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等差、等比数列的综合问题

知识网络图解

专 题 2 数列
数列

概 念 性 质

等 差 数 列

等 比 数 列

递 归 数 列

数 列 求 通 项

数 列 求 和

数学归纳法

数列极限

原证 题 技
理巧

无等

定 义

求 极 限

究比 递数 缩列

一、数列的概念、性质

例①若数到{αn}满足 αn+1= 2αn ,

0≤αn<

1 2

若 α1= 6 则 α2009 的值为( ) 7

6

2αn-1,
5

3

1 2

≤αn<1

1

A.

B.

C.

D.

7

7

7

7

②αn= n ? 2004 则数列{αn}最大项为( ) n ? 2008

A. α1

B. α45

C. α44

D. α2007

③通项为 αn=n2-α n+1 的数列{αn}是递增数列,则实数 α 的取值范围为_________

二、等差数列、等比数列

知识整合

等差数列

等比数列

定义 通项

αn-αn-1=d(d 为常数,n≥2,n? N·) an ? q(q 为常数,n≥2, (n ? N*)
an?1

αn=α1+(n-1)d 或 αn=

αn=α1qn-1 或 αn=αm·qn-m

公式 αm+(n-m)d

前n 项和 公式
中项

sn

?

(a1

? an )n 2

n(n ?1) =nα1+ 2 d

2αn=αn-1+αn+1(n≥2)

等差数列的性质

nα1

S= a1(1? qn ) ? a1 ? anq

1? q

1? q

αn2=αn-1·αn+1(n≥2)

等比数列的性质

(q=1) (q≠1)

(1)m,n,p,q? N,若 m+n=p+q, (1)m、n、p、q? N·,若 m+n= p+q,则 αm·αn=αp·αq,

则 αm + αn=αp+αq , 特 别 地 α1 + αn=α2+αn-1=… (2)αn=αn+b(α,b 是常数)是{αn} 成等差数列的充要条件,(n,αn)是 直线上的一群孤立的点

特别地 (2)当

α1ααqn=1>>α21α0n-或1=…α01<<q0<1时,{αm}为递增数列,

α1<0

α1<0

当 0<q<1 或 q>1 时,{αn}为递减数列

性 (3)数列{αn}的前 n 项和 Sn=αn2+bn(α (3)若{αn}和{bn}均是等比数列,则{αnbn}仍为等

≠0)是{αn}成等差数列的充要条件 比数列

(4)等差数列的单调性 d>0 ? {αn} (4)等比数列中依次 k 项和成等比数列,即 Sk,

为递增数列,Sn 有最小值。

S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列,其公比为 qk(公

d<0 ? {αn}为递减数列,Sn 有最大值 比 q 不为-1)

d=0 ? {αn} 均 是 等 差 数 列 , 则 (5)等比数列中依次 k 项积成等比数列,记 Tn



(mαn+kbn)仍为等差数列,m、k 为 常数 (6)等差数列中依次 k 项和成等差数

为前

n

项积,即

Tk,

T2 k Tk

, T3k T2 k

,…成等比数列,

列,即 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等 差数列,公差为 k2d

其公比为 qk2

( 7 ) 项 数 为 偶 数 2n 的 等 差 数 列

{αn},S2n=n(αn+αn+1);项数为奇数 2n- 1 的等差数列{αn},有 S2n-1=(2n-1)

αn(αn 为中间项)且 s奇 ? n s偶 n ?1
要点 热点 探究



1(1)已知两个等差数列{αn}和{bn}的前

n

项和分别为

An 和

Bn,且

An Bn

=

7n ? 45 n?3

,则使

得 an 为整数的正整数 n 的个数是( ) bn

A.2

B.3

C.4

D.5

(2)已知等差数列{αn}的前 n 项和为 Sn,若 OB=α6OA+α195OC,且 A、B、C 三点共线(该 直线不过点 O),则 S200 等于( )

A.100

B.101

C.200

D.201

(3)与差数列{αn}中,S6=36,Sn=324,Sn-6=144,则 n=___________ (4)等差数列{αn}共有 2n+1 次,其中奇数项之和为 319,偶数次之和为 290 则其中间项的

值为

()

A. α9=10

B. α10 =16

C. α11 =29

D. α12=39

解 ?1?????an

?

a1

? a2n?1 2

? (2n ?1)

?

