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2.2.1向量加法运算及其几何意义


2.2.1向量加法运算 及其几何意义

1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么?
向量:既有方向又有大小的量。

复习回顾:

平行向量:方向相同或相反的向量。 相等向量:方向相同并且长度相等的向量 2.用有向线段表示向量,向量的大小和方向是如何反
映的?什么叫零向量和单位向量? 向量的大小:有向线段的长度。 向量的方向:有向线段的方向。 零向量:长度为零的向量叫零向量;单位向量: 长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。

练习 ①平行向量是否一定方向相同? ②不相等的向量是否一定不平行? ③与零向量相等的向量必定是什么向量? ④与任意向量都平行的向量是什么向量? ⑤若两个向量在同一直线上,则这两个向 量一定是什么向量? ⑥两个非零向量相等的充要条件是什么? ⑦共线向量一定在同一直线上吗?

判断下列命题是否正确,若不正确,请简 述理由.
(1)两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同. (2) 若m = n, n = k, 则m = k ; (3)若非零向量 a与b 共线,则 a = b (4)四边形ABCD是平行四边形,则必有 AB = DC (5)向量 a与b 平行,则 a与b 的方向相同或相反

(6)共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。

两个实数可以相加,从而给数赋予 了新的内涵.如果向量仅停留在概念的 层面上,那是没有多大意义的.我们希 望两个向量也能相加,拓展向量的数 学意义,提升向量的理论价值,这就 需要建立相关的原理和法则.

由于大陆和台湾没有直航,因此2006年 春节探亲,乘飞机要先从台北到香港,再从 香港到上海,则飞机的位移是多少?
上海

c
b

上海

台北
香港

香港

台北

a

C

1、位移 AB BC

AC

B

A

F1 G

E
O

C

它们之 间有什 么关系
F为F1与 F2的合力

G

E
O F1
A

F2 F

G

E
O

F F2
B

C

探究一:向量加法的几何运算法则
思考1:如图,某人从点A到点B,再从点B按原方向到点C,
则两次位移的和可用哪个向量表示?由此可得什么结论?

A

B

C

AB ? BC ? AC

思考2:如图,某人从点A到点B,再从点B按反方向到点C,则
两次位移的和可用哪个向量表示?由此可得什么结论?

C

A

B

AB ? BC ? AC

思考3:如图,某人从点A到点B,再从点B 改变方向到点C,则两次位移的和可用哪个向 量表示?由此可得什么结论?
C

AB ? BC ? AC
A B

上述分析表明,位移的合成可看作 是向量的加法。

2、力的合成
F1 + F2 = F
F2

F1
F

数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可
以认为是AB与BC的和,F可以认为是F1与

F2的和,即位移,
力的合成可看作向量的加法.

向量加法的三角形法则

已知向量a , b, 求作向量a + b
a
b
A

作法(1)在平面内任取一点O

(2)作 OA = a , AB = b
(3)作OB = a + b

o

B

位移的合成可以看 这种作法叫做向量 作向量加法三角形 加法的三角形法则 法则的物理模型

还有没有其他的做法?

向量加法的平行四边形法则
a b

作法(1)在平面内任取一点O

(2)作 OA = a ,OB = b

o
B

A C

(3)作 OC = a + b

力的合成可以看作向 这种作法叫做 向量加 量加法的平行四边形 法的平行四边形法则 法则的物理模型

还有没有其他的做法?

已知向量a,b,分别用向量加法的三角形 法则与向量加法的平行四边形法则作 出a+b
a b

当向量a, b 是共线向量时, a ? b 又如何 作出来? (1) 同向
a

(2)反向
a

b
A B C B C

b
A

AC = a + b

AC = a + b

规定:a + 0 = 0 + a = a

判断 | a + 小

b | 与 | a | + | b | 的大

1、不共线
a

b



a

A

a+ b

b
B

| a+ b|< | a|+ |b|

判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小

2、 共线
(1)向同
a
b

(2)反向
a
b

a+ b

a+ b

| a + b |= | a | + | b |

| a + b |< =| a b|+ |a b|

数的加法满足交换律与结合律,即对任意 a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 任意向量a,b的加法是否也满足交换律与 结合律?
D

D
b A a a+b

a b B

C

a+b+c A
a B b+c a+b

c
C b

a (a

b b)

b c

a a (b c)

是否成立?

根据图示填空:

DA (1)a+d=____________

CB (2)c+b=____________

D

C
d c O b

a

A

B

根据图示填空:

c (1)a+b=________ f (2)c+d=________ g (4)c+d+e=______
E

e

D

d c b
B

g f (3)a+b+d=______
A

f a

C

例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮 渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出 发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际 航行的速度(保留两个有效数字) (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江 水速度间的夹角表示,精确到度).

(1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度(保留两个有效数字) 解:(1)

D

船实际航行速度

C

船速 A

水速

B

(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用 与江水速度间的夹角表示,精确到度).

在Rt△ABC中, AB =2, BC =5
AC ? AB ? BC
2 2
2 2

D

C

? 2 ? 5 = 29 ? 5.4 29 因为 tan?CAB ? , 2 ?CAB ? 70 B A 船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向 与水的流速间的夹角为70°

补充练习
例1:已知O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量 () 1 OA ? OC (2) BC ? FE (3) OA ? FE
E
D

解:(1) OA ? OC ? OB ;
(2) BC ? FE ? AD;
(3) OA ? FE ? 0.

F A

O
B

C

例2: 求向量

AB+DF+CD+BC+FA 之和.

解 :∵ AB+DF +CD+BC+FA

= AB+BC+CD+DF+FA = AC+CD+DF+FA = AD+DF +FA = AF +FA = 0

∴ AB+DF+CD+BC+FA = 0

巩固练习:
AD 1.化简 (1) AB ? CD ? BC ? ________
(2) MA ? BN ? AC ? CB ? ________ MN

?

(3) AB ? BD ? CA ? DC ? ________ 0

?

??

?

?

2.根据图示填空 E e D
g

(1)a ? b ? (2)c ? d ?

f
a

d

c f
f g

A

c

b

C

(3)a ? b ? d ? (4)c ? d ? e ?

B

例3:如图,一艘船从 A点出发以 2 3km/h 的速 度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水以2km/h 的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向 C 解:如图,设用向量 AC D 表示船向垂直于对岸的速 度,用向量 AB 表示水流 B A 的速度
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 实际行驶的速度

AD

就是船

在Rt△ABD中, AB = 2, BD = 2 3

∵ AD = AB+BD ∴ AD = 4

C

D

∴tan∠DAB = 3

A

B

∴∠DAB = 60

o

答:船实际行驶速度的大小为4km/h, 方向与水流速度间的夹角 60
o

.

课堂小结:
向量加法的定义
三角形法则

平行四边形法则

向量加法的运算律 向量加法的运算

小结 1.向量加法的三角形法则
(要点:两向量首尾连接) 2.向量加法的平行四边形法则 (要点:两向量起点重合组成 平行四边形两邻边) 3.向量加法满足交换律及结合律 a+ b = b+ a

课本84页 习题(做书上) 作业 课本91页 2、3 、4作业本

( a + b) + c = a + (b + c )


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