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2019版高中数学人教版A版选修1-1课件:1.1.2 四种命题-1.1.3 四种命题间的相互关系_图文

第一章 § 1.1 命题及其关系
1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系

学习 目标
1.理解四种命题的概念,能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题. 2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系. 3.会利用逆否命题的等价性解决问题.

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知识梳理

自主学习

知识点一 四种命题的概念 (1)互逆命题:对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论和条件 ,那么这两个命题叫互做逆命题 .其中一个命题叫做原命题 , 另一个叫做原命题的 逆命题 . (2)互否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命 题的条件的否定和结论的否定,这两个命题叫做互否命题 .其中一个命题叫 做原命题,另一个叫做原命题的否命题 . (3)互为逆否命题:对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一 个命题的结论的否定 和条件的否定 ,这两个命题叫做互为逆否命题 .其中一 个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆否命题 .
答案

知识点二 四种命题的真假性的判断 原命题为真,它的逆命题 不一定为真 ;它的否命题也 不一定为真 .原命题 为真,它的逆否命题 一定为真 .
若綈q,则綈p

若綈p,则綈q

若綈q,则綈p

答案

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题型探究

重点突破

题型一 四种命题的概念 例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假. (1)若m·n<0,则方程mx2-x+n=0有实数根; 解 逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根, 则m·n<0,假命题. 否命题:若m·n≥0, 则方程mx2-x+n=0没有实数根,假命题. 逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根, 则m·n≥0,真命题.
解析答案

(2)弦的垂直平分线经过圆心,且平分弦所对的弧; 解 逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧, 则这条直线是弦的垂直平分线,真命题. 否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线, 则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧,真命题. 逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧, 则这条直线不是弦的垂直平分线,真命题.

解析答案

(3)若m≤0或n≤0,则m+n≤0; 解 逆命题:若m+n≤0,则m≤0或n≤0,真命题. 否命题:若m>0且n>0,则m+n>0,真命题. 逆否命题:若m+n>0,则m>0且n>0,假命题. (4)在△ABC中,若a>b,则∠A>∠B. 解 逆命题:在△ABC中,若∠A>∠B,则a>b,真命题. 否命题:在△ABC中,若a≤b,则∠A≤∠B,真命题. 逆否命题:在△ABC中,若∠A≤∠B,则a≤b,真命题.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1 判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题、否命题、 逆否命题,并判断其真假. (1)若x2+y2=0,则x,y全为零; 解 该命题为真命题. 逆命题:若x,y全为零,则x2+y2=0,真命题. 否命题:若x2+y2≠0,则x,y不全为零,真命题. 逆否命题:若x,y不全为零,则x2+y2≠0,真命题.
解析答案

(2)若在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,b2-4ac<0,则该函数图象 与x轴有交点. 解 该命题为假命题. 逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有交点, 则b2-4ac<0,假命题. 否命题:若在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,b2-4ac≥0, 则该函数图象与x轴无交点,假命题. 逆否命题:若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴无交点, 则b2-4ac≥0,假命题.
解析答案

题型二 四种命题的关系 例2 下列命题: ①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题; ②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题; ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题; ④“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题. 其中是真命题的是________.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2 下列命题为真命题的是( )

①“正三角形都相似”的逆命题;

②“若m>0,则x2+2x-m=0有实根”的逆否命题;

③“若x- 2 是有理数,则x是无理数”的逆否命题.

A.①②③

B.②③

C.①②

D.①③

解析答案

题型三 等价命题的应用

例3 判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+

2≤0的解集是空集,则a<2”的逆否命题的真假.

解 原命题的逆否命题为“已知a,x为实数,若a≥2,

则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.

判断真假如下:

函数y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象开口向上,

判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7,

因为a≥2,所以4a-7>0,即抛物线与x轴有交点,

所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,

故原命题的逆否命题为真.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练3 判断命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的 逆否命题的真假. 解 ∵m>0, ∴方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0. ∴原命题“若m>0, 则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0, 则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真.
解析答案

思想方法 化归思想的应用

例4 判断命题“若x2-y2≠0,则x-y,x+y中至少有一个不等于0”的真

假.

分析 原命题的真假性不容易判断,可以找出其逆否命题,若其逆否命题

的真假性容易判断,则根据互为逆否的两个命题的真假性之间的关系,就

可以解决原命题的真假性问题了.

解 原命题的逆否命题:若x-y,x+y都等于0,

则x2-y2=0.

由x-y=0,x+y=0,得x2-y2=(x+y)(x-y)=0.

因此,原命题的逆否命题是真命题.

解后反思

解析答案

易错点 根据已知集合求参数范围

例5 已知p:M={x|x2-2x-80≤0},q:N={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0}.如果

“若p,则q”为真,且“若q,则p”为假,求实数m的取值范围.

分析 先求不等式的解集,再根据条件建立不等式组求解即可.

解 p:M={x|x2-2x-80≤0}={x|-8≤x≤10},

q:N={x|x2-2x+1-m2≤0,m>0} ={x|1-m≤x≤1+m,m>0}. 因为“若p,则q”为真,且“若q,则p”为假,所以M N,

?m>0,
?
所以?1-m≤-8, ??1+m>10

?m>0,

? m>0,

?
或?1-m<-8,

?
即?m≥9,

??1+m≥10, ??m>9

即实数 m 的取值范围是???m|m>9???.

?m>0,
?
或?m>9, ??m≥9,

解得 m>9,

解后反思

解析答案

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当堂检测

12345

1.命题“若a?A,则b∈B”的否命题是( B ) A.若a?A,则b?B B.若a∈A,则b?B C.若b∈B,则a?A D.若b?B,则a?A 解析 命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”,“∈”与“?” 互为否定形式.

解析答案

2.命题“若A∩B=A,则A∪B=B”的逆否命题是( C ) A.若A∪B=B,则A∩B=A B.若A∩B≠A,则A∪B≠B C.若A∪B≠B,则A∩B≠A D.若A∪B≠B,则A∩B=A 解析 注意“A∩B=A”的否定是“A∩B≠A”.

12345

解析答案

12345
3.命题“若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题是 _若__平__面__向__量__a_,__b_的__方__向__不__相__同__,__则__a_,__b_不__共__线__ , 它 是 __假____ 命 题 (填“真”或“假”).
答案

4.给出以下命题:

12345

①“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题;

②“正多边形都相似”的逆命题;

③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.

其中为真命题的是__③___.

解析 ①否命题是“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数”.假命题.

②逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”.假命题.

③∵Δ=1+4m,m>0时,Δ>0,

∴x2+x-m=0有实根,即原命题为真.

∴逆否命题为真.

解析答案

12345
5.“若 sin α=12,则 α=π6”的逆否命题是“_若___α_≠__π6_,__则__s_i_n_α_≠__12”, 逆否命题是__假___命题(填“真”或“假”). 解析 逆否命题是“若 α≠π6, 则 sin α≠12”是假命题.
解析答案

课堂小结
1.写四种命题时,可以按下列步骤进行: (1)找出命题的条件p和结论q; (2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q; (3)按照四种命题的结构写出所求命题. 2.每一个命题都由条件和结论组成,要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断, 这也是反证法的理论基础.
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本课结束


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