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江苏专用2018高考数学一轮复习第八章立体几何第39课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系课件_图文

抓 基 础 · 自 主 学 习

第八章
第 39 课

立体几何

平面的基本性质与空间两条直线的位 置关系

明 考 向 · 题 型 突 破

课 时 分 层 训 练

[ 最新考纲] 内容 A 平面及其基本性质 √ 要求 B C

1.四个公理

两点 在一个平面内,那么这条直线上所有的点 公理 1:如果一条直线上的_____
都在这个平面内. 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共

一条直线 . 点的集合是经过这个公共点的__________

不在同一直线上 的三点,有且只有一个平面. 公理 3:经过_______________
推论 1 推论 2 推论 3

直线外的一点 有且只有一个平面; 经过一条直线和_____________ 两条相交直线 ,有且只有一个平面; 经过______________
经过______________ 两条平行直线 ,有且只有一个平面.

平行 . 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相_____

2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
? ? 平行 直线 ?_____ ?共面直线? ? 相交 直线 ? ? _____ ? 任何 一个平面内,没有公共点 ?异面直线:不同在_____

(2)异面直线所成的角 ①定义: 设 a, b 是两条异面直线, 经过空间任意一点 O 作直线 a′∥a, b′

锐角(或直角) 叫作异面直线 a 与 b 所成的角. ∥b,我们把直线 a′与 b′所成的____________ (0°,90°] . ②范围:___________

相交 、__________ 在平面内 三种情况. 3.直线与平面的位置关系有_____ 平行 、_____
4.平面与平面的位置关系有_____ 平行 、_____ 相交 两种情况. 5.定理

平行 并且方向_____ 如果一个角的两边和另一个角的两边分别_____ 相同 ,那么这两
个角_____ 相等 .

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于过 A 点的任意一条直 线.( ) ) ) )

(2)两两相交的三条直线可以确定一个平面.(

(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(

(4)若直线 a 不平行于平面 α,且 a?α,则 α 内的所有直线与 a 异面.(

[ 答案]

(1)× (2)× (3)× (4)×

2.(教材改编)如图 391 所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则异面直线 B1C 与 EF 所成 的角的大小为____________.
60° [连结 B1D1,D1C(图略),则 B1D1∥EF, 故∠D1B1C 为所求的角, 又 B1D1=B1C=D1C,∴∠D1B1C=60° .]

图 391

3.下列命题正确的有____________.(填序号) ①梯形可以确定一个平面; ②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.

①③

[ ①③正确,②④错误.②中两直线的位置关系可能平行、相交或异

面;④中若三个点不共线,则两平面重合.]

4.(2016· 山东高考改编)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内,则 “直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的____________条件.
充分不必要条件 [ 由题意知 a?α,b?β,若 a,b 相交,则 a,b 有公共点, 从而 α,β 有公共点,可得出 α,β 相交;反之,若 α,β 相交,则 a,b 的位置 关系可能为平行、相交或异面.因此“ 直线 a 和直线 b 相交” 是“ 平面 α 和平面 β 相交” 的充分不必要条件.] 5. 若直线 a⊥b, 且直线 a∥平面 α, 则直线 b 与平面 α 的位置关系是________.

[ 答案] b 与 α 相交或 b?α 或 b∥α

平面的基本性质
2,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别 如图 39是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点. [ 证明] (1)如图,连结 EF,CD1,A1B.

图 392

∵E,F 分别是 AB,AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又∵A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E,C,D1,F 四点共面.

(2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P, 则由 P∈直线 CE,CE?平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA,∴CE,D1F,DA 三线共点.

[ 规律方法]

1.证明线共面或点共面的常用方法:

(1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面. (2)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面 α,再证明其余元素确定平面 β,最后证明平面 α,β 重合. 2.证明点共线问题的常用方法: (1)基本性质法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基 本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)纳入直线法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线 上.

[ 变式训练 1]

如图 393 所示,四边形 ABEF 和 ABCD

1 1 都是梯形,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G,H 分别为 FA,FD 2 2 的中点.

图 393 (2)C,D,F,E 四点是否共面?为什么? 【导学号:62172214】 1 [ 解] (1)证明:由已知 FG=GA,FH=HD,得 GH 綊 AD. 2
1 又 BC 綊 AD, 2 ∴GH 綊 BC,∴四边形 BCHG 是平行四边形.

