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scaa1350:高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修22(1)_图文

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2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1 合情推理



阶 段 二

业 分 层 测



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1.了解合情推理的含义.(易混点) 2.理解归纳推理和类比推理的含义,并能利用归纳和类比推理进行 简单的推理.(重点、难点)

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[基础·初探] 教材整理 1 归纳推理与类比推理 阅读教材 P70~P74“探究”以上的内容,完成下列问题.

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归纳推理

类比推理

由某类事物的_部__分__对__象___具有某些 由两类对象具有_某__些__类__似__特__征__和

特征,推出该类事物的_全__部__对__象___ 其中一类对象的_某__些__已__知__特__征___, 定
都具有这些特征的推理,或者由 推出另一类对象也具有 义
_个__别__事__实___概括出一般结论的推 这__些__特__征____的推理称为类比推理

理,称为归纳推理(简称__归__纳__) (简称__类__比__)

特 归纳推理是由部分到_整__体___、由 类比推理是由_特__殊___到__特__殊__的

征 _个__别___到__一__般__的推理

推理

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判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于类 比推理.( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( ) (3)归纳推理是由个别到一般的推理.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√

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教材整理 2 合情推理 阅读教材 P74~P75“例 4”以上内容,完成下列问题. 1.定义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过_观__察___、_分__析___、_比__较___、 _联__想___,再进行_归__纳___、__类__比__,然后提出__猜__想__的推理,我们把它们统称为 合情推理.简言之,合情推理就是“合乎情理”的推理. 2.推理的过程 从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想

→ 归纳、类比 → 提出猜想

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如图 2-1-1 所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端 点)有 n(n>1,n∈N*)个点,每个图形总的点数记为 an,则 a6=_________________,
an=________(n>1,n∈N*).

图 2-1-1 【解析】 依据图形特点,可知第 5 个图形中三角形各边上各有 6 个点,

因此 a6=3×6-3=15.由 n=2,3,4,5,6 的图形特点归纳得 an=3n-3(n>1,n∈N*).

【答案】 15 3n-3

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[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

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[小组合作型]
数、式中的归纳推理 (1)已知 f(x)=1+x x,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N*,
则 f2 017(x)的表达式为 ________. 【导学号:60030048】

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(2)观察下列等式: (1+1)=2×1, (2+1)(2+2)=22×1×3, (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5, … 照此规律,第 n 个等式可为________. (3)已知 f(x)=1-x x,设 f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且 n∈N*),则 f3(x) 的表达式为________,猜想 fn(x)(n∈N*)的表达式为________. 【精彩点拨】 结合数或式子的结构特征,提炼结论.

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【自主解答】 (1)由题意 f1(x)=f(x)=1+x x,

x f2(x)=f(f1(x))=1+1+1+xx x=1+x2x,

x f3(x)=f(f2(x))=1+1+1+2xx2x=1+x3x,…,

fn(x)=f(fn-1(x))=…=1+xnx,

故 f2 017(x)=1+2x017x.

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(2)从给出的规律可看出,左边的连乘式中,连乘式个数以及每个连乘式中

的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致,其中左边连乘式中

第二个加数从 1 开始,逐项加 1 递增,右边连乘式中从第二个乘数开始,组成

以 1 为首项,2 为公差的等差数列,项数与第几等式保持一致,则照此规律,第 n 个等式可为(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).

(3)∵f(x)=1-x x,∴f1(x)=1-x x.

又∵fn(x)=fn-1(fn-1(x)),
x ∴f2(x)=f1(f1(x))=1-1-1-xx x=1-x2x,

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x f3(x)=f2(f2(x))=1-12-×21x-x2x=1-x4x,

x f4(x)=f3(f3(x))=1-14-×41x-x4x=1-x8x,

x f5(x)=f4(f4(x))=1-18-×81x-x8x=1-x16x,

根据前几项可以猜想 fn(x)=1-2xn-1x.

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【答案】

(1)f2

017(x)



x 1+2 017x

2n×1×3×…×(2n-1)

(3)f3(x)=1-x4x fn(x)=1-2xn-1x

(2)(n + 1)(n + 2)…(n + n) =

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进行数、式中的归纳推理的一般规律 1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面 的变化规律; (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征; (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点; (4)运用归纳推理得出一般结论.

