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等比数列知识点总结与典型例题精华版

等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义: 2、通项公式: an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q an a ? q ? n?m n am am an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1 推广: an ? am q n ? m ? q n ? m ? 3、等比中项: (1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A2 ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? 1? q ? a1 ? an q 1? q a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q 5、等比数列的判定方法: (1)用定义:对任意的 n ,都有 an?1 ? qan或 列 (2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若 an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1 an?1 ? q( q为常数, an ? 0) ? {an }为等比数 an 7、等比数列的性质: (2)对任何 m, n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m 。 (3)若 m ? n ? s ? t ( m, n ,s , t ? N * ) ,则 an ? am ? as ?at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时,得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ??? 等差和等比数列比较: 等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项 A? a n ?1 ? a n ? d 等比数列 a n ?1 ? q ( q ? 0) an a n ? a n ?1 q ; a n ? a m q n?m a n ? a n ?1 ? d ; a n ? a m ? n ? md a n ? a1 ? (n ? 1)d a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 ) a n?k ? a n? k ( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 2 Sn ? n (a1 ? a n ) 2 G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0) ( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 前 n 项和 n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2 ?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q ? ? 重要 性质 am ? an ? a p ? aq ( m, n , p , q ? N * , m ? n ? p ? q ) am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q) 经典例题透析 类型一:等比数列的通项公式 例 1.等比数列 {an } 中, a1 ? a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,求 a11 . 思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于 a1 和 q 的二元方程组,解出 a1 和 q ,可 得 a11 ;或注意到下标 1 ? 9 ? 3 ? 7 ,可以利用性质可求出 a3 、 a7 ,再求 a11 . 解析: ?a1 ? a9 ? a1 ? a1q 8 ? 64 ? 法一:设此数列公比为 q ,则 ? 2 6 ? ?a3 ? a7 ? a1q ? a1q ? 20 由(2)得: a1q2 (1 ? q4 ) ? 20 ..........(3) ∴ a1 ? 0 . 由(1)得: (a1q4 )2 ? 64 , ∴ a1q4 ? 8 ......(4) (3)÷(4)得: (1) (2) 1 ? q 4 20 5 ? ? , q2 8 2 1 2 2 10 当 q ? 2 时, a1 ? 2 , a11 ? a1 ? q ? 64 ; 1 2 当 q ? 时, a1 ? 32 , a11 ? a1 ? q10 ? 1 . 2 法二:∵ a1 ? a9 ? a3 ? a7 ? 64 ,又 a3 ? a7 ? 20 , 2 ∴ 2q4 ? 5q2 ? 2 ? 0 ,解得 q 2 ? 2 或 q ? ∴ a3 、 a7 为方程 x 2 ? 20 x ? 64 ? 0 的两实数根, ∴? ?a 3 ? 16 ?a 3 ? 4 或? ?a 7 ? 4 ?a 7 ? 16 ∵ a3 ? a11 ? a7 2 , ∴ a11 ? a7 2 ? 1 或 a11 ? 64 . a3 总结升华: ①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量; ②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除 式不为零). 举一反三: 【变式 1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求 a6。 【答案】±96 8 8 法一:设公比为 q,则 768=a1q ,q =256,∴q=±2,∴a6=

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