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弹性力学复习重点 试题及答案【整理版】讲解


弹性力学 2005 期末考试复习资料 一、简答题 1.试写出弹性力学平面问题的基本方程,它们揭示的是那些 物理量之间的相互关系?在应用这些方程时, 应注意些什么问题? 答:平面问题中的平衡微分方程:揭示的是应力分量与体力分 量间的相互关系。 应注意两个微分方程中包含着三个未知函数 x、σ y、τ xy=τ yx σ

即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中,物体的一部分边界具有已知位移,因而具 有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3.弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定?试将它们写 出。如何确定它们的正负号? 答: 弹性体任意一点的应力状态由 6 个应力分量决定, 它们是: ?x、 ?y、?z 、?xy、?yz、 、?zx。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正, 沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正,沿 坐标轴正方向为负。 4.在推导弹性力学基本方程时,采用了那些基本假定?什么是 “理想弹性体”?试举例说明。 答:答:在推导弹性力学基本方程时,采用了以下基本假定: (1)假定物体是连续的。 (2)假定物体是完全弹性的。 (3)假定物体是均匀的。 (4)假定物体是各向同性的。 (5)假定位移和变形是微小的。 符合(1)~(4)条假定的物体称为“理想弹性体” 。一般混凝土 构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体” 。 5.什么叫平面应力问题?什么叫平面应变问题?各举一个工程 中的实例。 答: 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于 板面并且不沿厚度变化的 面力,同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中 的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。

,因此,决定应力分量的问题是超静定的,

还必须考虑形变和位移,才能解决问题。

平面问题的几何方程 : 揭示的是形变分量与位移分量间的相 互关系。 应注意当物体的位移分量完全确定时, 形变量即完全确定。 反之,当形变分量完全确定时,位移分量却不能完全确定。

平面问题中的物理方程:揭示的是形变分量与应力分量间的 相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的 转换关系。

平面应变问题是指很长的柱型体,它的横截面在柱面上受有 平行于横截面而且不沿长 度变化的面力,同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变 化,即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6.在弹性力学里分析问题,要从几方面考虑?各方面反映的是 那些变量间的关系? 答:在弹性力学利分析问题,要从 3 方面来考虑:静力学方面、 几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量 之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。 平面问题的几何学方面主要考虑的是形 变分量与位移分量之间的

2. 按照边界条件的不同, 弹性力学问题分为那几类边界问题? 试作简要说明。 答: 按照边界条件的不同, 弹性力学问题分为位移边界问题、 应力边界问题和 混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的, 也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中,物体在全部边界上所受的面力是已知的, 1

关系, 也就是平面问题中的几何方程。 平面问题的物理学方 面主要反映的是形变分量与应力分量之间的关系, 也就是平 面问题中的物理方程。 7. 按照边界条件的不同, 弹性力学问题分为那几类边界问题? 试作简要说明 答: 按照边界条件的不同, 弹性力学问题可分为两类边界问题: (1)平面应力问题 : 很薄的等厚度板,只在板边上受有平行于 板面并且不沿厚度变化的面力。 这一类问题可以简化为平面应力问

题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存 在 ? x、? y、? xy

? ? yx 三个应力分量。

X N ? l? x ? m? xy ? cos300 ? 15 ? cos600 ? 20 ? 22.99Mp

(2)平面应变问题 : 很长的柱形体,在柱面上受有平行于横截 面并且不沿长度变化的面力, 而且体力也平行于横截面且不沿长度 变化。这一类问题可以简化为平面应变问题。例如挡土墙和重力坝 的 受 力 分 析 。 该 种 问 题

YN ? m? y ? l? xy ? cos600 ? 25 ? cos300 ? 20 ? 29.82M

? N ? l 2? x ? m 2? y ? 2lm? xy
? 34.82Mpa

? xz ? ? zx ? 0;? yz ? ? zy ? 0而一般? z并不等于零。
8.什么是圣维南原理?其在弹性力学的问题求解中有什么实际 意义? 圣维南原理可表述为: 如果把物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等 效的面力(主矢量相同,对于同一点的主矩也相同) ,那麽近处的 应力分布将有显著的改变,但远处所受的影响可以不计. 弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理将面力分布不明确的 情况转化为静力等效但分布表达明确的情况而将问题解决。 还可解 决边界条件不完全满足的问题的求解。 9.什么是平面应力问题?其受力特点如何,试举例予以说明。 答:平面应力问题 是指很薄的等厚度板,只在板边上受有平 行于板面并且不沿厚度变化的面力, 这一类问题可以简化为平面应 力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中 只存在 ? x、? y、? xy

