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浙江省台州中学2012届高三上学期第一次统练数学(理)试题2011.9


台州中学 2011 学年第一学期第一次统练试题 高三数学(理科) 高三数学(理科)
一、选择题:本大 题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。
n 1.已知集合 M = {m | m = i , n ∈ N

} ,其中 i 2 = ?1 ,则下面属于 M 的元素是 (
C. (1 + i )(1 ? i ) D.



A. (1 + i ) + (1 ? i )
2.双曲线

B. (1 + i ) ? (1 ? i )

1+ i 1? i

x2 ? y 2 = 1( a > 0 ) 的离心率为 3 ,则 a 的值是 a
B. 2 C.





A.

1 2

2 2

D.

2
) D.

3.曲线 y = 4 x ? x3 在点(-1,-3)处的切线方程是 A.



y = 7x + 4

B.

y = 7x + 2

C.

y = x?4

y = x?2
( )

?3x +1 , x ≤ 0 ? 4.已知函数 f ( x ) = ? ,若 f ( x0 ) > 3, 则 x0 的取值范围是 ?log 2 x, x > 0 ?
A.

x0 > 8

B. x0 < 0或x0 > 8

C. 0 < x0 < 8

D.

x0 < 0或 0 < x0 < 8
( )

5.函数f ( x) = 3 x ? 4 x 3 ( x ∈ [0,1])的最大值是
A.1 B.

1 2

C. 0

D.-1

6.函数 y = cos(ω x + ? ), (ω > 0, 0 < ? < π ) 为奇函数,该函数的部分图 像如右图所表示, A 、 B 分别为最高点与最低点,并且的点间的距离 为 2 2 ,则该函数的一条对称轴为 A. x = ( ) C. x = 1 D. x = 2

2

π

B. x =

π
2

?x + y ≤ 4 ? 7.点 P 的坐标 ( x, y ) 满足 ? y ≥ x ,过点 P 的直线 l 与圆 C : x 2 + y 2 = 14 相交于 A、B 的点,则 ?x ≥ 1 ?

AB 的最小值是





A. 2 6

B.4

C. 2 13

D.3

8.设 0< a <b,且 f (x)=

1+ 1+ x ,则下列大小关系式成立的是 x

(

)

a+b )<f ( ab ) 2 a+b )<f ( a ) C.f ( ab )< f ( 2
A.f ( a )< f (

a+b )<f (b)< f ( ab ) 2 a+b D.f (b)< f ( )<f ( ab ) 2
B.f (

9.已知函数 f ( x ) 满足:①定义域为 R ;②对任意 x ∈ R ,有 f ( x + 2) = 2 f ( x) ;③当 x ∈ [ ?1,1] 时, f ( x ) = ? | x | +1 .则方程 f ( x ) = log 4 | x | 在区间 [ ?10,10] 内的解的个数是( A.18 B.12 C.11 D.10 )

10.函数 f M ( x ) 的定义域为 R,且定义如下: f M ( x ) = ?

?1, ( x ∈ M ) (其中 M 是实数集 R 的非空 ?0, ( x ? M )

真 子 集 ) 在 实 数 集 R 上 有 的 个 非 空 真 子 集 A 、 B 满 足 AI B = ? , 则 函 数 ,

F ( x) =
A. {0

f AU B ( x ) + 1 的值域为 ( f A ( x) + f B ( x ) + 1
B. 1}

) C. {0,1

}

{

}

D. ?

二、填空题: 本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分。 11.已知 f ( x ) =

x+2 1 1 1 ,则 f (1) + f (2) + ??? + f (10) + f ( ) + f ( ) + ??? f ( ) = x +1 2 3 10 π 3 12.已知 sin( ? x ) = ,则 sin 2 x 的值为 . D 4 5
uuu uuu r r E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =


E C

13.在平行四边形 ABCD 中,已知 AB = 2 , AD = 1 , ∠BAD = 60o , .
A B

14.关于 x 的不等式 mx 2 ? nx + p > 0( m, n, p ∈ R ) 的解集为 (?1, 2) ,则复数 m + pi 所对应的点 位于复平面内的第________象限. 15.椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满 a2 b2


足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是

16.若关于 x 的不等式 ax ? | x + 1| +2a < 0 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围为
2



