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函数奇偶性课件


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观察下列两个函数图象并思考以下问题: (1)这两个函数图象有什么共同特征吗? (2)当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值如 y 何? y
o x

o

x

f ( x) ? x 2

f ( x) ? x

x
f ( x) ? x 2

-3 -2 9 4

-1

1

0 0 0 0

1

1
1 1

2 4 2 2

3 9 3 3

x
f ( x) ? x

-3 -2 -1 1 2 3

概念形成

1. 偶函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.

偶函数的特征:
①解析式的基本特征:

f (-x)=f (x)

②图像特征: 关于y轴对称.

下列函数是偶函数吗?
y y y


1
2

x

1

x

f ( x) ? x x ? (??,1]

f ( x) ? x2(x ? 1)

-1

1

x

f ( x) ? x 2 x ? (??, ?1] ? [1, ??)

不是

不是



再观察下列函数的图象,它们又有什么样的特点 y 规律呢?
O x0 x

f?x? = x3

f ( x) ?

1 ( x ? 0) x

x
f ( x) ? x3

-3 -2 -1 ? 27 ? 8 ? 1 -3 -2
1 ? 2

0
0

1
1

2
8

3
27

x
f ( x) ? 1 x

-1

1

2
1 2

3
1 3

?

1 3

?1

1

概念形成
2.奇函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

奇函数的特征:
①解析式的基本特征: ②图像特征:

f (-x)=-f (x)

关于原点对称.

对于奇、偶函数定义的几点说明:
(1) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条 件。
[-b,-a]
o

[a ,b]

x

(2) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,
那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.

(3) 函数的奇偶性是函数的整体性质.

(1)图像法

(2)定义法

图象法
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y y


x


x

2 f ( x) ? 2 x ? 11
y

f ( x) ? x

-1

2

非奇 非偶 x

y

-1 1


x

f ( x) ? x 2 , x ? [?1,2]

f ( x) ? x 3 , x ? [?1,1]

定义法
例2. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x; (2) f(x)=2x4+3x2; 解: 函数定义域为R. ∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 =2x4+3x2 = f(x) ∴f(x)为偶函数. 解: 函数定义域为R. ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) = - f(x) ∴f(x)为奇函数.

函数奇偶性判断的方法 (1)定义法:

(2)图象法: 若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图

象关于 y 轴对称,则函数为偶函数.此法多用在解选择、填空 题中.

练习.判断下列函数的奇偶性
1 (1) f ( x ) ? x ? x
解:定义域为{x|x≠0},
? f (? x ) ? (? x ) ? ( 1 ) ?x ? ?x ? 1 , x

(2)f(x)=5 解:f(x)的定义域为R. ∵ f(-x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数. y 5 o x

即 f(-x)= - f(x),

∴f(x)为奇函数.

1奇偶性定义:

2图象性质:

奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称.

3判断奇偶性方法: 图象法,定义法。 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提


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