? cos2 300 ? 15 ? cos2 600 ? 25 ? 2 ? cos 300 ? cos6

? N ? lm(? y ? ? x ) ? ( l 2 ? m 2 )? xy
? 14.33Mpa

? cos 300 ? cos600 ? ( 25 ? 15) ? (cos2 300 ? cos2 6

2.在物体内的任一点取一六面体,x、y、z 方向的尺寸分别为 dx、

dy、dz。试依据下图证明:

?? y ? zy ?? xy ? ? ?Y ? 0 ?y ?z ?x
?z ?
?? z dz ?z
? zy ?
?? zy ?z dz



C
? zx ?
?? zx dz ?z

? ? yx 三个应力分量。
z

10.什么是“差分法”?试写出基本差分公式。 答;所谓差分法,是把基本方程和边界条件(一般为微分方程)近 似地改用差分方程(代数方程)来表示,把求解微分方程的问 题改换成为求解代数方程的问题。基本差分公式如下:

?y

? yx ? yz

?? ? xz ? xz dx ?x

? xy
?? xy ?x dx

?x

? yz ?

?? yz ?y

dy

? xy ?

? xz
? yx ?
?? yx ?y dy

?y?

?? y ?y

dy

f ? f3 ? ?f ? ? ? ? 1 2h ? ?x ? 0 ? ?2 f ? ? ?x 2 ? ? f1 ? f 3 ? 2 f 0 ? ? ? h2 ?0
o x

?x ?

?? x dx ?x

P A

? zy
?z

? zx

B

y

? ?f ? f2 ? f4 ? ? ?y ? ? ? 2h ? ?0 ? ?2 f ? ? ?y 2 ?
二、计算题 1 . 已 知 过 P 点 的 应 力 分 量

证明:

? f2 ? f4 ? 2 f0 ? ? ? h2 ?0

?F

y

? 0:
?? y ?y dy) ? dx ? dz ? (? y ) ? dx ? dz dz) ? dx ? dy ? (? zy ) ? dx ? dy

(? y ?

? (? zy ? ? (? xy ?

?? zy ?z ?? xy

? x ? 15Mpa, ? y ? 25Mpa, ? xy ? 20Mpa 。求过 P 点,
l ? cos300 、m ? cos600
斜 面 上 的

dx) ? dy ? dz ? (? xy ) ? dy ? dz ?x ? Ydxdydz? 0
化简并整理上式,得:

X N 、YN 、? N 、? N 。
解: 2

?? y ?y

?

? zy
?z

?

?? xy ?x

?Y ? 0

?2 ?

?x ?σy
2

?

?? x ? σy ? ? 2 ?

? 2 ? ? ? τ xy ? ?55.06Mpa ?

2

3.图示三角形截面水坝,材料的比重为 ?,承受比重为 ? 液体

?? x ? ax ? by ? 的压力,已求得应力解为 ? ? cx ? dy ? ?gy ,试写出直边及斜 ? y ? ?? xy ? ? dx ? ay
边上的边界条件 。

? 1 ? tg ?1 ? ?

? ?1 ? σ x ? 59.56 ? (30) ? 0 ? ? tg ?1 ? ? ? ? 30.59 ? 50 ? ? ? τ xy ?

5.在物体内的任一点取一六面体,x、y、z 方向的尺寸分别为 dx、

dy、dz。试依据下图证明:

?? z ? xz ?? yz ? ? ?z?0 ?z ?x ?y
?z ?
?? z dz ?z
? zy ?
?? zy ?z



C
? zx ?
?? zx dz ?z

dz

z

?y

? yx ? yz

?? ? xz ? xz dx ?x

? xy
?? xy ?x dx

?x

? yz ?

?? yz ?y

dy

? xy ?

? xz
? yx ?
?? yx ?y dy

?y?

?? y ?y

dy

?x ?

?? x dx ?x

P
解:由边界条件

? zy
?z

? zx

B

? ?l(σ x )s ? m(τ yx )s ? X ? ? ?m(σ y )s ? l(τ xy )s ? Y
左边界: l

A
o x

y

? cos ? , m ? ? sin?

