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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第三章 3.2.2_图文

3.2.2

3.2.2 复数代数形式的乘除运算

【学习要求】

本 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.

课 时

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.

栏 目

3.理解共轭复数的概念.

开 【学法指导】



复数的乘法可类比多项式的乘法,不必专门记公式;复

数的除法是乘法的逆运算,可先写成分数形式,分母

“实数化”.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.2.2

1.复数的乘法法则



设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),

课 时

则z1·z2=(a+bi)(c+di)=_(_a_c_-__b_d_)_+__(a_d_+__b_c_)_i .

栏 目

2.复数乘法的运算律

开 关

对任意复数z1、z2、z3∈C,有

交换律

z1·z2=___z_2·_z_1 __

结合律

(z1·z2)·z3=___z_1_·(_z_2·_z_3)___

乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=____z1_z_2+__z_1_z_3 ___

填一填·知识要点、记下疑难点

3.2.2

3.共轭复数

如果两个复数满足_实__部__相__等__,__虚__部__互__为__相__反__数__时,称这



两个复数为共轭复数,z的共轭复数用 z 表示.即z=a+





bi,则 z =__a_-__b_i__.



目 开

4.复数的除法法则



设则zzz121==aac+++dbbiii,=z_2_=ac_c2_c+ +_+_bd_dd2_i+(_c_+bc_c2_- +d_i_≠ad_d2_0i_),____.

研一研·问题探究、课堂更高效

3.2.2

探究点一 复数乘除法的运算

本 问题1 怎样进行复数的乘法?

课 时

答 两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要把已

栏 目

得结果中的i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即

开 关

可.

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3.2.2

问题2 如何理解复数的乘除法运算法则?

答 复数的乘法可以把i看作字母,按多项式乘法的法则



进行,注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简.复数

课 时

的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母

栏 目

与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则

开 关

只需同时乘以i).

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例1 计算:(1)(2+i)(2-i);

(2)(1+2i)2;

(3)(11+ -ii)6+

2+ 3-

3i 2i.

本 课

解 (1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5;



栏 目

(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i;

开 关

(3)方法一

原式=[?1+2 i?2]6+?

2+ 3i?? 3+ ? 3?2+? 2?2

2i?

=i6+

6+2i+3i- 5

6=-1+i.

3.2.2

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方法二 (技巧解法)

本 课

原式=[?1+2 i?2]6+??

2+ 3-

3i?i 2i?i



栏 目 开

=i6+?

2+ 2+

33ii?i=-1+i.



3.2.2

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3.2.2

小结 (1)复数的乘法可以按照乘法法则进行,对于能够使

本 用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简便,例

课 时

如平方差公式、完全平方公式等.

栏 目

(2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数.





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跟踪训练1 (1)i是虚数单位,复数-1+1+2i3i等于

A.1+i

B.5+5i

C.-5-5i

D.-1-i



课 时 栏

解析 -11++23i i=?-?11++23i?i??1?1--22i?i?=5+5 5i=1+i.



开 关

故选A.

3.2.2 (A)

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(2)复数i2+1-i3+i i4等于

A.-12-12i

B.-12+12i

本 课 时

C.12-12i

D.12+12i

栏 目 开 关

解析 i2+1-i3+i i4=-11--ii+1=1--ii

=?1--ii??1?+1+i?i?=-i2+1=12-12i.

3.2.2 (C)

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3.2.2

探究点二 共轭复数及其应用 问题 共轭复数有哪些性质,这些性质有什么作用?

答 (1)在复平面上,两个共轭复数对应的点关于实轴对称.

本 课

(2)实数的共轭复数是它本身,即z= z ?z∈R,利用这个性

时 栏

质可证明一个复数为实数.

目 开

(3)若z≠0且z+ z =0,则z为纯虚数,利用这个性质,可证

关 明一个复数为纯虚数.

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3.2.2

例2 已知复数z满足|z|=1,且(3+4i)z是纯虚数,求z的共轭 复数 z . 解 设z=a+bi(a,b∈R),

则 z =a-bi且|z|= a2+b2=1,即a2+b2=1.





课 因为(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(3b+4a)i,而


栏 (3+4i)z是纯虚数,


开 关

所以3a-4b=0,且3b+4a≠0.



由①②联立,解得?????ab= =4535, ,

或?????ab= =- -4535, .

所以 z =45-35i,或 z =-45+35i.

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3.2.2

小结 本题使用了复数问题实数化思想,运用待定系数

本 课

法,化解了问题的难点.











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3.2.2

跟踪训练2 已知复数z满足:z·z +2iz=8+6i,求复数z的 实部与虚部的和.

解 设z=a+bi(a,b∈R),则z·z =a2+b2,



课 ∴a2+b2+2i(a+bi)=8+6i,



栏 目

即a2+b2-2b+2ai=8+6i,



关 ∴?????a22a+=b62-2b=8 ,解得?????ab= =31 ,∴a+b=4,

∴复数z的实部与虚部的和是4.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.2.2

1.设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z等于

本 A.-i

B.i



时 栏 目

解析 z=1i =-i.





C.-1 D.1

(A )

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.2.2

2.若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+z)z等于 ( A )

本 课

A.1+3i B.3+3i C.3-i D.3



栏 解析 (1+z)·z=(2+i)·(1+i)=(2×1-1)+(2+1)i=1+3i.







练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.复数1i+-22i等于

本 课

A.i

时 栏 目

C.-45-35i





B.-i D.-45+35i

3.2.2 (A)

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.2.2

4.复数z=

2-i 2+i

(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限



(D )

A.第一象限

B.第二象限

本 课

C.第三象限

D.第四象限



栏 目 开

解析 因为z=22- +ii=?2-5 i?2=3-5 4i,



故复数z对应的点在第四象限,选D.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.2.2

1.复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数

的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.





(2)在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写





成分式的形式,再把分子、分母都乘以分母的共轭复

目 开

数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化.

关 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.

3.复数问题实数化思想.

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,其桥

梁是设复数z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等的充要条

件转化.