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2010上期高二数学同步单元测试(二)--不等式单元测试(2)


高二数学同步单元测试(二) —不等式单元测试题(2)
一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M = x ∈ Z x ≤ 5 , N = x ∈ Z 10 ≤ x ≤ 1 , 则 M U N 中的元素的个数是 A. 10 B. 11
2 2

{

}

{

}

C. 15

D. 16 )条件 C. 充要 D.既不充也不必要

2.若 a, b ∈ R, 则 a > b 是 a > b > 0 的( A. 充分不必要 B. 必要不充分

3.给出下述命题:①若 a > 0, b > 0, 则

b3 a 3 + ≥ a 2 + b 2 + ( a b) 2 ; a b

②若 a > 0, 1 < b < 0, 则 ab < ab 2 < a; ③若 ab < 0, 则 a b < a + b ; ④若 a < b < a , 则 a > b . 其中不正确的是( ...
2 2



A. ①②

B。①③
2

C。③ )

D。③④

4.若 log a 5log b 5 > log b 5, 则( A. < a < b < 1 0
2

B。 < b < a < 1 0
2

C。 > a > 1 b

D。 < a < b < 1 或 b > a > 1 0 )

5.若 P = a + a + 1, Q = A. P ≤ Q

1 , 则 P 与 Q 的大小关系是( a a +1
C。 P ≥ Q

B。 P < Q

D。 P > Q

6.若定义在区间 (1, 0) 内的函数 f ( x ) = log a ( x + 1) 满足 f ( x ) > 0, 则 a 的取值范围是 () A. 0,



1 2

B。 (0, ]

1 2

C。 ( , +∞)

1 2

D。 (0, +∞ )

7.函数 y = x 2 + ax + b( x ∈ (0, +∞)) 是单调函数的充要条件是( A. a ≥ 0 B。 a ≤ 0 C。 a > 0 D。 a < 0 )



8.不等式 (1 x)(1 x ) > 0 的解集是(

A. x 1 < x ≤ 0 C. x 1 < x < 1

{

}

B。 {x x > 0 且 x ≠ 1} D。 {x x > 1 且 x ≠ 1}

{

}

x2 1 < 0 9.不等式组 2 的解集是( x 3x < 0
A. x 1 < x < 1



{

}

B。 x 1 < x < 3 )

{

}

C。 x 0 < x < 1

{

}

D。 x 0 < x < 3

{

}

10.若 8 x + 3 y ≥ 8 y + 3 x , 则( A. x y ≥ 0 B。 x + y ≥ 0

C。 x y ≤ 0

D。 x + y ≤ 0 )

11.若不等式 log 2 (1 ) > tan α ( π < α < A. ( 1, 0 ) B。 ( 0,1) C。 (1, 2 )

1 x

3π ) 恒成立,则实数 x 的取值范围为( 4
D。 (1, +∞ )

12.奇函数 f ( x ) 在区间 ( ∞, 0 ) 上单调递减,f (2) = 0, 则不等式 ( x 1) f ( x + 1) > 0 的解 集是( ) B。 3,1) U ( 2, +∞ ) ( C。 3, 1) ( D。 2, 0 ) U ( 2, +∞ ) ( A. 2, 1) U (1, 2 ) ( 二、填空题 13.若 x + y = 5, 则 xy 的最大值是 14. 不等式

2x 1 > 1 的解集为 x+3

.

15. 已知 A{x | 3 x ≥ 取值范围是

x 1}, B = {x | x 2 (a + 1) x + a ≤ 0} ,且 A B,则实数 a 的
.

16. 设 x、 是两个实数, y 给出下列五个条件: x + y > 1 ; x + y = 2 ; ① ② ③;x + y > 2 ④ x 2 + y 2 > 2 ; xy > 1 其中能推出 y 中至少有一个数大于 1” ⑤ “x、 的条件是 三、解答题 17. (本小题满分 12 分)解不等式 | .

2 x 1 x |< 2 .

18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = 1 时, ab > 1

1 证明: 0 < a < b 且 f (a ) = f (b) 当 ,x > 0, x

19. (本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式

x a2 < 0(a ∈ R) . xa

20. (本小题满分 12 分)某学校为了教职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建 筑面积为 A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为 2388 元/m2,且每层的建筑面积相同, 土地的征用面积为第一层的 2.5 倍.经工程技术人员核算,第一、二层的建筑费用相同 都为 445 元/m2,以后每增高一层,其建筑费用就增加 30 元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼 高层数,使总费用最少,并求出其最少费用.(总费用为建筑费用和征地费用之和). 21. (本小题满分 12 分)设 f ( x) =| lg x |, a 、b 是满足 f ( a ) = f (b) = 2 f ( 数,其中 0 < a < b . (1)求证: a < 1 < b ; (2)求证: 2 < 4b b < 3 .
2

a+b ) 的实 2

22. (本小题满分 14 分)已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + 1(a, b ∈ R, a > 0) ,设方程

f ( x) = x 的两个实根为 x1 和 x2.
(1)如果 x1 < 2 < x 2 < 4 ,若函数 f (x ) 的对称轴为 x=x0,求证:x0>-1; (2)如果 | x1 |< 2, | x 2 x1 |= 2 ,求 b 的取值范围.

参考答案
一、选择题 1.D 提示: M U N = {10, 9,L ,3, 4,5}
2 2 2.B 提示: a b = ( a + b)( a b).