证明:

?cos ?(ax ? by) s ? sin ?( ? dx ? ay) s ? 0 ? ? ? sin ?(cx ? dy ? ?gy) s ? cos ? ( ? dx ? ay) s ? 0
右边界: l

? Fz

? 0:

(? z ?

? ?1, m ? 0

?? (ax ? by)s ? ?gy ? ?(dx ? ay)s ? 0
4.已知一点处的应力分量

?? z dz) ? dx ? dy ? (? z ) ? dx ? dy ?z ?? xz ? (? xz ? dx) ? dy ? dz ? (? xz ) ? dy ? dz ?x ?? yz ? (? yz ? dy) ? dz ? dx ? (? yz ) ? dz ? dx ?y ? Zdxdydz? 0

? x ? 30Mpa, ? y ? ?25Mpa, ? xy ? 50Mpa ,试求主应力

化简并整理上式:

? 1、? 2 以及 ? 1 与 x 轴的夹角。
解:

?? z ? xz ?? yz ? ? ?Z ?0 ?z ?x ?y
6 . 图示悬臂梁只受重力作用,而梁的密度为 ? ,设应力函数

? ? Ax 3 ? Bx 2 y ? Cxy2 ? Dy 3 恒能满足双调和方程。试求
?1 ?
?

?x ?σy
2

?

?? x ? σy ? ? 2 ?

? 2 ? ? ? τ xy ?
2

2

应力分量并写出边界条件。

30 ? 25 ? 2

? 30 ? 25 ? 2 ? ? ? (50) ? 59.56Mpa 2 ? ?

3

5. 利用有限单元法求解弹性力学问题时,简单来说包含 结构 离散化 、 单元分析 、 整体分析 三个主要步骤。 解: 所设应力函数。 相应的应力分量为: 二. 绘图题(共 10 分,每小题 5 分) 分别绘出图 3-1 六面体上下左右四个面的正的应力分量和图 3-2 极 坐标下扇面正的应力分量。

?x ?
?y ?

? 2? ?y 2
? 2? ?x 2

=2Cx+6Dy

? py ? 6Ax ? 2 By ? py
2

? ? xy ? ? ??x? y ? ?2 Bx ? 2Cy

边界条件为: 上表面(y=0) ,要求 XN=( ? ? x y ) y ?0

? 0,

B=0 A=0

YN ? (?? y ) y?0 ? 0 ,
斜边界: y 得:

? xtga, l ? ? sin ? , m ? cos? , 边界条件
图 3-1

? (2Cx ? 6Dy) sin ? ? 2Cy cos? ? 0 2Cy sin ? ? py cos? ? 0
一、名词解释(共 10 分,每小题 5 分) 1. 弹性力学: 研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发 生的应力、应变和位移。

2. 圣维南原理:如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分 布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对于同一点的主矩也相 同) ,那么近处的应力分布将有显著的改变,但是远处所受的影响 可以不计。 一. 填空(共 20 分,每空 1 分) 1. 边界条件表示在边界上 位移 与 约束 ,或 应力 与 面力 之间的关系式,它可以分为 位移 边界 条件、 应力 边界条件和 混合 边界条件。 体力是作用于物体体积内的力,以单位体积力来度量,体力分 量的量纲为 L-2MT-2 ;面力是作用于物体表面上力, 以单位表面面积上的力度量, 面力的量纲为 L-1MT-2 ; 体力和面力符号的规定为以 沿坐标轴正向 为正,属 外 力;应力是作用于截面单位面积的力,属 内 力,应力的 量纲为 L-1MT-2 ,应力符号的规定为: 正面正向、负 面负向为正,反之为负 。 小孔口应力集中现象中有两个特点: 一是 孔附近的应力高 度集中 ,即孔附近的应力远大于远处的应力,或远大 于无孔时的应力。二是 应力集中的局部性 ,由 于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边 1.5 倍孔 口尺寸的范围内。 的面, 三. 简答题(24 分) 1. (8 分)弹性力学中引用了哪五个基本假定?五个基本假定在 建立弹性力学基本方程时有什么用途? 图 3-2

2.

答:弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为: (答出标注的内容即可给满分) 1)连续性假定:引用这一假定后,物体中的应力、应变和 位移等物理量就可看成是连续的,因此,建立弹性力学的基本方程 时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 2)完全弹性假定:这一假定包含应力与应变成正比的含义, 亦即二者呈线性关系,复合胡克定律,从而使物理方程成为线性的 方程。 3)均匀性假定:在该假定下,所研究的物体内部各点的物理 4

3.

4. 弹性力学中,正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面 。

性质显然都是相同的。因此,反应这些物理性质的弹性常数(如弹 性模量 E 和泊松比μ 等)就不随位置坐标而变化。 4)各向同性假定:各向同性是指物体的物理性质在各个方向 上都是相同的,也就是说,物体的弹性常数也不随方向变化。 5)小变形假定:研究物体受力后的平衡问题时,不用考虑物 体尺寸的改变,而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时,在 研究物体的变形和位移时,可以将它们的二次幂或乘积略去不计, 使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。 2. (8 分)弹性力学平面问题包括哪两类问题?分别对应哪类弹 性体?两类平面问题各有哪些特征?

? ?? ? dy ? ?F ? ?? ? dy ? ?F
?h 2 x x ?0
?h 2 ?h 2 xy x ?0 S

?h 2

N



? ?? ?
?h 2

?h 2

x x?0

ydy ? ?M



在次要边界

这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条 ?v?x?l ? 0 。 件代替:

x ? l 上,有位移边界条件: ?u ?x?l ? 0 ,

? ?? ?
?h 2
?h 2

?h 2

x x?0

dy ? ?FN ? q1l



答:弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两 类,两类问题分别对应的弹性体和特征分别为: 平面应力问题:所对应的弹性体主要为等厚薄板,其特征是: 面力、体力的作用面平行于 xy 平面,外力沿板厚均匀分布,只有 平面应力分量 ? x , ? y , ? xy 存在,且仅为 x,y 的函数。

ql 2 qlh ??h 2 ?? x ?x?0 ydy ? ?M ? FS l ? 6 ? 2 ?h 2 ql ??h 2 ?? xy ?x?0 dy ? ? FS ? 2
2. (10 分)试考察应力函数 ?



平面应变问题:所对应的弹性体主要为长截面柱体,其特征为: 面力、体力的作用面平行于 xy 平面,外力沿 z 轴无变化,只有平 面应变分量 ? x , ? y , ? xy 存在,且仅为 x,y 的函数。 3.

? cxy3 , c ? 0 ,能满足相容

方程,并求出应力分量(不计体力) ,画出图 5-2 所示矩形体 边界上的面力分布,并在次要边界上表示出面力的主矢和主 矩。

(8 分)常体力情况下,按应力求解平面问题可进一步简化为 按应力函数 ? 求解,应力函数 ? 必须满足哪些条件? 答: (1)相容方程: ?
4

??0
: ? s? )

? ??l? x ? m? yx ?s ? f x ? ? ??m? y ? l? xy ?s ? f y
四. 问答题(36) 1.

(2) 应力边界条件 (假定全部为应力边界条件,s

?在s ? s? 上?
图 5-2 解 :( 1 ) 相 容 条 件 : 将
4 4 4

(3)若为多连体,还须满足位移单值条件。

? ? cxy3

代 入 相 容 方 程

(12 分)试列出图 5-1 的全部边界条件,在其端部边界上,应 用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 (板厚 ?

? 1)

?? ?? ?? ? 2 2 2 ? 4 ? 0 ,显然满足。 4 ?x ?x ?y ?y
(2)应力分量表达式: ?x

?

? 2? ? 6cxy , ? y ? 0 , ?y 2
h 2

? xy ? ?3cy2
( 3 )边界条件:在主要边界

y??

上,即上下边,面力为

3 ? ?3chx , ?? xy ?y ?? h 2 ? ? ch 2 4 在次要边界 x ? 0, x ? l 上,面力的主失和主矩为
y y ?? h 2

?? ?

图 5-1 解:在主要边界

y ? ? h 2 上,应精确满足下列边界条件:
? ? qx l


?? ?

?? ?

y y ??h 2

y y ?? h 2

? 0 , ? yx

? ?

