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www.mybwin35.com:2018-2019学年高一数学人教B版必修4课件:2.3.3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_图文

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第23课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

目标导航 (1)理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算; (2)能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直 有关的问题.

知识点 1 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ. 两个向量的数量积等于相应坐标乘 数量积 积的和,即 a· b=x1x2+y1y2 两个向 a⊥b?x1x2+y1y2=0 量垂直

讲重点 对数量积的坐标表示的理解 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和; (2)引入坐标运算后,使得平面向量数量积的运算和两个向 量的坐标运算联系起来,从而使得向量的工具性作用更强; (3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题,用向 量的坐标运算来实现几何问题的求解, 数形结合的思想在数量积 的应用中将体现更多.

知识点 2 三个重要公式

讲重点 对向量模长公式的理解 (1)模长公式是数量积的坐标表示 a· b=x1x2+y1y2 的一种特 例,当 a=b 时,则可得|a|2=x2+y2; → (2)若点 A(x1,y1),点 B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1), → |= ?x -x ?2+?y -y ?2,即|AB → |的实质是 A,B 两点间的 所以|AB
2 1 2 1

距离或线段 AB 的长度,这也是模的几何意义.

类型一 平面向量数量积的坐标运算 【例 1】 已知向量 a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1).求: (1)a· b;(2)(a+b)· (2a-b);(3)(a· b)· c,a· (b· c).

解析: (1)a· b=(1,3)· (2,5)=1×2+3×5=17. (2)∵a+b=(1,3)+(2,5)=(3,8), 2a-b=2(1,3)-(2,5)=(2,6)-(2,5)=(0,1), ∴(a+b)· (2a-b)=(3,8)· (0,1)=3×0+8×1=8. (3)(a· b)· c=17· c=17(2,1)=(34,17), a· (b· c)=a· [(2,5)· (2,1)]=(1,3)· (2×2+5×1)=9(1,3)=(9,27).

点评 (1)如果题目给出平面向量的坐标表示,可由已知条件求出 a,b 的坐标,再用向量的数量积的坐标公式求解. (2)如果知道两个向量的坐标,可直接套用平面向量数量积 的坐标运算公式求其数量积,不必利用定义去求数量积.

变式训练 1 如果 a=(2,-3),b=(x,2x),且 3a· b=4,求 x 的值.

解析: ∵a=(2,-3),b=(x,2x),3a· b=4, ∴(6,-9)· (x,2x)=4,即 6x-18x=4, 1 ∴-12x=4,∴x=- . 3

类型二 两向量垂直的坐标运算 【例 2】 已知向量 a=(cos(-θ),sin(-θ)), ? ?π ? ?π ?? ? ? ? ? ? b=?cos?2-θ?,sin?2-θ? ??, ? ? ? ? ?? (1)求证:a⊥b; (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 x=a+(t2+3)b,y=- k+t2 ka+tb 满足 x⊥y,试求此时 的最小值. t

解析:
?π ? ?π ? ? ? ? (1)∵a· b=cos(-θ)cos?2-θ?+sin(-θ)sin?2-θ? ?=sinθcosθ- ? ? ? ?

sinθcosθ=0.∴a⊥b. (2)由 x⊥y,得 x· y=0,即[a+(t2+3)b]· (-ka+tb)=0, ∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a· b=0, ∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0. 又|a|2=1,|b|2=1,∴-k+t3+3t=0,∴k=t3+3t, ? k+t2 t3+t2+3t 2 1? ? ?2 11 ∴ = =t +t+3=?t+2? + . t t 4 ? ? k+t2 1 11 故当 t=- 时, 有最小值 . 2 t 4

点评 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质与利用定 义解决垂直问题一致, 利用坐标表示是把垂直条件代数代, 从而 使判定方法更加简捷、 运算更加直接,体现了向量问题代数化的 思想.

→ → → 变式训练 2 已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC= (5-m,-(3+m)).若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求 实数 m 的值.

解析:若△ABC 为直角三角形, → ⊥AC →, 且∠A 为直角,则AB → =(3,1),AC → =(2-m,1-m), 由已知AB 7 ∴3(2-m)+(1-m)=0,解得 m= . 4

类型三 两向量夹角的坐标运算 【例 3】 已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y)且 a∥b,a⊥c. (1)求 b 与 c; (2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m,n 的夹角的大小.

解析: (1)∵a∥b,∴3x=4×9,∴x=12. ∵a⊥c,∴3×4+4y=0, ∴y=-3,∴b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1), 设 m,n 的夹角为 θ, -25 - 2 m· n -3×7+?-4?×1 2 2 则 cosθ= = = . 2 2 · 7 +1 = |m ||n| 2 25 2 ?-3? +?-4? 3π 3π ∵θ∈[0,π],∴θ= ,即 m,n 的夹角为 . 4 4

点评 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤为: (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的 数量积. (2)利用|a|= x2+y2计算出这两个向量的模. x1x2+y1y2 (3)由公式 cosθ= 2 2 2 2直接求出 cosθ 的值. x1+y1· x2+y2 (4)在 0≤θ≤π 内,由 cosθ 的值求角 θ.

变式训练 3 已知 a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数 λ 的取值范围,使 得①a 与 b 的夹角为直角;②a 与 b 的夹角为锐角.

解析:设 a 与 b 的夹角为 θ,|a|= 12+22= 5, |b|= 1+λ2,a· b=1+2λ. ①因为 a 与 b 的夹角为直角. 1 所以 cosθ=0,所以 a· b=0,所以 1+2λ=0,所以 λ=- . 2 ②因为 a 与 b 的夹角为锐角,所以 cosθ>0 且 cosθ≠1. 所以 a· b>0 且 a 与 b 不同向. 1 由 a· b<0 得 1+2λ>0,故 λ>- , 2 ∵a 与 b 的横坐标都是 1,当 λ=2 时,a 与 b 方向相同,∴ 1 a 与 b 的夹角为锐角,λ>- 且 λ≠2. 2

类型四 利用数量积的坐标表示求向量的模 【例 4】 已知 a=(m+1,-3),b=(1,m-1),若(a+b) ⊥(a-b),求|a|,|b|.

解析:∵a=(m+1,-3),b=(1,m-1),(a+b)⊥(a-b), ∴(a+b)· (a-b)=0. ∴|a|2-|b|2=0,即|a|=|b|. ∴ ?m+1?2+?-3?2= 12+?m-1?2,解之得 m=-2. ∴|a|= ?-2+1?2+?-3?2= 10= 1+?-2-1?2=|b|. 答案:|a|=|b|= 10

点评 本题关键是利用坐标运算及向量垂直的关系, 列出方程求出 未知参数 m,再利用向量模的定义求出向量的模.

变式训练 4 平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a=(2,0),|b| =1,则|a+2b|=( ) A. 3 B.2 3 C.4 D.12

解 析 : 由 已 知 |a| = 2 , |a + 2b|2 = a2 + 4a· b + 4b2 = 4 + 4×2×1×cos60° +4=12,∴|a+2b|=2 3. 答案:B


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