A2n?1

?

7(2n ?1) ? 45

?7?

12

bn b1 ? b2n?1 ? (2n ? 1) B2n?1

2n ?1? 3

n ?1

2

???????????????????? an ? z???????????n ? N*?????????? n ? 1, 2,3,5,11 bn

?2???? A? ??C三点共线 ? a6 ? a195 ? 1

s200

?

a1

? a200 2

? 200

?

a6

? a195 2

? 200

?

1 2

? 200

? 100

? ?3 ??sn ? sn?6 ? an?5 ? an?4 ? ? ? an ? 180

?????????????????s6 ? a6 ? a5 ? ? ? a1 ? 36?

? 6(a1 ? an ) ? 180 ? 36 ? 216??????a1 ? an ? 36

??sn

?

a1

? an 2

?n

? 18n

?

324????? n

? 18

? 4 ?? S奇
S偶

?

319 290

?

n ? 1?????? n n

? 10???????中间项为a11

?

a1

? a21 2

又S21

?

a1

? a21 2

? 21 ? 319 ? 290?????? a11

?

a1

? a21 2

?

29

例 2 等差数列{αn}的前 n 项和为 Sn,α1=1+ 2 ,S3=9+ 3 2
(1)求数列{αn}的通项 αn,与前 n 项和 Sn;
(2)设 bn= sn (n ? N*) ,求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列 n α1= 2 +1
【解析】(1)由已知得 3α1+3d=9+ 3 2 ∴d=2 故 αn=2n-1+ 2 ,Sn=n(n+ 2 ) (2)证明:由(1)得 bn= sn = n+ 2 n
假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq2 =bp br,

即 (q+ 2 )2=(p+ 2 )(r+ 2 ),∴(q2-pr)+(2 q-p-r) 2 =0

∵p,q,r? N·,∴

q2-pr=0 2 q-p-r=0

∴ ( p ? r )2 = pr,即(p-r)2=0,∴p=r,这与 p≠r 矛盾 2

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列

变式

已知数列{αn}中,α1=

1 2

,点(n,2αn+1-αn)在直线

y=x

上,其中

n=1,2,3…

(1)令 bn=αn+1-αn-1,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{αn}的通项;

(3)设

Sn,Tn 分别为数列{αn},{bn}的前

n

项和,是否存在实数 ?

,使得数列{

Sn

? ?Tn n

}

为等差数列?若存在,试求出 ? ;若不存在,则说明理由。

解(1)αn+2-αn+1-1=

1 2

(αn+1-αn-1)

(2)α1= 1 ,2α2-α1=1 2

α2=

1 2

(1+α1)=

3 4

α2-α1-1= 3 ? 1 ?1 ? ? 3

42

4

bn=αn+1-αn-1=

?

3 4

·(

1 2

)n+1

αn+1-αn=1-3(

1 2

)n+1

Tn=

?

3 2

?

3 2n?1

Sn=

n2

? 2

3n

?

3

?

3 2n

sn

? ?Tn n

?

n2

? 3n 2

?3?

3 2n

?

3 2

?

?

3? 2n?1

∴存在 ? ? 2 使 sn ? ?Tn ? n ? 3

n

2

{ n ? 3 }等差 2

例 3 已知数列{αn}为等差数列,公差 d≠0,由{αn}中的部分项组成的数列 ab1,ab2,…,abn ,…

为等比数列,其中 b1=1,b2=5,b3=17 (1)求数列{bn}的通项公式;

(2)记 Tn= Cn1b1 ? Cn2b2 ? C n3b3 ? …+Cnnbn ,求 Tn

解(1)∵

a

2 5

?

a1

? a17

∴ (a 1?4d )2 ? a1 (a1 ? 16d )

∴ a1 ? 2d

∴ q ? ab2 ? a5 ? a 1?4d ? 3

ab1 a1

a1

又 abn ? a1 3n?1 ? a1 ? (bn ? 1)d

∴ a1 3n?1

?

a 1?(bn

? 1)

a1 2

∴bn=2.3n-1-1

(2) Tn

?