?? ?

yx y ? ? h 2

?0



y ?? h 2

? ?q1

? ?h 2 ???h 2 ?? x ?x?0 dy ? 0 ? ?h 2 ? ???h 2 ?? x ?x?0 ydy ? 0 ? ? ?h 2?? ? dy ? ? ?h 23cy 2 dy ? ? c h 3 xy x ?0 ??h 2 ? 4 ???h 2

? 0 上,应用圣维南原理列出三个积分的应 力边界条件,当板厚 ? ? 1 时,
在次要边界 x 5

? ?h 2?? ? dy ? ?h 26clydy ? 0 ??h 2 ???h 2 x x?l ? ?h 2 ?h 2 clh3 ? 2 ? ? ? y dy ? 6 cly dy ? ???h 2 x x?l ??h 2 2 ? ? h 2 ? h 2 ? ?? xy ?x?0 dy ? ???h 2 3cy2 dy ? ? c h3 ? ? ? h 2 4 ? 弹性体边界上的面力分布及在次要边界 x ? 0, x ? l 上面力的主
失量和主矩如解图所示。 3. (14 分)设有矩形截面的长竖柱,密度为 ? ,在一边侧面上 受均布剪力 q, 如图 5-3 所示,试求应力分量。 (提示:采用 半逆解法,因为在材料力学弯曲的基本公式中,假设材料符合 简单的胡克定律,故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤 压,即可设应力分量 ? x

y

d 4 f ?x ? d 4 f1 ?x ? ? ?0 dx4 dx4 d 4 f ?x ? d 4 f1 ? x ? ? 0 ? 0 ,两个 , dx4 dx4

这是 y 的一次方程,相容方程要求它有无数多的根(全 部竖柱内的 y 值都应该满足) ,可见它的系数和自由项 都必须等于零。 方程要求

f ?x? ? Ax3 ? Bx2 ? Cx , f1 ?x ? ? Dx3 ? Ex2
(c)

?0

f ?x ? 中的常数项, f1 ?x ? 中的一次和常数项已被略去, 因为这三项在 ? 的表达式中成为 y 的一次和常数项, 不
影响应力分量。得应力函数



? ? y Ax3 ? Bx2 ? Cx ? Dx3 ? Ex2
(4)由应力函数求应力分量。

?

? ?

?

(d)

?x ?

? 2? ? xf x ? 0 , ?y 2
(e)

?y ?

? 2? ? yf y ? 6 Axy ? 2 By ? 6 Dx ? 2 E ? ?gy ?x 2
, (f)

? xy

? 2? ?? ? ?3 Ax2 ? 2Bx ? C . ?x?y
(g)

(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数 图 5-3 解:采用半逆解法,因为在材料力学弯曲的基本公式中,假 设材料符合简单的胡克定律,故可认为矩形截面竖柱的纵向 纤维间无挤压,即可设应力分量 ? x 先来考虑左右两边 x

? ? b 2 的主要边界条件:


? 0, ?0

?? ?

?? x ?x??b 2 ? 0
?q。

?? ?

xy x??b 2

?0



(1) 假设应力分量的函数形式。 ? x

xy x??b 2

将应力分量式(e)和(g)代入,这些边界条件要求:

(2) 推求应力函数的形式。此时,体力分量为

f x ? 0, f y ? ?g 。将 ? x ? 0 代入应力公式

?? x ?x??b 2 ? 0













? 2? ? 2? ? x ? 2 有 ? x ? 2 ? 0 对 x 积分,得 ?y ?y ?? ? f ?x ?, (a) ?y
? ? yf ?x ? ? f1 ?x ? 。
(b) 其中

?? ?
(

xy x ? ?b 2

??

3 2 Ab ? Bb ? C ? 0 4
h )

?? ?
由 ( h )( i ) ( j) 考察次要边界

xy x ? ?b 2

??

3 2 Ab ? Bb ? C ? q 4
(i)

f ?x ? , f1 ?x ? 都是 x 的待定函数。
(3)由相容方程求解应力函数。将式(b)代入相容方程



B??

q 2b

? 4 ? 0 ,得

y ? 0 的边界条件,应用圣维南原

理,三个积分的应力边界条件为

6

? ?? ?
?b 2 ?b 2 y

y ?0

dx ? ?

?b 2

?b 2

?6 Dx ? 2 E ?dx ? 2 Eb ? 0
3





E?0
y

? ?? ?
?b 2 ?b 2

y ?0

xdx ? ?

