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三角函数的图像与性质(家教必备)


六、三角函数的图象和性质

1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域 当 最值

R

R

? ?1,1?
x ? 2k? ?

?
2

? ?1,1? ? k ? ? ? 当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

周期性 奇偶性

ymax ? 1; 既无最大值也无最小 ? k ? ? 时, 当 x ? 2k? ? ? 值 当 x ? 2k? ? ? ? ? k ? ? ? 时,ymin ? ?1 . 2 ymin ? ?1 . ? 2? 2? 奇函数 偶函数 奇函数
时, ymax ? 1; 在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? ?

单调性

? k ? ? ? 上是增函数;
在 ?2k? ? ? , 2k? ? 3? ?

? ?

2

2? ?

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 对称性 对称轴

? ?

2

2 ? ?

在 ? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? ? ?? ? 在 ? k ? ? , k? ? ? 上是增函数; 2 2? ? 在 ? 2k? , 2k? ? ? ? ? k ? ? ? 上是增函数. ? k ? ? ? 上是减函数. 对称中心 ? ? ? ? k? ? ,0 ? ? k ? ? ?
? 2 ?

? k? , 0?? k ? ? ?
x ? k? ?

对称中心
? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

?

2 2、三角函数的图像变换 (1)先相位后周期: 函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 1 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 倍 ? (纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上
所有点的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ? 倍 (横坐标不变) 得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? , 的图象.
1

? k ? ??

对称轴

x ? k? ? k ? ? ?

无对称轴

(2)先周期后相位:

1 倍(纵坐标不变) , ? ? 得到函数 y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移 个 ? 单位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有
函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的 图象. 3、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质:
①振幅:? ;②周期:? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ;④相位:?x ? ? ;⑤ 初相:? . ? ? 2?
( )

13 例 1、 对于函数 y=sin( π-x) ,下面说法中正确的是 2

(A) 函数是周期为 π 的奇函数 (B) 函数是周期为 π 的偶函数 (C) 函数是周期为 2π 的奇函数 (D) 函数是周期为 2π 的偶函数 例 2、函数值 sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是 例 3、函数 y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积 是( ) (A) 4 (B)8 (C)2π (D)4π 1 ? 例 4、.函数 y=cosx 的图象向左平移 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 2 3 倍,所得的函数图象解析式为 ( ) 1 ? ? (A) y=3cos( x+ ) (B) y=3cos(2x+ ) 2 3 3 1 ? 2? 1 (C) y=3cos(2x+ ) (D) y= cos( x+ ) 2 6 3 3 例 5、要得到函数 y

由 y ? sin x 的图像先向

? 2 cos( 2 x ? ) 的图像。可以先把它变成 y ? 2 sin ( 3
平移 倍, 就可以得到 y

?

) 然后

个单位,再把各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的

倍, 最后把各点的横坐标不变, 纵坐标变为原来的 的图像. 例 6、函数 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

? 2 cos( 2 x ?

?
3

)

?
2

, x ? R) 部分图象如图所示,则函数为(



? ? ) 8 4 ? ? C. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4
A. y ? ?4 sin( x ?

? ? ) 8 4 ? ? D. y ? 4 sin( x ? ) 8 4
B. y ? 4 sin( x ?

例 7、已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+

5 3 (x∈R) 2 ⑴求 f(x)的最小正周期;⑵求 f(x)单调区间;⑶求 f(x)图象的对称轴,对称中心。
2


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