2(Cn131

? Cn2 31 + …+ Cnn 3n?1)

-( Cn1

?

…+C n

n

)

=1+

2 3

( Cn13 ?

C 2n

? 32

? … ?C nn 3n )

?

(Cn0

?

… Cnn )

=

1 3

?

2 3

(C

0 n

?

C 2n 32

?

…+

C

n n

3n

)

?

2n

= 1 ? 2 (1? 3)n ? 2n

1
=

?

22n?1

? 2n

33

33

变式

(理)设数列{αn}的首项

α1=α



1 4

,且

αn+1=



bn=α2n-1-

1 4

n=1,2,3,…

1 2

αn,

n 为偶数

α n+ 1 ,n 为奇数 4

(1)求 α2,α3;

(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;

(3)求 lim (b1+b2+…+ bn) n??

(文)数列{αn}的前

n

项和为

Sn,且

α1=1,

αn+1=

1 3

sn

,n=1,2,3,…求:

(1)α2,α3,α4 的值及数列{αn}的通项公式;

(2)α2+α4+α6+…+α2n 的值

三、简单递推数列与数列求和

探究点一 基本求和问题

n
例 1(1)已知数列{αn}为等差数列,且公差不为 0,首项也不为 0,求和: ?

1

i?1 aiai?1

(2)已知 α >0 且 α ≠1 数列{αn}是首项为 α ,公比边也为 α 的等比数列,令 bn=αn·1gan

(n? N),求数列{αn}的前 n 项和 Sn

(3)已知 f、(x)= 1 求 f ' (0) ? f ' ( 1 ) +…+ f '( n)

9x ? 3

n

n

(4)数列{αn}满足 αn= n,

n 为奇数

2n,

n 为偶数

解:(1) n a1an?1

(2)

a lg a (1 ? a)2

[1

?

(1

?

n

?

na)an

]

(3)∵当 x1

?

x2

?

1时,f、(x1)+

f、(x2)=

9 x1 ?

x2

9x1 ? 9x2 ? 6 ? 3(9x1 ? 9x2

)

?

9

?

1 3

令 sn ?

f、(0) ? f ' ( 1 ) +…+ f ' ( n )

n

n

sn

?

f '(n) n

f ' ( n ?1) +… f ' (0) n

∴ 2sn

?[

f

' (0)+

f

' ( n ) ](n+1)= 1

n

3

(n+1)

∴sn=

n

? 6

1

(4)当 n=2k 时

sn= s2k=(α1+α3+…+α2k-1)+( α2+α4+…+α2k)= k 2

?

22k?2 ? 4 3

?

n2 4

?

2n?2 ? 4 3



n=2k+1 时 sn= s2k+1=
( n?1)2?2n?1?4

s2k+α2k+1= k 2
,n 为奇数

?

22k ?2 3

?

4

+2k+1= ( n ?1)2 2

?

2n?1 ? 3

4

∴sn=

2

3

n2 ? 2n?2?4 ,n 为偶数

4

3

例 2 数列{αn}中,α1=8,α4=2 且满足 αn+2=2αn+1-αn,n? N
(1)求数列{αn}的通项公式;

(2)设 Sn= a1 ? a2 ? … an ,求 Sn;

(3)设 bn ? 1 n(12 ? a)n

n(

?N

*)

,Tn ? b1 ? b2 ? …+ bn (n ? N*) ,是否存在最大的整数 m,

使得对任意

(n

?