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2.数列中的归纳推理 在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前 n 项和. (1)通过已知条件求出数列的前几项或前 n 项和; (2)根据数列中的前几项或前 n 项和与对应序号之间的关系 求解; (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前 n 项和公式.

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[再练一题]

1.(1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=22+anan(a∈N*),则可归纳猜想{an}的通 项公式为( )

A.an=2n

B.an=n+2 1

C.an=1n

D.an=n+1 1

(2)已知23<23+ +11,23<23+ +22,23<23+ +33,…,推测猜想一般性结论为________.

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4 【解析】 (1)由已知得 a1=1,a2=22+a1a1=23,a3=22+a2a2=2+3 23=24,a4=22+a3a3

=22× +1212=25,…,由此可猜想 an=n+2 1. (2)每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数,
因此可猜测:ba<ba+ +mm(a,b,m 均为正数,且 a>b). 【答案】 (1)B

(2)ba<ab++mm(a,b,m 均为正数,且 a>b)

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几个图形中的归纳推理 (1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图 2-1-2 的规律拼成若干个 图案,则第 n 个图案中有黑色地面砖的块数是________.

图 2-1-2

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(2)根据图 2-1-3 中线段的排列规则,试猜想第 8 个图形中线段的条数为 __________.









图 2-1-3 【精彩点拨】 (1)观察图案知,每多一块白色地面砖,则多 5 块黑色地面

砖,从而每个图案中白色地面砖的块数,组成首项为 6,公差为 5 的等差数列.

(2)先求出前 4 个图形中线段的数目,再归纳.

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【自主解答】 (1)观察图案知,从第一个图案起,每个图案中黑色地面砖 的个数组成首项为 6,公差为 5 的等差数列,从而第 n 个图案中黑色地面砖的个 数为 6+(n-1)×5=5n+1.
(2)图形①到④中线段的条数分别为 1,5,13,29,因为 1=22-3,5=23-3,13= 24-3,29=25-3,因此可猜想第 8 个图形中线段的条数应为 29-3=509.
【答案】 (1)5n+1 (2)509

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归纳推理在图形中的应用策略 通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论, 通常需形状问题数字化,展现数学之间的规律、特征,然后进 行归纳推理.解答该类问题的一般策略是:

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[再练一题]

2.观察分析下表中的数据:

多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

三棱柱 5

6

9

五棱锥 6

6

10

立方体 6

8

12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是________. 【解析】 观察 F,V,E 的变化得 F+V-E=2.

【答案】 F+V-E=2

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3.根据如图 2-1-4 的 5 个图形及相应的圆圈个数的变化规律,试猜测第 n 个图形有多少个圆圈.

(1) (2) (3)

(4)

(5)

图 2-1-4 【解】 法一:图(1)中的圆圈数为 12-0,图(2)中的圆圈数为 22-1,图(3)

中的圆圈数为 32-2,图(4)中的圆圈数为 42-3,图(5)中的圆圈数为 52-4,…,

故猜测第 n 个图形中的圆圈数为 n2-(n-1)=n2-n+1.

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法二:第 2 个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向两个方向,共有 2×(2 -1)+1 个圆圈;
第 3 个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向三个方向,每个方向有两 个圆圈,共有 3×(3-1)+1 个圆圈;第 4 个图形,中间有一个圆圈,另外的圆 圈指向四个方向,每个方向有三个圆圈,共有 4×(4-1)+1 个圆圈;第 5 个图 形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向五个方向,每个方向有四个圆圈,共有 5×(5 -1)+1 个圆圈;……
由上述的变化规律,可猜测第 n 个图形中间有一个圆圈,另外的圆圈指向 n 个方向,每个方向有(n-1)个圆圈,因此共有 n(n-1)+1=(n2-n+1)个圆圈.

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[探究共研型]
类比推理及其应用 探究 1 在三角形中,任意两边之和大于第三边,那么,在四面体中,各个 面的面积之间有什么关系? 【提示】 四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积. 探究 2 三角形的面积等于底边与高乘积的12,那么在四面体中,如何表示 四面体的体积? 【提示】 四面体的体积等于底面积与高的积的13.