17.我们把形如 y =

b (a > 0, b > 0) 的函数因其图像类似于汉字“囧”字,故生动地称为“囧 x ?a

,以“囧点”为圆心凡是与“囧函数” 函数” ,并把其与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点” 有公共点的圆,皆称之为“囧圆” ,则当 a = 1 , b = 1 时,所有的“囧圆”中,面积的最小值 为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 49 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 9 分)已知命题 p :函数 y = log 2 ( x ? 2ax + 3a ? 2) 的定义域为 R;命题 q :方
2

程 ax + 2 x + 1 = 0 有的个不相等的负数根,若 p ∨ q 是假命题,求 实数 a 的取值范围.
2

2x 19. (本题满分 10 分)已知定义在 R 上的函 数 f ( x ) = x . 4 +1
(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)证明 f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数; (3)若方程 f ( x ) = m 在 (?1,1) 上有解,求 m 的取值范围?
[来源:Zxxk.Com]

20 .( 本 题 满 分 10 分 ) 如 图 , 多 面 体 ABCDS 中 面 ABCD 为 矩 形 ,

SD ⊥ AD, SD ⊥ AB, AD = a (a > 0), AB = 2 AD, SD = 3 AD.
(1)求多面体 ABCDS 的体积; (2)求 AD 与 SB 所成角的余弦值; (3)求二面角 A—SB—D 的余弦值.

21. (本题满分 10 分)设函数 f ( x) = a ln x ? bx , a, b ∈ R
2

(1)若函数 f (x ) 在 x = 1 处与直线 y = ?

1 相切; 2

①求实数 a, b 的值;②求函数 f ( x )在[ , e] 上的最大值; 若不等式 f ( x ) ≥ m + x 对所有的 a ∈ [0, (2) b = 0 时, 当 的取值范围.

1 e

3 ], x ∈ 1, e 2 都成立,求实数 m 2

( ]

22. (本题满分10分)已知曲线 C 上的动点 P ( x, y ) 满足到点 F (0,1) 的距离比到直线 l : y = ?2 的 距离小 1 . (1)求曲线 C 的方程; (2)动点 E 在直线 l 上,过点 E 作曲线 C 的切线 EA, EB ,切点分别为 A 、 B . (ⅰ)求证:直线 AB 恒过一定点,并求出该定点的坐标; (ⅱ)在直线 l 上是否存在一点 E ,使得 ?ABM 为等边三角形( M 点也在直线 l 上)? 若 存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.

台州中学高三数学第一次统练答案 台州中学高三数学第一次统练答案 一选择题,每题 3 分,共 30 分 DADAA CBDCB

二填空题,每题 3 分,共 21 分 7 12. 25 13. ?

11.28.5 17 .

3 2

14.二

15. ? ,1? ?2 ?

?1 ?

16. [

1+ 3 , +∞) 4



三解答题 18.解:由题意得 p 和 q 均是假命题……………………………………. 1 分 由 p: x ? 2ax + 3a ? 2 > 0 恒成立, ? = 4a 2 ? 4(3a ? 2) < 0 得 1 < a < 2 ,
2

?p真:a ≥ 2或a ≤ 1 ………………………………………………………..4 分
由 q:当 a = 0 时,不满足

? ?>0 ? ?2 ? <0 得0 < a <1 当 a ≠ 0 时, ? a ?1 ? >0 ?a

?q真,得a ≥ 1或a ≤ 0 ………………………………………..7 分
综上,由 p 假和 q 假得

a ≤ 0或a =1或a ≥ 2 -----------------------------------9 分
2? x 2x = = f ( x) ,所以函数 f ( x) 为偶函 4? x + 1 1 + 4 x

19.解: (1) 因为 f ( x ) 定义域为 R,且 f ( ? x ) = 数 (2)证明

---------------------------------3 分

x1, x2 ∈ (0,1)且x1 < x2 . Q f ( x1 ) ? f ( x2 ) = 2 x1 2 x2 (2 x2 ? 2 x1 )(2 x1 2 x2 ? 1) ? x2 = 4 x1 + 1 4 + 1 (4 x1 + 1)(4 x2 + 1)

且 2 x2 ? 2 x1 > 0, 2 x1 2 x2 > 1,∴ f ( x1 ) > f ( x2 )
所以 f ( x ) 在(0,1)上是减函数 。 (用求导做同样给分) ----------------------------------- ------6

(3) m =

2x 4x + 1

? ? 当 x ∈ [ 0,1) 时,函数 f ( x) 单调递减, f ( x) ∈ ? , ? , ? 5 2? 2 1 ? 2 1? , , ? 5 2? ?