N*)

,均有

Tn>

m 32

成立?若存在,求出

m

的值;若不存在,请说明理由

解析 (1)αn=8-2(n-1)=10-2n

(2)由 αn=10-2n≥0 得 n≤5

n≤5 时

Sn=α1+α2+…+αn

=8

n+

n(n ?1) 2

(-2)=9n-n2

n>5 时 Sn=α1+α2+…+α5-α6-α7-…-αm

=(α1+α2+…αn)-2(α1+…+α5)

=9 n2-n2-40

∴ Sn= 9 n-n2

n=5

9 n2+n2-40 n>5

(3)bn= 1
2n(n?1)

m<32· 1 (1- 1 ? 1 ? 1 ? … 1 ? 1 )

2

123

n n?1

m<16(1? 1 )
n?1

m<16(1 ? 1 )=8 ∴m 的最大值为 7
2

探究点二 用叠加法、累乘法、迭代法求通项公式

例 3(1)已知数列{αn}满 足 α1=1,αn=αn-1+ n(n≥2)则 αn=______ (2)已知数列{αn}满足 α1=2,αn=αn-1·2 n-1(n≥2),则 αn=_____

(3)在数列{αn}中

α1=3,αn+1=

a

2 n

(n ?

N*)

,则

αn=_____

解(1)

1

(n2

?

n2 ?n?2
n)??????????????2? 2 2 ??????????3? 32n?1

2

探究点三 构造新数列,转化为等差、等比数列问题 例 4(1)在数列{αn}中,若 α1=1,αn+1=2αn+3(n≥1),则该数列的通项 αn=____
(2) 在数列{αn}中,若 α1=1,αn+1=2αn+3n+1(n≥1),则该数列的通项 αn=_____

(3) 在数列{αn}中,若 α1=3, αn+1= 3an (n ? N*) 则该数列的通项 αn=_____ 2an ? 3

(4)已知数列{αn}满足

x1=3,

x2=

3 2

,

xn=

12(xn-1+

xn-2),n=3,4…,则数列{xn}的通项公式为____

解(4)令??xn ? Axn?1 ? B(xn?1 ? Axn?2 )



? ?? ?

A

?

? ??

AB

B?1 2
??1 2

?

?? A ???B

? ?

1 ?

1 2



?? ?

A

??B

? ?

? 1

1 2

若A=1 B=- 1 则 2

??????????xn

?

xn?1

?

?

1 2

( xn ?1

?

xn?2

)

=…=

? ??

?

1 2

?n?2 ??

? x2

?

x1 ?

?

3??? ?

1 ?n?1 2 ??

若A=- 1 B=1 则



2

?xn

?

1 2

xn?1

?

xn?1

?

1 2

xn?2

?

? xn

?

2 ? (? 1)n?1 2

?

x 2?

1 2

x1

?

3

探究点四 归纳——猜想——证明



5

数列{αn}满足

αn+1=2,αn>0,且(n+1)an

2

+

an

an?1



nan

2 ?1

=0,又数列{bn}满

bn=

2n?1

?

1

(1)求数列的通项 αn 和前 n 项和 Sn (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn (3)比较 Sn 与 Tn 的大小

【解答】(1)∵αn>0

(n

?

N

*)

,且(n+1)

an

2

+

an

an

?1

-

nan

2 ?1

=0,∴(n+1)

(

an an?1

)2

?(

an )?n?0 an ?1

∴ an ? ?1 或 n ,

an ?1

n ?1

∵αn>0 (n ? N*) ∴ an ? n an?1 n ?1

∴ an ? an ? an?1 ? an?2 ? … a3 ? a2 = n ? n ?1 ? n ? 2 ? … 2 ? 2 ? n 又 α1=2,

a1 an?2 an?2 an?3

a2 a1 n ?1 n ? 2 n ? 3 3 1

所以,αn=2n ∴Sn=α1+α2+…+αn
=2(1+2+…+n)= n2+ n (2)∵bn=2n-1+1 Tn= b1+ b2+…+ bn=(2°+21+…2n-1)+ n=2n+ n-1 (3)Tn-Sn=2n-n2-1 当 n=1 时,T1-S1=21-12-1=0 ∴T1= S1; 当 n=2 时,T2-S2=22-22-1=-1 当 n=3 时,T3-S3=23-32-1=-2 ∴T3<S3;当 n=4 时,T4-S4=24-42-1=-1, 当 n=5 时,T5-S5=25-52-1=6 ∴T5<S5;当 n=6 时,T6-S6=26-62-1=27, 猜想:当 n≥5 时,Tn>Sn,即 2n>n2+1.下用数学归纳法证明;
①当 n=5 时,前面已验证成立;

∴T2<S2 ∴T4<S4; ∴T6<S6.

