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2013西城一模数学理答案

北京市西城区 2013 年高三一模试卷 高三数学(理科)参考答案及评分标准 2013.4
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. B; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.B; 7.D; 8.A.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
2 2 9. x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 ;

10. 5 ;

3 11. 2 ?
[1, 1? 5 ) 2 .

15 12. 2 , 5 ;

13. 1 ? 2 ;

14.1 ,

注:12、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标 准给分. 15. (本小题满分 13 分)

π f( )?0 (Ⅰ) 依题意, 解: 得 4 ,
1分

??????

sin
即 分 解得 a ? 1 . 分

π π 2 2a ? a cos ? ? ?0 4 4 2 2 ,

??????3

??????5

(Ⅱ) 由 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin x ? cos x . 得 6分

??????

g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? 2 3 sin x cos x
? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3 sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 3 sin 2 x
??????7 分 ??????8



? cos 2 x ? 3 sin 2 x

??????9 分

π ? 2sin(2 x ? ) 6 . 2kπ ?


??????10 分

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? 2 6 2,

kπ ?
得 分

π π ? x ? kπ ? 3 6 , k ?Z .

??????12

所以 g ( x) 的单调递增区间为 分 16. (本小题满分 13 分)

π π [kπ ? , kπ ? ] 3 6 , k ?Z .

??????13

(Ⅰ) 依题意, 乙两组的学生人数之比为 (3 ? 5) : (2 ? 2) ? 2 :1 , 解: 甲、 1分

?????

2 1 ?3 ? 2 ?3 ?1 所以,从甲组抽取的学生人数为 3 ;从乙组抽取的学生人数为 3 .???2 分
设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件 A , 分 ??????3

P ( A) ?


C1 ? C1 15 3 5 ? 2 C8 28 ,

15 故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为 28 .
分 ( Ⅱ ) 解 : 随 机 变 量

??????5

X













0

, . 1

,

2

,

3

??????6 分

P( X ? 0) ?

2 C5 ? C1 5 2 ? 2 1 C8 ? C4 28 ,

P( X ? 1) ?

2 C1 ? C1 ? C1 C5 ? C1 25 3 5 2 2 ? 2 1 ? 2 C8 ? C1 C8 ? C4 56 , 4

2 C3 ? C1 C1 ? C1 ? C1 9 2 P( X ? 2) ? 2 1 ? 3 2 5 1 2 ? C8 ? C4 C8 ? C 4 28 ,

2 C3 ? C1 3 2 P ( X ? 3) ? 2 1 ? C8 ? C 4 56 .?????10 分

所以,随机变量 X 的分布列为:

X

0
5 28

1
25 56

2
9 28

3
3 56
??????

P

11 分

EX ? 0 ?


5 25 9 3 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 28 56 28 56 4 .

??????13

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 , 在△ ABC 中,由余弦定理可得 AC ? 3BC , 所以 AC ? BC . 又因为 AC ? FB , 所以 AC ? 平面 FBC . ??????4 分 ??????2 分
?

(Ⅱ)解:因为 AC ? 平面 FBC ,所以 AC ? FC . 因为 CD ? FC ,所以 FC ? 平面 ABCD . ??????5 分

所以 CA, CF , CB 两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系 C ? xyz . ??????6 分 在等腰梯形 ABCD 中,可得 CB ? CD .

设 BC ? 1 ,所以

C (0, 0, 0), A( 3, 0, 0), B(0,1, 0), D(

3 1 3 1 , ? , 0), E ( , ? ,1) 2 2 2 2 .

3 1 ,? ,1) 2 2 , CA ? ( 3 ,0,0) , CB ? (0,1,0) . 所以 ??? ? ?n ? CE ? 0, ? ? ? ??? n = ( x, y,z ) ,则有 ?n ? CA ? 0. ? 设平面 EAC 的法向量为 CE ? (

? 3 1 x ? y ? z ? 0, ? 2 ? 2 ? 3 x ? 0. 所以 ?


取 z ? 1,得 n ? (0, 2,1) .

??????8

??? ? ??? ? | CB ? n | 2 5 ? sin ? ? | cos?CB, n? | ? ??? ? 5 , | CB || n | BC 与平面 EAC 所成的角为 ? ,则 设

2 5 所以 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值为 5 .
分 (Ⅲ) 线段 ED 上不存在点 Q , 解: 使平面 EAC ? 平面 QBC . 证明如下: 10 分

??????9

??????

3 1 3 1 ,? , t ) CQ ? ( ,? , t ) (0 ? t ? 1) ,所以 2 2 2 2 . 假设线段 ED 上存在点 Q ,设 ??? ? ?m ? CB ? 0, ? ? ? ??? QBC 的法向量为 m ? (a, b, c) ,则有 ?m ? CQ ? 0. ? 设平面 Q(
?b ? 0, ? ? 3 2 1 (? t ,0,1) a ? b ? tc ? 0. ? 3 ? 2 2 c ? 1 ,得 m ? 所以 取 .
分 要使平面 EAC ? 平面 QBC ,只需 m ? n ? 0 , ??????13 分

??????12

?


