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高中数学第二章变化率与导数5简单复合函数的求导法则教材基础北师大版选修2-2资料


§5

简单复合函数的求导法则

前面我们学习了简单函数的求导和导数的四则运算,但如果我们遇到层次关系较多的函 数,这样的函数我们怎样求它的导数呢? 高手支招 1 细品教材 一、复合函数的定义 一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=φ (x),如果通过变量 u,y 可以表示成 x 的函数,那么称这 个函数为函数 y=f(u)和 u=φ (x)的复合函数. 如:y= e x ,y=lntanx 都是复合函数. 状元笔记 复合函数 y=f(φ (x))对自变量 x 的导数等于函数 y=f(u)关于中间变量 u 的导 数与中间变量 u 关于自变量 x 的导数的乘积. 二、复合函数的求导法则 如果函数 u=φ (x)在点 x 可导,而函数 y=f(u)在对应点 u=φ (x)可导,则复合函数 y=f (φ (x)) 在点 x 可导,且其导数为:y′=(f(u))′=f′(u)·φ ′(x). 三、利用复合函数的求导法则求复合函数的导数的步骤 1.分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量; 2.求每一层基本初等函数的导数,注意是对哪一个变量求导; 3.每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数; 4.对于层数比较多的复合函数,可由外向里逐层求导. 【示例】求 y= 5 x ?
1
2

5 的导数. 6
1

5 1 5 ? 解:y′=[(5x ? ) 2 ]′= ·(5x ? ) 2 ·5= 2 6 6

5 5 2 5x ? 6

.

高手支招 2 基础整理 本节的主要内容是复合函数的概念,复合函数的求导法则及其应用.本节的知识结构如下:

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