②假设 n=k(k≥5)时命题成立,即 2k>k2+1 成立,那么当 n=k+1(k≥5)时, 2k+1=2·2k>2·(k2+1)= k2+ k2+2≥k2+5 k+2>k2+2 k+2=( k+1)2+1. 即 n=k+1(k≥5)时命题

也成立

由①②可知,当 k≥5 时,有 Tn= Sn; 综上可知:当 n=1 时,T1= S1;当 2≤n<5 时,Tn<Sn

当 n≥5 时,有 Tn>Sn。

变式 已知数列{αn}的数例,b1=1,b1+b2+…+ b10=145 (1)求{αn}的通项 bn

(1)设数例{αn}的通项

αn=logα(1+

1 bn

)(其中 α>0 且 α≠1)Sn 为{αn}的前 n 项和,试比较

Sn



1 3

logαbn+1

的大小。

规律技巧提炼

1、若数列{αn}满足

α1=α,αn+1=pαn+q(p、q

数,且

p≠),则数列{αn-

q 1? p

}是等比数例

2、或数列{αn}满足 α1=α, α2=b,αn+2= pαn+1+则原式可化为 αn+2-Aαn+1=B(αn+1-Aαn),用待定 法求出 A、B,从而转化为等比数列求解。 3、已知数列{αn},若满足 αn-αn-1=f (n),则用累乘法,若 αn= f (n),则求 αn 一般用叠

加法;若满足 an = f (n),可以考虑用迭代法。 an?1

4、归纳—猜想—证明体现了由具体到抽象,由特殊到一般,由有限到无限的辩证法,对

培养学生的逻辑思维能力、计算能力,熟悉归纳、演绎的论证方法,提高分析、综合、

抽象、概括等思维能力,都有重要作用。

5、数列求和的四种常方法:

倒序相加、错位相减、裂项相消、分解求和。

四、数列与函数、不等于式综合问题

探究点一 用函数思想研究数列问题

sn

例 1 数列{αn}的通项公式为 αn=7( 3 )2n-2-3( 3 )n-1 (n ? N*) ,则数列{αn}的( )

4

4

A..最大项为 α5,最小项为 α5 C.最大项为 α1,最小项为 α6

B.最大项为 α6,最小项为 α7 D.最大项为 α7,最小项为 α6

0 7 13 n

(2)在等差数列{αn}中,Sn 是前 n 项和,它满足 α1>0,d<0,S7=S13,则数列{Sn}中最

大项是_____

探究点二 以函数为载体,考查数列的有关基本知识

例2

设函数

f(x)=

1 x ?1

,点

A0

表示从标原点,点

An

坐标为(n,f(n))(n

(n

?

N*)

若向量 αn=A0A1+A1A2+…+An-1An,? n 是 αn 与 i 的夹角(其中 i=(1,0),设 Sn=tan? 1+tan? 2+…

+tan? n,求 Sn;

(2)已知函数 y=g(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 g(x)=6x-2.数列{αn}的前

n 项和为 Sn,点(n,Sn) (n ? N*) 均在函数 y=g(x)的图象上。

①求数列{αn}的通项公式;

②设 bn

?

3 an an?1

,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn



m 20

对所有

n

?

N

*

都成立的最小正整数

m

【解答】(1)An-1An=(n,f(n))-((n-1),f(n))=(1, n

1 ?1

?

1 n

(n≥2)

αn=(1,1?0)?(1,1?1)?…+(1,1 ?1) = (n,1 ) ,当 n=1 时,α1=(1, 1 )也适用.

2

32

n?1 n

n?1

2

∴tan?

n=

1 n ( n ?1)

∴Sn=

n 1?n

.

(2)①依题可设 f(x)=αx2+bx(α ≠0),则 f、(x)=2αx+b,由 f、(x)=6x-2 得 α=3,

b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x

又由点(n,Sn) (n ? N*) 均在函数 y=f(x)的图

象上,得 Sn=3n2-2n 当 n≥2 时,αn=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]

=6n-5 所以 αn=6n-5 (n ? N*)

②由①得

bn

?