?6Dx ? 2E ?xdx ? Db ?b 2
?b 2

2

?0

问题各有哪些非零应力量。 两种问题各举一个工程中的实 例。 (8 分) 4.什么是圣维南原理?其在弹性力学的问题求解中有什 么实际意义?(8 分) 三、解答题(30 分) 1. 已 知 物 体 内 一 点 的 6 个 应 力 分 量 为 ? x =4MPa ,





D?0

? ?? ?
?b 2 ?b 2 xy

y ?0

dx ? ?
( h

(k) 由

? y =2MPa , ? z =4MPa , ? xy =8MPa , ? xz =4MPa , q Ab3 ? ? 2 ? 3 Ax ? x ? C dx ? ? ? bC ? 0 ? ? ?b 2 b 4 ? ? 试求法线方向余弦为 l=1/2, m=1/2, n=1/ 2 的 ? yz =0MPa,
?b 2

) (

j

) (

k





q A?? 2 b

,

q C? 4

微分面上的应力:总应力 fv ,正应力 ? v ,切应力 ? v 。(15 分) 2.如图,三角形悬臂梁只受重力作用,梁的密度为 ? ,试 用纯三次式的应力函数求解应力分量。 (15 分)

将所得 A、B、C、D、E 代入式(e) (f) (g)得应力分 量为:

?x ? 0
? xy ? 3



? y ? ?6

q q xy ? y ? ?gy 2 b b



q 2 q q x ? x? 2 b b 4

弹性力学试卷 A
一、填空题(每空 2 分,共计 30 分) 1. 弹 性 力 学 平 面 问 题 分 为 _____________________ 和 _______________________。 2. 平 面 问 题 的 几 何 协 调 方 程 为 ______________________________________________。 3. 将 平面 应力 问 题下 物理 方 程中 的 E , ? 分 别 换成 ___________________、____________________就可得到 平面应变问题中的物理方程。 4. E 和 G 的关系可用式_____________________表示。 5.

答案 一、 1. 平面应力问题,平面应变问题 2.

?ij ,kl ? ? kl ,ij ? ? jl ,ik ? ?ik , jl ? 0
2

? xy 中两个下标的含义为_____________________



3. E / (1- ? ) 4. G=E / 2(1+ ? )

,

? / (1- ? )

_____________________ 。 6. 弹 性 力 学 问 题 中 有 5 个 基 本 假 设 , 分 别 是 _____________________ 、 _____________________ 、 _____________________ 、 _____________________ 、 _____________________。 7. 弹 性 力 学 中 有 两 类 外 荷 载 , 分 别 是 _____________________、_____________________。 二、简答题(40 分) 1.试写出弹性力学平面问题的基本方程,它们揭示的是 那些物理量之间的相互关系?在应用这些方程时, 应注意 些什么问题?(15 分) 2.按照边界条件的不同,弹性力学问题分为那几类边界 问题?试作简要说明。 (9 分) 3.什么叫平面应力问题?什么叫平面应变问题?这两种
7

5. 应力作用在法向平行于 x 轴的平面 应力方向 平行于 y 轴 6. 连续性、均匀性、完全弹性、各向同性、小变形 7. 体力 面力 二、 1. 答:(1)平面问题中的平衡微分方程:揭示的是应力分量 与体力分量间的相互关系。 应注意两个微分方程中包含着 三个未知函数

? 、?
x

y



?

xy



?

yx

,因此,决定应力

分量的问题是超静定的,还必须考虑形变和位移,才能解 决问题。

分布不明确的情况转化为静力等效但分布表达明确的情 况而将问题解决。 还可解决边界条件不完全满足的问题的 求解。 三. (2)平面问题的几何方程:揭示的是形变分量与位移分量 间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时,形 变量即完全确定。反之,当形变分量完全确定时,位移分 量却不能完全确定。

? ? x ? xy ? xz ? ? 4 8 4 ? ? ? ? ? 1.解:应力矩阵为 ? ? xy ? y ? yz ? = ? 8 2 0 ? ? ?? ? ? ? xz ? yz ? z ? ? 4 0 4 ?
(1)方向余弦为 n j 的微分斜面上沿 i 坐标轴方向的应力为