2 t ? 0 ? 0 ? 2 ? 1? 1 ? 0 3 , 此方程无解.
??????14 分

所以线段 ED 上不存在点 Q ,使平面 EAC ? 平面 QBC .

18.(本小题满分 13 分) ( Ⅰ ) 解 :

f ( x)











(0, ??) ,

??????1 分

f ?( x) ? a ?


1 ax ? 1 ? x x .

??????2 分

? ① 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减.

从 值.



f (x)























??????3 分

? ② 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0 ,得

x?

1 a.

f ( x) 和 f ?( x) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) a
?

1 a

1 ( , ? ?) a

0

?




1 1 (0, ) ( , ? ?) a ;单调增区间为 a 故 f ( x) 的单调减区间为 . 1 f ( ) ? 1 ? ln a 从而 f (x) 的极小值为 a ;没有极大值.


??????5

? (Ⅱ) g ( x) 的定义域为 R , g ( x) ? ae ? 3 . 解: 且
ax

??????

6分

? ③ 当 a ? 0 时,显然 g ( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 R 上单调递增.

1 ( , ? ?) 由 (Ⅰ) 此时 f ( x) 在 a 得, 上单调递增, 符合题意.
8分

??????

g ④ 当 a ? 0 时, ( x) 在 R 上单调递增,f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减, 不合题意. ??
9分

? ⑤ 当 a ? 0 时,令 g ( x) ? 0 ,得 g ( x) 和 g ?( x) 的情况如下表:
x
g ?( x) g ( x)
(??, x0 )
?

x0 ?

1 3 ln(? ) a a .

x0

( x0 , ? ?)

0

?




当 ?3 ? a ? 0 时,

x0 ? 0

,此时 g ( x) 在

( x0 , ? ?)

上单调递增,由于 f ( x) 在 (0, ? ?) 上单

调 意. 当 a ? ?3 时,









合 ??????11 分



x0 ? 0

,此时 g ( x) 在

(??, x0 )

上单调递减,由于 f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递

减,符合题意. 综上, a 的取值范围是 (??, ?3) ? (0, ??) . 分 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ) 依题意, 解: 当直线 AB 经过椭圆的顶点 (0, b) 时, 其倾斜角为 60 . 1分 设 F (?c, 0) ,
?

??????13

??????

b ? tan 60? ? 3 则 c .
分 将 b?

??????2

3c 代入 a 2 ? b2 ? c 2 ,
??????3

解得 a ? 2c . 分

e?
所以椭圆的离心率为

c 1 ? a 2.

??????4 分

x2 y2 ? 2 ?1 2 3c (Ⅱ) 由 解: (Ⅰ) 椭圆的方程可设为 4c , .
5分 设

??????

A( x1 , y1 )



B( x2 , y2 )



依题意,直线 AB 不能与 x, y 轴垂直,故设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,将其代入

3x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2









(4k 2 ? 3) x 2 ? 8ck 2 x ? 4k 2c 2 ? 12c 2 ? 0 .

??????7 分

则 分

x1 ? x2 ?

?8ck 2 ?4ck 2 3ck 6ck G( 2 , 2 ) y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? 2 2 4k ? 3 , 4k ? 3 , 4 k ? 3 4 k ? 3 .
??????8

因为 GD ? AB ,

3ck 4k 2 ? 3 ? k ? ?1 ?ck 2 ?4ck 2 xD ? 2 ? xD 2 4k ? 3 . 所以 4k ? 3 ,
分 因为 △ GFD ∽△ OED ,

??????9

?4ck 2 ?ck 2 2 3ck 2 ? 2 ) ?( 2 ) 2 S1 | GD |2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ? ? ?ck 2 2 S2 | OD |2 ( 2 ) 4k ? 3 所以 (


??????11

?

(3ck 2 )2 ? (3ck ) 2 9c 2 k 4 ? 9c 2 k 2 9 ? ? 9? 2 ? 9 2 2 2 4 (ck ) ck k .

??????13 分

S1 S 所以 2 的取值范围是 (9, ??) .
20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 n ? 5 时,由 得 由

??????14 分

d ( A, B) ? ? | ai ? bi | ? 7
i ?1

5



|1 ? 2 | ? | 2 ? 4 | ? |1 ? 2 | ? | 2 ? 1| ? | a5 ? 3 | ? 7
a5 ? N*
,得

,即

| a5 ? 3 | ? 2

. ??????3 分

a5 ? 1

,或

a5 ? 5

. ,

(Ⅱ) (ⅰ)证明:设

A ? (a1 , a2 ,?, an )

B ? (b1 , b2 ,?, bn )



C ? (c1 , c2 ,?, cn )



因为 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ,

??? ?