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(1)在公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前 n 项积,则 有TT2100,TT2300,TT4300也成等比数列,且公比为 4100;类比上述结论,相应地,在公差 为 3 的等差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和.可类比得到的结论是__________
_______________________________________________________________. (2)在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证:A1D2=A1B2+A1C2,那么 在四面体 ABCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由. 【精彩点拨】 (1)等比数列中的商类比等差数列中的差. (2)三角形类比四面体,三角形中的边类比四面体中的面,三角形中的高类 比四面体中的高.

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【自主解答】 (1)因为等差数列{an}的公差 d=3, 所以(S30-S20)-(S20-S10) =(a21+a22+…+a30)-(a11+a12+…+a20)

100d=300, 同理可得:(S40-S30)-(S30-S20)=300, 所以数列 S20-S10,S30-S20,S40-S30 是等差数列,且公差为 300. 即结论为:数列 S20-S10,S30-S20,S40-S30 也是等差数列,且公差为 300.

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【答案】 数列 S20-S10,S30-S20,S40-S30 也是等差数列,且公差为 300 (2)如图①所示,由射影定理得



AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,

所以A1D2=BD1·DC =BC·BCB·CB2D·DC

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=ABB2C·A2C2.

又 BC2=AB2+AC2,

所以A1D2=A1B2+A1C2.

类比猜想:

四面体 ABCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,

AE⊥平面 BCD,

则A1E2=A1B2+A1C2+A1D2.

如图②,连接 BE 交 CD 于 F,连接 AF,



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因为 AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,

所以 AB⊥平面 ACD,

而 AF?平面 ACD,所以 AB⊥AF,

在 Rt△ABF 中,AE⊥BF,

所以A1E2=A1B2+A1F2,

易知在 Rt△ACD 中,AF⊥CD,

所以A1F2=A1C2+A1D2,

所以A1E2=A1B2+A1C2+A1D2,猜想正确.

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1.解决此类问题,从几何元素的数目、位置关系、度量

等方面入手,将平面几何的相关结论类比到立体几何,相关类

比点如下:

平面图形 空间图形



直线

直线

平面

边长

面积

面积

体积

三角形 四面体

线线角 面面角

2.中学阶段常见的类比知识点有:等差与等比数列,向量、

复数与实数,空间与平面,圆与球等等.

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[再练一题] 4.上例(1)中条件不变,试写出一个更为一般的结论(不必证明). 【解】 对于任意的 k∈N*,都有数列 S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k 是等差数 列,且公差为 k2d.

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[构建·体系]

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1.我们把 1,4,9,16,25,…这些数称做正方形数,这是因为个数等于这些数 目的点可以分别排成一个正方形(如图 2-1-5).

图 2-1-5

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则第 n 个正方形数是( )

A.n(n-1)

B.n(n+1)

C.n2

D.(n+1)2

【解析】 观察前 5 个正方形数,恰好是序号的平方,所以第 n 个正方形

数应为 n2.

【答案】 C

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2.如图 2-1-6 所示,着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前 4 项,则这 个数列的一个通项公式为( )

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图 2-1-6

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A.an=3n-1

B.an=3n

C.an=3n-2n

D.an=3n-1+2n-3

【解析】 ∵a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,猜想 an=3n-1.

【答案】 A

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3.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶ 4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为 ________. 【导学号:60030049】
【解析】 由平面和空间的知识,可知面积之比与边长之比成平方关系, 在空间中体积之比与棱长之比成立方关系,故若两个正四面体的棱长的比为 1∶ 2,则它们的体积之比为 1∶8.
【答案】 1∶8

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4.观察下列等式: 1=1, 2+3+4=9, 3+4+5+6+7=25, 4+5+6+7+8+9+10=49, …
照此规律,第五个等式应为________.

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【解析】 每行最左侧数分别为 1,2,3,…,所以第 n 行最左侧的数应为 n; 每行的个数分别为 1,3,5,…,所以第 n 行的个数应为 2n-1.所以第 5 行的数依 次是 5,6,7,…,13,其和为 5+6+7+…+13=81.
【答案】 5+6+7+…+13=81

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5.已知在数列{an}中,a1=12,an+1=a3n+an3.

(1)求 a2,a3,a4,a5 的值;

(2)猜想 an.

【解】

(1)a2=a31+a13=312× +123=37,

同理 a3=a32+a23=38,a4=39,a5=130.

(2)由 a2=2+3 5,a3=3+3 5,a4=4+3 5,a5=5+3 5,可猜想 an=n+3 5.

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