(3)平面问题中的物理方程:揭示的是形变分量与应力分 量间的相互关系。 应注意平面应力问题和平面应变问题物 理方程的转换关系。

fi ? ? ji n j


f1 ? ?11n1 ? ? 21n2 ? ? 31n3 =4*1/2+8*1/2+4*1/
2

2 =6+2

f 2 ? ?12 n1 ? ? 22 n2 ? ? 32 n3 =8*1/2+2*1/2+0=5 f3 ? ?13n1 ? ? 23n2 ? ? 33n3 =4*1/2+0+4*1/ 2 =2+
2 2 2. 答:按照边界条件的不同,弹性力学问题分为位移边 界问题、应力边界问题和混合边界问题。 (1)位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是 已知的,也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 (2)应力边界问题中,物体在全部边界上所受的面力是 已知的, 即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函 数。 (3)混合边界问题中,物体的一部分边界具有已知位移, 因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条 件。 3. 答: (1)平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板 边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力, 同时体力 也平行于板面并且不沿厚度变化。非零应力量有?x、?y、 、 ?xy 。如板式吊钩、旋转圆盘、工字梁的腹板等。 (2)平面应变问题是指很长的柱型体,它的横截面在柱 面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力, 同时体 力也平行于横截面而且也不沿长度变化, 即内在因素和外 来作用都不沿长度而变化。非零应力量有?x、?y、 、?z 、 ?xy 。 如煤矿巷道的变形与破坏分析、 挡土墙、 重力坝等。 4. 答: (1)圣维南原理可表述为:如果把物体的一小部 分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力 (主矢 量相同,对于同一点的主矩也相同) ,那么近处的应力分 布将有显著的改变,但远处所受的影响可以不计。 (2)弹性力学的问题求解中可利用圣维南原理将面力
8

fv ?
(2) ? v ? ? ij ni n j =

f12 ? f 22 ? f 32 = 81 ? 32 2 =11.2363

?11n1n1 ? ?12 n1n2 ? ?13n1n3

+ +

? 21n2n1 ? ? 22n2n2 ? ? 23n2 n3

? 31n3n1 ? ? 32n3n2 ? ? 33n3n3
= ?11n1n1 + ? 22 n2 n2 + ? 33n3n3 +2 ? 12 n1n2 +2 ? 13n1n3 +2

? 23n2 n3
=4*1/4+2*1/4+4*1/2+2*8*1/4+2*4*1/2*(1/sqrt(2)) = 10.3284 (3) ? v ? =

f v2 ? ? v2
4.4248

2.

1、平面应力问题的基本特征: (1)等厚度薄板,只在板边上受有 平行于板面并且不沿厚度变化面力或约束。 ( 2 )此时σ z=0,τ zx=0, τ zy=0。 (3)σ x,σ y,τ xy 都是 x,y 的函数,不随 z 而变化。 平面应变问题的基本特征: (1)等截面长柱形体,只在柱面 上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力或约束。 (2)此时 ε z=0,γ zx=0,γ zy=0。 (3)ε x,ε y,γ xy 都是 x,y 的函数, 不随 z 而变化。 (4)σ z 一般并不等于零 2 、在导出平面问题的三套基本方程时,分别应用了哪些基本假 定? 答:在导出平衡微分方程时,应用了连续性假定和小变形假定 9

在导出几何方程时,应用了连续性假定和小变形假定 在导出物理方程时,应用了连续性假定、完全弹性假定、均匀性假 定、各向同性假定、小变形假定。 3、试比较弹性力学和材料力学中应力正方向规定的异同。 答:弹性力学中正应力的正方向:在正面上以坐标轴的正向为正方 向,在负面上以坐标轴的负方向为正方向;弹性力学中的切应力也 是一样的,在正面上以坐标轴的正向为正方向,在负面上以坐标轴 的负方向为正方向。 材料力学中,正应力的正方向规定以拉为正,以压为负;切应力以 绕截面顺时针转动为正。 4、按应力求解平面问题时,应力分量σ x,σ y,τ xy 取为基本未