??? ?

(b ? a1 , b2 ? a2 ,?,bn ? an ) ? ? ((c1 ? b1 , c2 ? b2 ,?,cn ? bn ) 所以 ?? ? 0 ,使得 1 , b ? ai ? ? (ci ? bi ) 即 ?? ? 0 ,使得 i ,其中 i ? 1, 2,?, n .
所以 分

bi ? ai



ci ? bi (i ? 1, 2,?, n)

同为非负数或同为负数.

??????5

所以

d ( A, B) ? d ( B, C ) ? ? | ai ? bi | ? ? | bi ? ci |
i ?1 i ?1

n

n

? ? (| bi ? ai | ? | ci ? bi |)
i ?1

n

? ? | ci ? ai | ? d ( A, C )
i ?1

n



??????6 分

(ⅱ)解:设

A, B, C ? Sn

,且 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ,此时不一定 ?? ? 0 ,使得 ????

??? ? ??? ? AB ? ? BC .
??7 分 反例如下:取 A ? (1,1,1,?,1) , B ? (1, 2,1,1,?,1) , C (2, 2, 2,1,1,?,1) ,

则 d ( A, B) ? 1 , d ( B, C ) ? 2 , d ( A, C ) ? 3 ,显然 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) .

??? ? ??? ? AB ? (0,1, 0, 0, ?, 0) , BC ? (1, 0,1, 0, 0, ?, 0) , 因为
所以不存在 ? ? ? ,使得 AB ? ? BC . 分

??? ?

??? ?

??????8

(Ⅲ)解法一:因为 设 时

d ( A, B) ? ? | bi ? ai |
i ?1

n



bi ? ai (i ? 1, 2,?, n)

中有 m (m ? n) 项为非负数, n ? m 项为负数.不妨设 i ? 1, 2,?, m

bi ? ai ? 0

; i ? m ? 1, m ? 2,?, n 时,
n

bi ? ai ? 0



所以

d ( A, B) ? ? | bi ? ai |
i ?1

? [ ( 1 ? b2 ? ?m ) ?(a ?a ? b ? b ? 1 2
因为 d ( I , A) ? d ( I , B) ? p ,

m

? ) ] ?? ( 1 a [ma

? m

? 2? ? a

n

?) a

?m 1

(b ?

?m

b2? ? ?

n

b) ] ?

所以

? (ai ? 1) ? ? (bi ? 1)
i ?1 i ?1

n

n

, 整理得

? ai ? ? bi
i ?1 i ?1

n

n



所以 因为

d ( A, B) ? ? | bi ? ai |? 2[b1 ? b2 ? ? ? bm ? (a1 ? a2 ? ? ? am )]
i ?1

n

. ?????10 分

b1 ? b2 ? ? ? bm ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? (bm?1 ? bm?2 ? ? ? bn )

? ( p ? n) ? (n ? m) ?1 ? p ? m ;


a1 ? a2 ? ? ? am ? m ?1 ? m



所以

d ( A, B) ? 2[b1 ? b2 ? ? ? bm ? (a1 ? a2 ? ? ? am )]
? 2[( p ? m) ? m] ? 2 p .

即 d ( A, B) ? 2 p . 对 于

?????12 分

A ? (1,1,?,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,?,1) , 有

A , B ? Sn , 且

d ( I , A) ?

d ( ?, , I B)

p

d ( A, B) ? 2 p .
综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p . 解法二:首先证明如下引理:设 x, y ? R ,则有 | x ? y | ? | x | ? | y | . 证明:因为 ? | x | ? x ? | x | , ? | y | ? y ? | y | , 所以 ? (| x | ? | y |) ? x ? y ? | x | ? | y | , 即 | x ? y | ?| x | ? | y | . ?????13 分

所以
n

d ( A, B) ? ? | bi ? ai | ? ? | (bi ? 1) ? (1 ? ai ) |
i ?1 i ?1

n

n

? ? (| bi ? 1| ? |1 ? ai |)
i ?1

? ? | ai ? 1| ? ? | bi ? 1| ? 2 p
i ?1 i ?1

n

n



?????11 分 , 或

上式等号成立的条件为 12 分 对 于

ai ? 1

bi ? 1

, 所以 d ( A, B) ? 2 p .

?????

A ? (1,1,?,1, p ? 1) , B ? ( p ? 1,1,1,?,1) , 有

A , B ? Sn , 且

d ( I , A) ?

d ( ?, , I B)

p

d ( A, B) ? 2 p .

综上, d ( A, B) 的最大值为 2 p .

?????13 分


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