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高二数学07曲线和方程圆的方程培优教案


曲线和方程 [本讲主要内容] 1. 曲线的方程的定义. 2. 用直接法求曲线的方程一般步骤. 圆的方程 3. 设曲线 C1, f1 ?x, y ? ? 0 , C2 : f 2 ?x, y ? ? 0 , 则有以下结论 : ①若 C1 , C2 有交点 , 则 ? f ?x, y ? ? 0 的实数解 . ②方程组有几组实数解 , 而曲线 C1 , C2 的交点 M ? 方程组 ? 1 ? f 2 ?x, y ? ? 0 C1 , C2 就有几个交点;方程组无实数解,两曲线 C1 , C2 就无交点. 4. 圆的定义及圆的标准方程. 5. 圆的一般方程及参数方程. 6. 点与圆,直线与圆及圆与圆的位置关系. ]学习指导] 1. 根据曲线形成的几何条件,在选定的坐标系下求出曲线方程,这是解析几何的基本问题,也 是代数方法研究几何问题的基础,求曲线方程的方法,一般有定义法、直接法、变量代换法 (转移法).直接法的一般步骤是: (1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标;(2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P ? M P?M ? ;(3)用坐标表示条件 P(M)列出 方程 f ?x, y ? ? 0 ;(4)化方程 f ?x, y ? ? 0 为最简形式;(5)证明化简后的方程是所求曲线的 方程. 2 2 2. 方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,当 t ? D ? E ? 4F ? 0 时,表示一个圆;当 t=0 时,表 2 2 ? ? 示一个点;当 t<0 时,无轨迹. 3. 解决和圆有关的问题,通常可考虑三种方法: (1)代数法,(2)几何法,(3)参数方程法. 如直线被圆所截得的弦长的求法: ① 几何法: 用弦心距半径及半弦构成的直角三角形. ② 代数法: 由方程组 ? ?圆的方程 ?直线方程 2 消元得一元二次方程,再由韦达定理可求出弦长: AB ? ?1 ? k ??x 2 A ? xB ? . 再如求某些最值问题常利用圆的参数方程. 4. 在判断点与圆,直线与圆,圆与圆的位置关系时,要注意位置关系与数量关系的等价性,在解 决直线与圆相切时,除运用代数法外,还应注意运用几何知识去求解往往更加简便. [例题精讲] 例1. 过点(2,0)平行于 y 轴的直线 l 的方程是 x ? 2 吗?如果是,请说明理由;如不是,应怎样 改? [分析及解] 根据 “曲线的方程” 的概念,过点(2,0)平行于 y 轴的直线 l 上任一点的坐标是方程 x ? 2 的解,即满足轨迹的“纯粹性”,但以方程 x ? 2 的解为坐标的点不都在直线 l 上,所以不满足 轨迹的完备性,故 x ? 2 不是直线 l 的方程.正确答案应是直线 l 的方程,为 x=2. 例2. 过定点 A(a,b)作互相垂直的两条直线 l1 和 l2,它们分别与 x 轴,y 轴交于 M,N 两点,求线 段 MN 的中点 B 的轨迹方程. [分析及解] 此题按求曲线方程的一般步骤,先设 MN 的中点 B 的坐标为(x,y),则 N(0,2y),M(2x,0),由 勾 股 定 理 得 , AN 2 2 ? AM 2 ? MN 2 , 即 点 M,N 满 足 此 关 系 式 , 所 以 a 2 ? ?2 y ? b? ? a 2 ? b 2 ? 0 ,化简得 2ax ? 2by ? a 2 ? b 2 ? 0 .即是所求线段 MN 的中点 B 的 轨迹方程. 例3. 已知点 P 是圆 x 2 ? y 2

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