又因为 f ( x ) 是偶函数,所以当 x ∈ ( ?1,1) 时, f ( x ) ∈ ?

? ? 所以当 m ∈ ? , ? 时,方程在(-1,1)上有解。---------------------------10 分 ? 5 2? 2 1
20.解: (I)多面体 ABCDS 的体积即四棱锥 S—ABCD 的体积。 所以 VS ? ABCD

1 = S 3

1 2 3a 3 × 2a × a × 3a = . …………3 分 ABCD × | SD |= 3 3

(II)由题可知 DA、DA、DC 的的互相垂直,

∴ 如图建立空间直角坐标系

∴ S ( 3a,0,0), A(0, a,0), B (0, a,2a ), C (0,0,2a ), D (0,0,0)

∴ AD = (0,?a,0), SB = (? 3a, a,2a )
∴ cos < AD, SB >= AD ? SB | AD | ? | SB | =? 2 4

∴ AD 与 SB 所成的角的余弦为

2 . …………6 分 4

(III) DS = ( 3a,0,0), DB = (0, a,2a ) 设面 SBD 的一个法向量为 n = ( x, y , z )

r r uuu ?n ? DS = 0 ? r ? ? 3a = 0 ∴ ? r uuu ?? ? n = (0, ?2,1), r ?ay ? 2az = 0 ?n ? DB = 6 ? ?
又Q AB = (0,0,2a ), SA = ( ? 3a, a,0)

r ∴ 设面 SAB 的一个法向量为 m = ( x, y, z ) r r uuu ?m ? AB = 0 ? r ? ?2az = 0 ∴ ? r uur ?? ? m = (1, 3, 0), ? ?m ? SA = 0 ?? 3ax + ay = 0 ? r r m?n 15 r r ∴ cos < m, n >= r r = , | m|?| n | 5

所以所求的二面角的余弦为 解法二: (I)同解法一 (II)Q 矩形 ABCD,

15 5

…………10 分

∴ AD//BC,即 BC=a, = ∴ 要求 AD 与 SB 所成的角,即求 BC 与 SB 所成的角。…………3 分
在 ?SBC 中,由(1)知 SD ⊥ 面 ABCD。

∴ Rt?SDC中, SC = ( 3a) 2 + (2a ) 2 = 7 a
∴ CD 是 CS 在面 ABCD 内的射影,且 BC ⊥ CD,

∴ SC ⊥ BC tan ∠SBC =

SC 7a = = 7, CB a
2 , 4 2 , …………6 分 4

∴ BC 与 SB 所成的角的余弦为

从而 SB 与 AD 的成的角的余弦为

(III)Q ?SAD中SD ⊥ AD, 且SD ⊥ AB,

∴ SD ⊥ 面 ABCD。

∴ 面SDB∠面ABCD, BD 为面 SDB 与面 ABCD 的交线。
∴ 过A作AE ⊥ DB与E ∴ AE ⊥ 面 SDB
又过A作AF ⊥ SB 于 F,连接 EF
从而得: EF ⊥ SB

∴ ∠AFE 为二面角 A—SB—D 的平面角
在矩形 ABCD 中,对角线 BD =

a 2 + ( 2 a ) 2 = 5a,

∴在?ABD 中, AE =

AB ? CD a ? 2a 2 5 = = a. BD 5 5a

由(2)知在 Rt?SBC中, SB =

( 7a ) 2 + (2a) 2 = 8a.

而 Rt?SAD中, SA = 2a, 且AB = 2a.

∴ SB 2 = SA 2 + AB 2 ,
∴ ?SAB 为等腰直角三角形且 ∠SAB为直角,

∴ AF =

2 AB = 2a 2

2 5 a AE 10 5 , ∴ sin ∠AFE = = = AF 5 2a
所以所求的二面角的余弦为

15 . …………10 分 5

21.解: (1)① f '( x ) =

? f '(1) = a ? 2b = 0 a 1 ? 2bx ∵函数 f ( x) 在 x = 1 处与直线 y = ? 相切∴ ? 解 ? 1 , x 2 f (1) = ?b = ? ? ? 2

得?

?a = 1 ? 1 ?b = 2 ?