3 anan?1

?

3

(6n?5)[6(n?1)?6]

=

1( 1 ? 1 ) 2 6n?5 6n?1



Tn

?

n ? bi i?1

=

1[(1?1 )?1 ? 1 )? 2 7 7 13

…+

(1 6n ?

5

?

1 )] 6n ?1

因此,使得 1(1? 1 ) < m
2 6n?1 20

(n ? N*)

成立的

m

必须且仅需满足

1 2



m 20

,即

m≥10,故满足要求的最小整数

m



10

变式 已知函数 f(x)= 1

(x<-2) (1)求 f(x)的反函数 f--1(x)

x2 ? 4

(2)α1=1,

1 an?1

?

?

f

?1(an ),

(n ?

N*)



αn

(3)设

Sn=

a

2 1

?

a22

…αn2,bn=Sn+1-Sn

是否存在最小的正整数

m

使对任意 (n ? N*) ,有

bn< m 成立?
25

探究点三 数列与函数、不等式的综合问题

例 3 已知函数 f(t)对任意实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2) +3,f(1)=1
(1)若 t ? N * ,试求 f(t)的表达式;
(2)满足条件 f(t)的所有整数能否构成等数列?若能构成等差数列,求出此数列;若 不能构成等差数列,请说明理由;

(3)若 t ? N * 且 t≥4 时,f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m 恒成立,求出 m 的最大值 解 (1)令 x=t y=1 f(t)-f(t-1)=3t2+3t-2
∴f(t)-f(1)=3(22+33+t2)+3(2+3+…+t)-2(t-1) f(t)= t(t+1)(t+2)-2t-3 (2)f(t)= t (t+1)(t-1)(t+2)=0 t=-3,-1,1 ∴ 等差数列-3,-1,1 或 1,-1,-3

(3)(t+1)(t+3)(t-1)≥m(t+1)(t+3) ∴m 的最大值为 3

∴m≤t-1

m≤4-1=3

变式 已知函数 f(x)= 1 x3 ? x2 ? 2. 3

(I)设{αn}是由正数组成的数列,前

n

项和为

Sn,其中

α1=3,若点(

an

,

an

2 ?1

?

2an?1 )

(n ? N*) 在函数 y= f‘(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在函数 y= f‘(x)的图象上;

(II)求函数 f(x)在区间(α-1,α)内的极值
解析 (1)因为 f(x)= 1 x2 ? x2 ? 2 ,所以 f‘(x)= x2+2x, 3

由点(

an

,

a2 n?1

?

2an?1) (n ?

N*)

在函数

y=f‘(x)的图象上,



an

2 ?1

?

2an?1

?

an 2

?

2a n

即 (an?1

? an )(an?1

? an

? 2)

?

0

又 αn>0 (n ? N*) ,所以 an?1 ? an ? 2 ,又因为 α1=3,所以数列{αn}是以 3 为首项,2

为公差的等差数列

所以

Sn=3n+

n(n ? 2

1)

×2=n2+2n,所以

Sn=

f‘(n),故点(n,Sn)

也在函数 y= f‘(x)的图象上

(II)f‘(x)= x2+2x=x(x+2),由 f‘(x)=0,得 x=0 或 x=-2

当 x 变化时 f‘(x)、f(x)的变化情况如下表:

x f‘(x) f(x)

(-α,-2) +

-2 0 极大值

(-2,0) -

注意到(α-1)-α=1<2,从而

0 0 极小值

(0,+ ? )


①当 α-1<-2<α,即-2<α<-1 时 f(x)的极大值为 f(-2)= 2 ,此时 f(x)无 3

极小值;

②当 α-1<0<α,即 0<α<1 时,f(x)的极小值为 f(0)=-2,此时 f(x)无极大值;

③当 α ≤-2 或-1≤α≤0 或 α≥1 时,f(x)既无极大值又无极小值

五、数列与解析几何的综合问题

要点热点探究

探究点一 以向量为切入点的数列与解析与综合问题

例 1:已知 i,j 分别是 x 轴,y 轴方向上的单位向量,OA1=j, OA2=10j, 且 An-1An=3 An An+1(n=2,3,4,…),

在射线 y=(x x≥0)从下到上依次有点 Bi(i=1,2,3,…),OB1=3i+3j 且 Bn?1Bn = 2 2(n=2,

3,4,…)

