BB1C1C . 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 V ?

1 AB , 2
C1

O C

E

1 ?AB?BC ?AA1 ? 6 , 2

?? 10 分

则 VD ? BCC1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ?BC ? 1 ?DE ? V ? 1 , VA1 ? BB1C1 ? ? ?B1C1 ?BB1 ?A1 B1 ? V ? 2 . CC 3 2 6 3 2 3
?? 12 分

而 V ? VD? BCC1 ? VA1 ?BB1C1 ? VB? AA1C1D , ∴ 6 ? 1 ? 2 ?VB? AA1C1D . ∴ VB? AA1C1D ? 3 .∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积为 3 . 1 ?? 14 分

19．（本小题满分 14 分） (本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程 的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法 1: 设动点 P 的坐标为 ? x, y ? ,依题意,得 PF ? x ? 1 ,

7

即

? x ?1?

2

? y2 ? x ?1 ,

?? 2 分

化简得: y 2 ? 4 x ,

∴曲线 C1 的方程为 y 2 ? 4 x . ?? 4 分 解法 2:由于动点 P 与点 F (1, 0) 的距离和它到直线 l : x ? ?1 的距离相等， 根据抛物线的定义可知, 动点 P 的轨迹是以点 F (1, 0) 为焦点,直线 l 为准线的抛物线.?? 2 分 ∴曲线 C1 的方程为 y 2 ? 4 x . （2）解: 设点 T 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,圆 C2 的半径为 r ，
2 ∴ y0 ? 4 x0 ( x0 ? 0 ).

?? 4 分 ∵ 点 T 是抛物线 C1 : y 2 ? 4 x 上的动点,
2 2

∴ AT ?

? x0 ? a ? ? ? y0 ? 0?
2

? 6分

2 ? x0 ? 2ax0 ? a 2 ? 4 x0

? ? x0 ? ? a ? 2?? ? 4a ? 4 . ? ?
?? 8 分

∵ a ? 2 ,∴ a ? 2 ? 0 ,则当 x0 ? a ? 2 时, AT 取得最小值为 2 a ?1 , 依题意得 2 a ?1 ? a ? 1 ,
2 两边平方得 a ? 6a ? 5 ? 0 ,

解得 a ? 5 或 a ? 1 (不合题意,舍去).

?? 10 分 ∴圆 C2 的圆心 T 的坐标为 3, ? 2 3 . ∴ | MN |? 2 r ? x0 ? 4 .
2 2

2 ∴ x0 ? a ? 2 ? 3 , y0 ? 4x0 ? 12 ,即 y0 ? ?2 3 .

?

?

∵ 圆 C2 与 y 轴交于 M , N 两点，且 | MN |? 4 , ∴r ?
2 4 ? x0 ? 13 . ?? 12 分

∵点 T 到直线 l 的距离 d ? x0 ? 1 ? 4 ? 13 ,

∴直线 l 与圆 C2 相离. 20．（本小题满分 14 分）

?? 14 分

(本小题主要考查数列、 不等式等知识, 考查化归与转化、 分类与整合的数学思想方法， 以及抽象概括能力、 推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵数列

? S ? 是首项为1 ,公差为1 的等差数列，
n

∴ Sn ? 1 ? ? n ? 1? ? n . 当 n ? 1 时， a1 ? S1 ? 1 ； 又 a1 ? 1 适合上式. （2）解： bn ?

∴ Sn ? n 2 .

?? 2 分
2

2 当 n ? 2 时， an ? Sn ? Sn?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 .

∴ an ? 2n ? 1.

? 4分

1 1 ? an S2 n?1 ? an?1S2 n?1 ? 2n ? 1? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1? 2n ? 1

8

?

? 2n ? 1?? 2n ? 1? ?
∴

1 2n ? 1 ? 2n ? 1

?

?

1? 1 1 ? ? ? ? ?. 2n ? 1 ? 2 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1

2n ? 1 ? 2n ? 1

6分

?b
i ?1

n

i

1? 1 ? 1? 1 1 ? 1? 1 1 ? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?1 ? ? ? ?? 2? ? ??? 2 ? ? 2? 3? 5? 2n ? 1 ? ? 3 ? 2n ?1 1? 1 ? 2n ? 1 ? 1 . ? ?1 ? ?? 2? 2n ? 1 ? 2 2n ? 1
?? 8 分

故要使不等式

?b
i ?1

n

i

?

L 2n ? 1 ? 1 L

对任意 n?N 都成立，

*

即

2n ? 1 ? 1 2 2n ? 1

?

2n ? 1 ? 1

对任意 n?N 都成立，

*

得L ?

?

2n ? 1 ? 1

??

2n ? 1 ? 1

2 2n ? 1

??

n 2n ? 1

对任意 n?N 都成立.