3.C 提示:由

b3 a3 b3 a 3 + ab ≥ 2b 2 , + ab ≥ 2a 2 , 可得 + ≥ a 2 + b 2 + (a b) 2 ; 若 a b a b

ab < 0, 则 a b = a + b ; 若 a < b < a , 则 b < a , 得 a 2 > b 2 .
4.D 提示: log b 5(log a 5 log b 5) > 0, 若 b > 1, 则 b > a > 1; 若 0 < b < 1, 则 0 < b < a < 1. 或赋值: a =

1 1 5, b = 5; a = , b = . 5 25

5.C 提示:取 a = 0, 排除 B、D;取 a = 1, 排除 A。 6.A 提示:由 x + 1 ∈ ( 0,1) , log a ( x + 1) > 0 0 < 2a < 1. 7.A 提示:由

a ≤0a≥0 2

8.D 提示:取 x = 0 和 x = 2, 排除 B、A、C 9.C 10.B 提示: 8 x 3 x ≥ 8 y 3 y , 令 f (t ) = 8t 3t . 则 f (t ) 是增函数 . Q f ( x ) ≥ f ( y ),∴ x ≥ y. 11.A 提示:Q log 2 (1 ) > 1,∴1

1 x

1 x +1 > 2,∴ < 0. x x

12.C 提示: x > 1 时, x + 1 > 2, f ( x + 1) < f (2) = 0 ,此时无解; x < 1 时, x + 1 < 2, 若 x + 1 > 0, 则 f ( x + 1) < f (2) = 0, 故只需考虑 x + 1 < 0 的情形,这时

f ( x + 1) < 0 = f (2) 知 x + 1 > 2,∴3 < x < 1.

二、填空题 13.

25 4

提示: 4 xy ≤ ( x + y ) = 25.
2

14. {x | x <3或x > 4} 15. a ≥ 2 16. ③ 三、解答题
2x 1 < x + 2 17.解: 原不等式可化为 x 2 < 2 x 1 < x + 2即 , 2x 1 > x 2 解①得 x ≥ 解②得 18. 证明:

1 2

1 1 ≤ x < 5 ,故原不等式的解集为 {x | ≤ x < 5} 2 2

1 1, x ∈ (0,1] 1 x Q f ( x) =| 1 |= x 1 1 , x ∈ (1,+∞) x

而在 +∞) 上是增函数, 0<a<b 且 f(a)=f(b)得 0<a<1<b 由 故 f(x)在 (0, ] 上是减函数, (1, 1 和

1 1 1 1 1 = 1 , 即 + = 2 2ab = a + b > 2 ab a b a b

故 ab > 1, 即ab > 1 19.解:原不等式等何于 ( x a ) x a

(

2

) < 0.

a = 0 或 a = 1 时,原不等式无解;

0 < a < 1 时,有 a 2 < a, 原不等式的解集为 x a 2 < x < a ; a < 0 或 a > 1 时,有 a 2 > a, 原不等式的解集为 x a < x < a 2 .
20.解: 设楼高为 n 层,总费用为 y 元,则征地面积为 2.5 A m 2 ,征地费用为 5970 A 元,
n

{

}

{

}

n

楼层建筑费用为 [445+445+(445+30)+(445+30×2)+…+445+30×(n-2)] 元,故 y =

A 30 = (15n + + 400) A n n

5970 A 30 A 6000 + 15nA + + 400 A = (15n + + 400) A ≥ 1000 A (元) n n n
n

仅当 15n = 6000 即 n=20(层)时,总费用最少为 1000A 元 21. 证明: (1)由 f (a) = f (b)得 | lg a |=| lg b |,Q 0 < a < b,∴ lg a ≠ lg b 只能 lg a = lg b即 lg ab = 0

∴ ab = 1, 又0 < a < b,∴ 0 < a < 1 < b (2)
由 f (b) = 2 f ( a + b )得 | lg b |= 2 | lg a + b | 2 2 由于 a、b 为正数, a+b a+b a+b a+b 2 ∴ > ab = 1则 lg b > 0, lg > 0,∴ lg b = 2 lg , 则b = ( ) , 2 2 2 2 即 4b b 2 = a 2 + 2, 又0 < a < 1,∴ 2 < 4b b 2 < 3 . 22. 证明: (1)设 g ( x) = f ( x) x = ax 2 + (b 1) x + 1且a > 0 ,由 x1 < 2 < x 2 < 4 得

g (2) < 0, 且g (4) > 0
∴2

4a + 2b 1 < 0 3 1 3 1 1 即 ∴ 4a < b < 2a由 4a < 2a得a > 16a + 4b 3 > 0 4 2 4 2 8

3 b 1 , > > 1 8a 2a 4a

故 x = b > 1 1 = 1 ; (2) 0 1 2a 4 8

由 g ( x ) = ax 2 + (b 1) x + 1 = 0可知x1 x 2 =

1 > 0 ∴ x1 , x 2 同号, a

①若 0 < x1 < 2, 则x 2 x1 = 2,∴ x 2 = x1 + 2 > 2,∴ g (2) = 4a + 2b 1 < 0 又 | x 2 x1 | 2 =

(b 1) 2 4 = 4得2a + 1 = (b 1) 2 + 1(a > 0 ,负根舍去)代入上式得 2 a a

2 (b 1) 2 + 1 < 3 2b ,解得 b < 1 ; 4

②若 2 < x1 < 0, 则x2 = 2 + x1 < 2,∴ g ( 2) < 0 同理可求得 b >

即 4a-2b+3<0.

7 1 7 ,故当 0 < x1 < 2时b < , 当 2 < x1 < 0时b > 4 4 4


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