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【高中数学】二项分布及其应用

【高中数学】二项分布及其应用 一、条件概率 1. 定义:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,叫做条件概率。 记作 P(B|A),读作 A 发生的条件下 B 的概率。 2. 事件的交(积):由事件 A 和事件 B 同时发生所构成的事件 D,称为事件 A 与事件 B 的交(或积)。 记作 D=A∩B 或 D=AB 3. 条件概率计算公式: P( AB) P(B|A)相当于把 A 看作新的基本事件空间,求A∩B发生的概率: P( B | A) ? P( A) , P( A) ? 0 若P(A) ? 0,则P( AB) ? P( B | A) ? P( A)(乘法公式) ? P( B | A) ? 1. ;0 4. 公式推导过程: P(B | A) ? 在A发生的条件下B包含的样本点数 在A发生的条件下样本点数 ? ? AB包含的样本点数 A包含的样本点数 AB包含的样本点数 / 总数 A包含的样本点数 / 总数 ? P(AB) P( A) 5. 解题步骤: 例 1. 10 个产品中有 7 个正品、3 个次品,从中不放回地抽取两个,已知第一个取到次品,求第二个又取到次品的概 率. 解:设 A = {第一个取到次品},B = {第二个取到次品} ? P( AB) ? 3 C32 1 P( A) ? ? 2 10 C10 15 所以,P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答:第二个又取到次品的概率为 2/9. 二、相互独立事件 1. 定义:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 说明: (1)判断两事件 A、B 是否为相互独立事件,关键是看 A(或 B)发生与否对 B(或 A)发生的概率是否影响,若两种状况 下概率不变,则为相互独立. (2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件. 相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响. (3)如果 A、B 是相互独立事件,则 A 的补集与 B 的补集、A 与 B 的补集、A 的补集与 B 也都相互独立. 2. 相互独立事件同时发生的概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。则有: P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) 说明: (1)使用时,注意使用的前提条件; 第 1 页 (2)此公式可作为判断事件是否相互独立的理论依据,即 P(A· B)=P(A) · P(B)是 A、B 相互独立的充要条件. (3)如果事件 A1,A2,…An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。即: P(A1· 2·…·An)=P(A1)· 2)·…·P(An) A P(A 3. 两事件是否互为独立事件的判断与证明 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 则称事件 A、B 相互独立 4. 解题步骤: 例 2. 一袋中有 2 个白球,2 个黑球,做一次不放回抽样试验,从袋中连取 2 个球,观察球的颜色情况,记“第一个 取出的是白球”为事件 A,“第二个取出的是白球”为事件 B,试问 A 与 B 是不是相互独立事件? 答:不是,因为件 A 发生时(即第一个取到白球) ,事件 B 的概率 P(B)=1/3,而当事件 A 不发生时(即第一个取 到的是黑球) ,事件 B 发生的概率 P(B)=2/3,也就是说,事件 A 发生与否影响到事件 B 发生的概率,所以 A 与 B 不 是相互独立事件。

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