(1)求 A4A5;

(2)求 OAn,OBn;

(3)求四边形 AnAn+1Bn+1Bn 面积的最大值

解(1)AnAn+1=

1 3

An-1An

A4A5=

A1A2

(

1 3

)

n?1

=9j·

1 33

1
=
3

j

(2)AnAn+1=9j

(

1 3

)n?1

=

1 3n?3

j

∴OAn=OA1+ A1A2+…+An-1An

=j+9j+3j+…+

1 3n?4

j

29 ? (1)n?4

=

3j

2

依题意 Bn-1Bn=2(i+j)

OBn= OB1+ B1B2+…+ Bn-1Bn=(2n+1)(i+j)

S (3)Sn= ?OAn?1Bn?1

? S?OAnBn

29
=
2

?

n 3n?3

y An+1

Bn+1

An

Bn

O

x

Sn

?S

n?1?

?2n?3 3n?3

∴n≥2 时 Sn-Sn-1<0

∴S1>S2>…Sn>…

∴ (Sn )max

?

29 ? 2

1 2?2

?

47 2

探究点二 以函数图象为切入点的数列与解析几何综合问题

例 2 在直角坐标平面上有一点列 P1(x1, y1),P2(x2, y2),…Pn(xn, yn)对一切正整数

n,点

Pn

位于函数

y=

3x

?

13 4

的图象上,且

p

的横坐标构成以-

5 2

为首项,-1

为公差

的等差数列{xn}

(1)求点 P 的坐标;

(2)设抛物线列 C1,C2,C3…,Cn 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 Cn 的顶点为 Pn,且过点 Dn(0,n2+1),记与抛物线 Cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 K,

求: 1 ? 1 ? …+ 1

k1k2 k2 k3

kn?1kn

y

(1)Pn(

?

3 2

-n,

?3n

?

5 4



(2)设抛物线 (x ? 3 ? n)2 ? 2 p( y ? 3n ? 5)

2

4

D(0,n2+1)

O

x

∵过 Pn(0,n2+1)

Pn

∴( 3 ? n )2=2P( n2 ?1 ? 3n ? 5 ) 2P=1

2

4

∴y= (x ? 3 ? n)2 ? 3n ? 5

2

4

y’ x=0=2n+3 ∴kn=2n+3

1

1

11

1

?

?(

?

)

kn?1 kn (2n ? 1)(2n ? 2) 2 2n ? 1 2n ? 3

∴ 1 ? 1 +…+ 1

k1k 2 k2 k3

k k n?1 n

= 1 ( 1 ? 1 ? …+ 1 ? 1 )

2 5?7 7?9

2n ?1 2n ? 3

n ?1
=
10n ? 15

探究点三 以导数为工具的数列与解析几何问题

例 3 已知数列{αn}的首项 α1=5,前 n 项和为 sn ,且 sn?1 ? 2sn +n+5 (n ? N*)
(1)证明:数列{αn+1}是等比数列;

(2)令 f(x)= a 1 x ? a 2 x2 ? … ?an xn ,求函数 f(x)在点 x=1 处的导数 f ’(1),并比

较 2f ’(1)与 23n2-13n 的大小

(1) Sn+1=2sn+n+5 Sn=2sn-1+n+4

∴αn+1=2αn+1

∴αn+1+1=2(αn+1)

∴{αn+1}等比

(2)αn+1=(α1+1)2n-1=3.2n

αn=3.2n-1

f ’(x)=α1+2α2+3α3+…+nαn =3(21+2·22+3·23+…+n·2n)-(1+2+…+n)

=3(n-1)·2n+1+6- n(n ? 1) 2
2f ’(1)=6(n-1)2n+1+12- n2-2

n≥3 时 2f ’(1)-23n2-13n=12(n-1)[2n-(2n+1)]>0

n=1 时

2f ’(1)=23n2-13n

n=2 时

2f ’(1)<23n2-13n


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