…………2 分

1 2 1 1 ? x2 ② f ( x ) = ln x ? x , f '( x ) = ? x = 2 x x


1 1 ≤ x ≤ e 时,令 f '( x) > 0 得 ≤ x < 1 ; e e

令 f '( x ) < 0 ,得 1 < x ≤ e ∴ f ( x )在? ,1? 上单调递增,在[1,e]上单调递减, e

?1 ? ? ?

∴ f ( x)max = f (1) = ?

1 2

…………6 分

(2) b=0 时, f ( x ) = a ln x 若不等式 f ( x ) ≥ m + x 对所有的 a ∈ ? 0, ? , x ∈ 1, e 2 ? 都成立, 当 ? 2 则 a ln x ≥ m + x 对所有的 a ∈ ? 0, ? , x ∈ 1, e 2 ? 都成立, ? 2

? 3? ? ?

(

? 3? ? ?

(

即 m ≤ a ln x ? x, 对所有的 a ∈ [0, ], x ∈ 1, e

3 2

( ] 都成立,
2

2 ? 令 h( a ) = a ln x ? x, 则h( a ) 为一次函数, m ≤ h( a ) min Q x ∈ 1, e ? ,∴ ln x > 0,

(

3 ∴ h(a )在a ∈ [0, ] 上单调递增∴ h(a ) min = h(0) = ? x , 2
∴ m ≤ ? x 对所有的 x ∈ (1, e 2 ? 都成立。 ?
2 Q1 < x < e 2 ,∴ ?e 2 ≤ ? x < ?1, ∴ m ≤ (? x) min = ?e ----------------------------------10 分

( 注 : 也 可 令 h( x) = a ln x ? x, 则m ≤ h( x) 所 有 的 x ∈ 1, e 2 ? 都 成 立 , 分 类 讨 论 得 ?

(

3 m ≤ h( x) min = 2a ? e2 对所有的 a ∈ [0, ] 都成立,∴ m ≤ (2a ? e 2 )min = ?e 2 ,请根据过程酌情给 2
分) 22.解:(1) 曲线 C 的方程

x2 = 4y

--------------3 分

2 x12 x2 x2 1 (2) (ⅰ)设 E ( a,?2), A( x1 , ), B ( x 2 , ) ,Q y = ∴ y' = x 4 4 4 2

过点 A的的的线切线方程为

y?

x12 1 = x1 ( x ? x1 ), 切线过 E点, Q 4 2

∴ ?2 ?

x12 1 = x1 (a ? x1 ), 整理得: x12 ? 2ax1 ? 8 = 0 4 2
2

同理可得: x2 ? 2ax2 ? 8 = 0

∴ x1 , x 2 是方程 x 2 ? 2ax ? 8 = 0的的根 ∴ x1 + x 2 = 2a, x1 ? x 2 = ?8
可得 AB中点为 (a,

a2 + 4 ) 2

又 k AB

2 x12 x2 ? y ?y x +x a = 1 2 = 4 4 = 1 2 = x1 ? x2 x1 ? x2 4 2

a2 a ∴ 直线AB的方程为y ? ( + 2) = ( x ? a ) 2 2

即y =

a x + 2 ∴ AB过定点 ( 0,2 ) 2

--------------------------6 分

(ⅱ)由(ⅰ)知 AB 中点 N ( a,

a2 + 4 a ) , 直线AB的方程为y = x + 2 2 2
a2 + 4 2 = ? ( x ? a) 2 a

当 a ≠ 0 时,则 AB 的中垂线方程为 y ?

∴ AB 的中垂线与直线 y = ?2 的交点 M (

a 3 + 12a , ?2) 4

a 3 + 12a a2 + 4 2 1 2 2 ∴ MN = ( ? a ) + ( ?2 ? ) = (a + 8) 2 (a 2 + 4) 4 2 16
2

Q AB = 1 +

a2 ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = (a 2 + 4)(a 2 + 8) 4

若 ?ABM 为等边三角形,则 MN =

3 AB 2



1 2 3 (a + 8) 2 (a 2 + 4) = (a 2 + 4)(a 2 + 8), 16 4

解得 a 2 = 4,∴ a = ±2, 此时 E ( ±2, ?2) , 当 a = 0 时,经检验不存在满足条件的点 E 综上可得:满足条件的点 E 存在,坐标为 E ( ±2, ?2) .----------------------10 分

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