知函数。其他未知函数中形变分量可以简单的用应力分量表示, 即物理方程。为了用应力分量表示位移分量,须将物理方程代入 几何方程,然后通过积分等运算求出位移分量。因此,用应力分 量表示位移分量的表达式较为复杂, 且其中包含了待定的积分项。 从而使位移边界条件用应力分量表示的式子十分复杂,且很难求 解。所以在按应力求解函数解答时,通常只求解全部为应力边界 条件的问题。 5、在体力为常量的情况下,平衡微分方程、相容方程和应力边界 条件中都不包含弹性系数,从而对于两种平面问题都是相同的。 因此,当体力为常量时,在单连体的应力边界问题中,如果两个 弹性体具有相同的边界形状,并受到同样分布的外力,那么,就 不管这两个弹性体的材料是否相同,也不管他们是在平面应力情 况下或是在平面应变情况下,应力分量σ x,σ y,τ xy 的分布是 相同的。 6、在常体力的情况下,弹性力学平面问题中存在着一个应力函数 φ 。按应力求解平面问题,可以归纳为求解一个应力函数φ ,它 必须满足:在区域内的相容方程,在边界上的应力边界条件;在 多连体中,还须满足位移单值条件。 7、当不计体力时,在极坐标中按应力求解平面问题,归结为求解 一个应力函数φ (ρ ,Ψ ) ,它必须满足: (1)在区域内的相容方 程; (2)在边界上的应力边界条件; (3)如为多连体,还有多连 体中的位移单值条件。 8、如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向, 这个截面 就成为一个正面,这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正,沿 坐标轴负方向为负。相反,如果某一个截面上的外法线是沿着坐 标轴的负方向,这个截面就成为一个负面,这个面上的应力就以 沿坐标轴负方向为正,沿坐标轴正方向为负。 (材料力学中正应力 的正方向规定以拉为正,以压为负;切应力以绕截面顺时针转动 为正) 9、弹性力学的基本假定: (1)连续性:假定物体是连续的,也就 是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满,不留下 任何空隙; (2)完全弹性:所谓完全弹性,指的是物体能完全恢 复原形而没有任何剩余形变; (3)均匀性:假定物体是均匀的, 即整个物体是由同一材料组成的; (4)各向同性:假定物体是各 向同性的,即物体的弹性在所有各个方向都是相同的; (5)小变 形假定。假定位移和形变是微小的。 10、根据平衡条件来导出应力分量与体力分量之间的关系式,也 就是平面问题的平衡微分方程。导出微分线段上的形变分量与位 移分量之间的关系式,也就是平面问题中的几何方程。导出形变 分量与应力分量之间的关系式,也就是平面问题中的物理方程。 平面问题中的平衡微分方程指的是平面问题中应力分量与体力 分量之间的关系式。 11、在平面问题中为了完全确定位移,为什么必须有 3 个适当的 刚体约束条件? 答:物体在形变为零时可以有刚体位移,因此,当物体发生一定 得形变时,由于约束条件的不同,它可能具有不同的刚体位移, 因而它的位移并不是完全确定的。 在平面问题中,常数 u0,v0,w 的任意性反映了位移的不确 定性,而为了完全确定位移,就必须由三个适当的刚体约束条件 来确定这三个常数。 10

12、平面应变问题的微元体处于几向应力状态?试说明理由。 答:处于三向应力状态。在平面应变问题中,ε z=0,而由平面应变 问题的物理方程知此时,σ z=μ (σ x+σ y)所以,微元处于 x、y、 z 三向应力状态。 名词解释 1、弹性力学;研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等 原因而发生的应力、形变和位移。 2、体力,是分布在物体体积内的力。面力,是分布在物体表面上的 力。 体力分量,面力分量,方向:以沿坐标轴正方向为正,沿坐标轴 负方向为负。 3、所谓“与形变无关的位移” ,必然是刚体位移。 设经过一点的某一斜面上的切应力等于零,则该斜面上的正应力 成为在该点的一个主应力,而该斜面称为在该点的一个应力主面, 该斜面的法线方向称为在该点的一个应力主向。 4、 边界条件表示在边界上位移与约束, 或应力与面力之间的关系式。 它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 5、圣维南原理表明:如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为 分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对于同一点的主矩也相 同) ,那么,近处的应力分布将有显著的变化,但是远处所受的影响 可以不计。 6、单连体:只有一个连续边界的物体。多连体:具有两个或两个以 上的连续边界的物体,如有孔口的物体。 7、一般而言,产生轴对称应力状态的条件是,弹性体的形状和应力 边界条件必须是轴对称的。如果位移边界条件也是轴对称的,则位 移也是轴对称的。 8、接触问题,即两个弹性体在边界上互相接触的问题,必须考虑交 界面上的接触条件。 9、轴对称,是指物体的形状或某物理量是绕一轴对称的,凡通过对 称轴的任何面都是对称面。10、理想弹性体:凡是符合连续性、完 全弹性、均匀性、各向同性的假定的弹性体


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