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2016-2017学年高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法3.1综合法课后演练提升北师大版选修1-2资料


2016-2017学年高中数学 第三章 推理与证明 3 综合法与分析法 3.1 综合法课后演练提升 北师 大版选修1-2
一、选择题 1.若a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是(  ) A.a2+b2≥2ab      B.a+b≥2 C.a2+b2≥(a+b)2 D.+<(a≠b) 解析: a2+b2≥2ab,a+b≥2. a2+b2-(a+b)2=a2+b2-ab=(a-b)2≥0 即a2+b2≥(a+b)2.故选D. 答案: D 2.对于0<a<1,给出四个不等式:①loga(1+a)<loga;②loga(1 +a)>loga;③a1+a<a1+;④a1+a>a1+. 其中成立的是(  ) A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④ 解析: ∵0<a<1,∴0<a< ∴1<1+a<1+, 又∵0<a<1, ∴loga(1+a)>loga,且a1+a>a1+. 答案: D 3.p=+,q= (m,n,a,b,c,d均为正数),则p,q的大小为 (  ) A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定 解析: q=≥ =+=p. 答案: B

4.在△ABC中,已知sin Acos A=sin Bcos B,则该三角形是(  ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 解析: 由sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B,∴2A=2B或2A=π-2B, ∴A=B或A+B=, ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 答案: D 二、填空题 5.设a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为________. 解析: ∵a2-c2=2-(8-4) =4-6=->0,∴a>c. ∵==>1,∴c>b. 答案: a>c>b 6.已知a、b、u∈R*,且+=1,则使得a+b≥u恒成立的u的取值范 围是________. 解析: a+b=×(a+b) =10++≥10+2=16, 当且仅当=即3a=b时取等号, 若a+b≥u恒成立,则u≤16. 答案: (-∞,16] 三、解答题 7.已知a,b>0,且a+b=1,求证:+≥4. 证明: 证法一:∵a,b>0,且a+b=1, ∴a+b≥2.∴≤. ∴+==≥4. 证法二:∵a,b是正数, ∴a+b≥2>0.+≥2>0.

∴(a+b)≥4.又∵a+b=1,∴+≥4. 证法三:+=+=1+++1 ≥2+2=4. 当且仅当a=b时,取“=”号. 8.在△ABC中,若a2=b(b+c).求证:A=2B. 证明: ∵a2=b(b+c),而 cos A===, cos 2B=2cos2B-1=22-1 =22-1==, ∴cos A=cos 2B. 又A、B是三角形的内角,∴A=2B.

9.(1)设x≥1,y≥1,证明x+y+≤++xy; (2)设1<a≤b≤c,证明:logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 证明: (1)由于x≥1,y≥1,所以 x+y+≤++xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 将上式中的右式减左式,得 [y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]=(xy+ 1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1). 由于x≥1,y≥1, 所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立. (2)设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 logca=,logba=,logcb=,logac=xy. 于是,所要证明的不等式即为 x+y+≤++xy, 又由于1<a≤b≤c, 所以x=logab≥1,y=logbc≥1.

故由(1)知所要证明的不等式成立.


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