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形;

(2)C,D,F,E 四点共面,理由如下: 1 由 BE 綊 AF,G 为 FA 的中点知 BE 綊 GF, 2 ∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH,∴EF∥CH, ∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C,D,F,E 四点共面.

空间直线的位置关系
(1)若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 α 内,l2 在平面 β 内,l 是平 面 α 与平面 β 的交线,则下列命题正确的是____________.(填序号) ①l 与 l1,l2 都不相交; ②l 与 l1,l2 都相交; ③l 至多与 l1,l2 中的一条相交; ④l 至少与 l1,l2 中的一条相交.

(2)(2017· 郑州模拟)在图 394 中,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或所 在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确 答案的序号).









图 394

(1)④

(2)②④

[(1)由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行,故 l1,l2

中至少有一条与 l 相交. (2)图①中,直线 GH∥MN;图②中,G,H,N 三点共面,但 M?平面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面;图③中,连结 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G,M,N 共面,但 H?平面 GMN,因此 GH 与 MN 异面,所以在图② ④中,GH 与 MN 异面.]

[ 规律方法]

1.异面直线的判定方法:

(1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假 设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. (2)定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线 是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定,要注意几何模型的选取,常借助正方体为 模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.

[ 变式训练 2]

a,b,c 表示不同的直线,M 表示平面,给出四个命题:①

若 a∥M,b∥M,则 a∥b 或 a,b 相交或 a,b 异面;②若 b?M,a∥b,则 a ∥M;③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;④若 a⊥M,b⊥M,则 a∥b.其中正确的为 ____________.(填序号) ①④ [ 对于①,当 a∥M ,b∥M 时,则 a 与 b 平行、相交或异面,①为真 命题.②中,b?M ,a∥b,则 a∥M 或 a?M ,②为假命题.命题③中,a 与 b 相交、平行或异面,③为假命题.由线面垂直的性质,命题④为真命题,所以 ①④为真命题.]

异面直线所成的角
(1)如图 395,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=2AB=2,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余 弦值为____________.

图 395

(2)(2016· 全国卷Ⅰ改编)平面 α 过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A, α∥平面 CB1D1,α∩平面 ABCD=m,α∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为 ____________. 4 3 (1) (2) [(1)连结 BC1,易证 BC1∥AD1, 5 2
则∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角. 连结 A1C1,由 AB=1,AA1=2, 则 A1C1= 2,A1B=BC1= 5, 在△A1BC1 中,由余弦定理得 5+5-2 4 cos∠A1BC1= = . 2× 5× 5 5

(2)设平面 CB1D1∩平面 ABCD=m1. ∵平面 α∥平面 CB1D1,∴m1∥m. 又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, 且平面 CB1D1∩平面 A1B1C1D1=B1D1, ∴B1D1∥m1,∴B1D1∥m. ∵平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1, 且平面 CB1D1∩平面 DCC1D1=CD1,

同理可证 CD1∥n. 因此直线 m 与 n 所成的角与直线 B1D1 与 CD1 所成的角相等,即∠CD1B1 为 m,n 所成的角. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,△CB1D1 是正三角形, 3 故直线 B1D1 与 CD1 所成角为 60° ,其正弦值为 .] 2

[ 规律方法]

1.求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三

种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线 平移;补形平移. 2.求异面直线所成角的三个步骤: (1)作:通过作平行线,得到相交直线的夹角. (2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角. (3)求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是锐角或直角,则它就是 要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.

[ 变式训练 3]

如图 396,已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是

正方形,C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点,那么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 ________. 【导学号:62172215】

2 [取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连结 C1D,AD, 则因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点, 所以 AD∥BC, 所以直线 AC1 与 AD 所成角等于异面直线 AC1 与 BC 所成角, 因为 C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点,

图 396

所以 C1D⊥圆柱下底面,所以 C1D⊥AD. 因为圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形, 所以 C1D= 2AD, 所以直线 AC1 与 AD 所成角的正切值为 2, 所以异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 2.]

[ 思想与方法] 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由 部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或 点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面 的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公 共点,根据公理 3 可知这些点在交线上.

2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直 线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或 证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3. 求两条异面直线所成角的大小, 一般方 法是通过平行移动直线,把异面问题转化为相 交直线的夹角,体现了转化与化归思想.

[ 易错与防范] 1. 异面直线不同在任何一个平面内, 不能 错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就 是异面直线. 2. 直线与平面的位置关系在判断时最易忽 视“线在面内”. 3. 两异面直线所成的角归结到一个三角形 的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等 于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.