*

?? 10 分

令 cn ?

cn?1 ? n ? 1? 2n ? 1 n 2n3 ? 5n2 ? 4n ? 1 ，则 ? ? ? 1. cn 2n ? 1 n 2n ? 3 2n3 ? 3n2
∴ cn ? cn ?1 ? ? ? c1 ?

∴ cn?1 ? cn .

3 . 3
3? ?. 3 ?
?? 14 分

?? 12 分

∴L ?

3 . 3

∴实数 L 的取值范围为 ? ??,

? ? ?

[另法]: cn ?1 ? cn ?

? n ? 1? 2n ? 1 ? n 2n ? 3 n ?1 n ? ? 2n ? 3 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3?
2n3 ? 5n2 ? 4n ? 1 ? 2n3 ? 3n3

?

? 2n ? 1?? 2n ? 3?
∴ cn ? cn ?1 ? ? ? c1 ?

? 0.

∴ cn?1 ? cn .

3 . 3

?? 12 分

∴L ?

3 . 3

∴实数 L 的取值范围为 ? ??,

? ? ?

3? ?. 3 ?

?? 14 分

21．（本小题满分 14 分） (本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的 数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)

9

(1) 解：∵ f ? 0? ? 0 ，∴ c ? 0 . ∵对于任意 x?R 都有 f ? ?

?? 1 分

? 1 ? ? 1 ? ? x? ? f ?? ? x? , ? 2 ? ? 2 ?
1 b 1 ? ? ，得 a ? b . ，即 ? 2 2a 2
?? 2 分

∴函数 f ? x ? 的对称轴为 x ? ?
2

又 f ? x ? ? x ，即 ax ? ? b ? 1? x ? 0 对于任意 x?R 都成立， ∴ a ? 0 ,且 ? ? ? b ? 1? ? 0 ．
2

∵ ? b ? 1? ? 0 ，
2

∴ b ? 1, a ? 1 ． ?? 4 分

∴ f ? x? ? x ? x ．
2

1 ? 2 ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? ? , ? (2) 解： g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 1 ? ? ? x 2 ? ?1 ? ? ? x ? 1, x ? 1 . ? ? ?
① 当x?

?? 5 分

1

?
1

时，函数 g ? x ? ? x ? ?1? ? ? x ?1 的对称轴为 x ?
2

? ?1
2

，

若

? ?1
2

?

?
1

，即 0 ? ? ? 2 ，函数 g ? x ? 在 ? ，即 ? ? 2 ，函数 g ? x ? 在 ?

?1 ? , ?? ? 上单调递增； ?? ?

?? 6 分

若

? ?1
2

?

?

? 1 ? ?1 ? ? ? ?1 ? , ?? ? 上单调递增，在 ? , ? 上单调递减． ?? 2 ? ? 2 ?
?? 7 分

② 当x ?

1

?

时，函数 g ? x ? ? x ? ?1 ? ? ? x ? 1的对称轴为 x ? ?
2

1? ? 1 ? ， 2 ?
?? 8 分

则函数 g ? x ? 在 ? ?

1? ? ? ? 1? ? 1 ? ? , ? 上单调递增，在 ? ??, ? ? 上单调递减． 2 ?? 2 ? ? ?

综上所述，当 0 ? ? ? 2 时，函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? ?

? 1? ? ? , ?? ? ，单调递减区间为 2 ? ?
?? 9 分

1? ? ? ? ? ??, ? ?； 2 ? ?
当 ? ? 2 时，函数 g ? x ? 单调递增区间为 ? ?

? 1 ? ? 1 ? ? ? ?1 ? , ?和? , ?? ? ，单调递减区间为 2 ?? ? 2 ? ?

10

1? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ??, ? ?和? , ?． 2 ? ?? 2 ? ?
(3)解：① 当 0 ? ? ? 2 时，由(2)知函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上单调递增， 又 g ? 0? ? ?1 ? 0, g ?1? ? 2 ?

?? 10 分

? ?1 ? 0 ，
?? 11 分

故函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点． ② 当 ? ? 2 时，则

1

?

?

1 ?1? 1 1 ? 1 ，而 g ? 0? ? ?1 ? 0, g ? ? ? 2 ? ? 0 ， 2 ? ??? ?

g ?1? ? 2 ? ? ?1 ，
（ⅰ）若 2 ? ? ? 3 ，由于
2

1

?

?

? ?1
2

?1，
2

? ? ? 1? ? ?1 ? ? ?1? ? ? ?1? 且g? ?1 ? 0 ， ?1 ? ? ??? ? ? ?1 ? ? ?? 4 2 ? 2 ? ? 2 ?
此时，函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点； （ⅱ）若 ? ? 3 ，由于 ?? 12 分

? ?1
2

? 1 且 g ?1? ? 2 ? ? ?1 ? 0 ，此时，函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1?
?? 13 分

上有两个不同的零点． 综上所述，当 0 ? ? ? 3 时，函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上只有一个零点；

当 ? ? 3 时，函数 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上有两个不同的零点． ?? 14 分

11